(整理)高数下册知识点

1、1)精品文档1)精品文档高等数学下册知识点第八章空间解析几何与向量代数（一）向量及其线性运算1、向量，向量相等，单位向量，零向量，向量平行、共线、共面；2、线性运算：加减法、数乘；3、空间直角坐标系：坐标轴、坐标面、卦限，向量的坐标分解式；4、利用坐标做向量的运算：设a=（ax，ay，a）,b=（bbb）,xyzxyz则a土b=（a土b,a土b,a土b）九a=（九a,九a,九a）xxyyzzxyz5、向量的模、方向角、投影：i）向量的模：|r|二Jx2+y2+z2；2）两点间的距离公式：IABI1（x-x）2+（y-y）2+（z-z）2/2121213）方向角：非零向量与三个坐标轴的正向的夹角

2、a,卩,Yxyzcosa=,cosp=,cosy=4）方向余弦：nftcos2a+cos2p+cos2y=15）投影：Prja二网cos，其中申为向量a与u的夹角。二）数量积，向量积1、数量积：1、数量积：a-b=albcose2)a丄boa-b=0精品文档精品文档精品文档a-b=ab+ab+abxxyyzz运算律：2、向量积：c二axb大小：IaIplsin9，方向：a,b,c符合右手规则i）axa=o2)a/boaxb=0ijkaxb=aaaxyzbbbxyz运算律：反交换律bxa=-axb（三）曲面及其方程1、曲面方程的概念：S:f（x，y，z）=02、旋转曲面：yoz面上曲线C:f（y

3、，z）=0,绕y轴旋转一周：f（y，士Jx2+z2）=0绕z轴旋转一周：/（JX2+y2,z）=03、柱面：F（x,y）=0F（x，y）=0表示母线平行于z轴，准线为的柱面Z=0V4、二次曲面精品文档精品文档精品文档精品文档i)椭圆锥面：a。x22)椭球面：a2z2乙二1C2x2+旋转椭球面：az2乙二1C23)单叶双曲面：x2_+a2z2乙二1C2x24)双叶双曲面：a2z2乙二1C25)椭圆抛物面：x2_+a26)7)8)9)x2双曲抛物面(马鞍面)：a椭圆柱面：双曲柱面：抛物柱面：x2_+y2y=1x2x2y2y=1b2ay(四)空间曲线及其方程1、一般方程：x如螺旋线：x如螺旋线：1y

4、zacostasintbtx=x(t)2、参数方程：y=y(t)z=z(t)3、空间曲线在坐标面上的投影，消去z得到曲线在面xoy上的投影(五)平面及其方程1、点法式方程：A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0法向量：n=(A,B,C)，过点(x0,y0,z0)2、一般式方程：Ax+By+Cz+D=0截距式方程：C2)，3、两平面的夹角：n1=(A1,B1,C1)，n2C2)，AA+BB+CC121212C0S9=JA2+B2+C2-口丄口o12n/no124、点P0(xAA+BB+CC=0121212ABC_L=_L=_LA矿L222,y,z)到平面Ax+By+Cz000+D=0

5、的距离：Ax+By+Cz+Dd=00oIA2+B2+C2（六）空间直线及其方程1、一般式方程：Ax+By+Cz+D=01111Ax+By+Cz+D022222、x-xy-yz-z对称式（点向式）方程：方向向量：s(m,nP)，过点(x0,y0,z0)xx+mt03、参数式方程：yy0+ntzz+pt04、两直线的夹角：s1(m1,n1,P1)，s2(m2,n2,P2)，JLJLJLJL乙乙乙乙mm+nn+ppCOS申t121212_：m2+n2+p2；m2+n2+p2111222L丄Lomm+nn+pp012121212mnpL/Lo亠112mnp2225、直线与平面的夹角：直线与它在平面上的

