演示文稿5.6-3课件

1、 5.6-3 二重积分的计算 本次课介绍：1. 极坐标系 二、积分区域无界的广义二重积分2. 用极坐标计算二重积分 一. 极坐标系下二重积分的计算1. 广义二重积分的概念1 . 极坐标系. 确定平面上一点的位置, 向方向走r 里.也可用方向和M(x,y)r这种用距离和方向确定点的位置的方法，就是极常用直角坐标,距离来确定: 坐标的基本思想。 1). 在平面上取定一点O 叫极点 设M 为平面内一点. r = | OM | 叫M 点的极径, 注意: 在O点处, r =0, 不确定. 再确定长度单位, 计算角度由Ox 转到OM的角 叫极角, ( r, ) 叫M 点的极坐标, 记为M (r, ).0

2、xMr(r, )从极点引射线 Ox, 这样就建立了极坐标系.叫极轴, 的正方向, 在极坐标系中:给定r, , 唯一确定一点M;给定一点M, r 确定, 不唯一( 相差2的整数倍 ).即 ( r, ) 与 ( r, +2k ) 表示同一点. 由此可见, 2). 极坐标与直角坐标的关系. 取直角坐标系的原点与极点重合, M(x,y)rxy点M与极坐标 ( r, ) 的对应不是一对一的, 但若将极角限制在 0 2 或 - 内, 除极点外, 点与极坐标的对应是一对一的.Ox 轴的正半轴与极轴重合, 则直角坐标与极坐标之间有关系:3). 曲线的极坐标方程. 例1. x2 + y2 = 2x将 x = r

3、cos, y = rsin代入: r2cos2 + r2sin2 = 2 rcos 极坐标方程为 r = 2cos 将x=rcos, y=rsin 代入曲线的直角坐标方程 F(x,y)=0, 可得曲线的极坐标方程。问：下列方程表示的曲线是什么？ 其极坐标方程是什么x2 + y2 = 2yx = 2y = 2 = 常数表示什么曲线？ 2. 用极坐标计算二重积分. 积分区域是圆,往往要简单得多.圆环,扇形. 被积函数形为 f(x2+y2)的积分采用极坐标计算, 当r 0, 0, 近似地为 r r 面积微元应为: d = r dr d 被积函数为 f ( r cos , r sin ). 于是 在这

4、种分割下, 小区域的面积 其中是直角坐标系下的积分区域D经极坐标变换后而得到的极坐标系下的积分区域。若能再将D表示为 = (r, ) | , r1( ) r r2( ) (*) 二重积分便可化为累次积分: 将D写成(*), 有三种情况: . D边界不包围极点 . D的边界过极点 . D 的边界包围极点. D边界不包围极点： = (r, ) | , r1()r r2() 此时r1 ()r2 ()r2()r1() . D 的边界包围O = (r, ) | 0 2, 0 r r( ) = (r, ) | 0 2, r1( ) r r2( ) 0r1( )r2( )0r( )极坐标下二重积分的计算步骤

5、: 1. 画D, 边界用极坐标表示2. D用极坐标表示为3. 化为累次 = (r, ) | , r1( ) r r2( ) 例5.6.9 D:1x2+y24, 在第I 部分. 解: D如图 例5.6.10解:画出积分区域D, 如图在极坐标下, 区域D可表示为二、积分区域无界的广义二重积分如果二重积分的积分区域D是无界的(如全平面、半平面、有界区域的外部等 )，则与一元函数类似，可以定义积分区域无界的广义二重积分。设D是平面上一无界区域， 函用任意光滑曲线在D中划出有界区域D ，不论 的形状如何，也不论的扩展过程怎样,极限总取相同的值I, 存在 ,二重积分且当连续变动, 则称 I 为函数 f 在无界记为数f(x,y)在D上有定义，区域D上的广义重积分.D无限扩展而趋于区域D，此时也称f(x,y)在D上的积分收敛或在D上广义可积，否则称积分发散。由定义可知， 其步骤仍然是：截断，照常算，算完了，取极限。如果 f(x,y) 在无界区域D上广义可积，则可以选取一种特殊的区域扩展方式，来计算出相应的广义二重积分的值。例5.6.12有 总 结 1. 极坐标与直角坐标的关系. 2. 将 x=rcos, y=rsin 代入曲线的直角坐标方程一、极坐标系 F=(x,y)=0, 可得曲线的极坐标方程。 作 业 19. (