6、投影的夹角，Am+Bn+CpIsin申IA2+B2+C2Qm2+n2+p2L/noAm+Bn+Cp0ABCL丄no=_=mnp6、平面束：口：Ax+By+Cz+D=0口：Ax+By+Cz+D=01111122222过口1,口2的交线的平面构成平面束，方程为：Ax+By+Cz+D+九(Ax+By+Cz+D)=011112222第九章多元函数微分法及其应用(一)基本概念1、距离，邻域，内点，外点，边界点，聚点，开集，闭集，连通集，区域，闭区域，有界集，无界集。2、多元函数：z=f(x,y)，图形：3、极限：hm/(x，y)=A(x,yKx0,y0)4、连续：limf(x,y)=f(x,y)(x,y

7、Kx0,y0)005、偏导数：f(x+Ax,y)-f(x,y)f(x,y)=lim0000_x00Axt0Axf(x,y)=limy00f(x0,y0+Ay)-f(x0,y0)Ay6、方向导数*：芳=limf(x+Ax,y+Ay)-f(x,y)tt0+t其中t=J(Ax)2+(Ay)2,Ax=tcosa,Ay=tcosp讐=其cosa+篇cos卩其中a,卩为1的方向角。7、梯度：z=f(x,y)，则gradf(x0,y0)=fx(x,y0斤+fy(x0,y0)j。8、全微分：设z=f(x,y)，则dz=QzQxQzQydy(二)性质1、函数可微，偏导连续，偏导存在，函数连续等概念之间的关系：2

8、、偏导数连续3、微分法1)定义：2)2、偏导数连续3、微分法1)定义：2)复合函数求导：链式法则3)隐函数求导：闭区域上连续函数的性质(有界性定理，最大最小值定理，介值定理)三)应用1、极值1)无条件极值：求函数Z=f(x,y)的极值f=0 xf二0求出所有驻点，对于每一个驻点(x0,y0)，令yA=fxxUy0)，B=fxy5y0)，C=fyy，若AC-B20，A0，函数有极小值，若AC-B20，A0，函数有极大值;若AC-B20，函数没有极值;若AC-B2=0，不定。Lagrange函数2)条件极值：求函数z=f(x，y)在条件申(x，y)=0下的极值令：L(x,y)=f(x,y)+“(x

9、,yLagrange函数解方程组2、几何应用曲线的切线与法平面x=x(t)曲线r：y=y(t)，则r上一点M(x,y,z)(对应参数为t)处的切线方程为：00007Z=Z(t)x-xy-yz-zxf(t)yf(t)zz()000法平面方程为：xz(t)(x-x)+yz(t)(y-y)+zz(t)(z-z)=0gTg/JTfc”QQ0000曲面的切平面与法线曲面L:F(x,y,z)=o，则工上一点M(x,y,z)处的切平面方程为：000F(x,y,z)(xx)+F(x,y,z)(yy)+F(x,y,z)(zz)=0 xyzxx=yy=zz法线方程为：f(x,y,z)F(x,y,z)F(x,y,z

10、)xyz第十章重积分(一)二重积分1、kkk_0k=1定义：J!f(x,y)dQ=lim艺f(g,H1、kkk_0k=1D2、性质：(6条)3、几何意义：曲顶柱体的体积。精品文档精品文档精品文档4、对称性问题：设闭区域D关于x轴对称，若f(x,y)关于y为奇函数，即f(X,-y)=-f(x,y),则f(x,y皿=0；若f(x,y)关于y为偶函数，即f(兀一y)=f(xy),则DIff(x,y)do=2Wf(x,y)do，其中d为D在x轴上方的部分.DD11设闭区域D关于y轴对称，若f(x,y)关于x为奇函数，即f(-x，y)=-f(x，y)，则f(x,y皿=0；若f(x,y)关于x为偶函数，即

11、f(x,y)=f(x,y)，则DJ!f(x,y)山=2f(x,y)山，其中d为d在y轴右边的部分.DD11如果D关于原点对称，即(x,y)ED时，有(-x，-y)eD，若f(x,y)关于x,y为奇函数，即f(-x,-y)=-f(x,y)，则口f(x,y)d=0；若f(x,y)关于x,y为偶函D数，则fff(x,y)dc=2fff(x,y阴，其中d3为D在上半平面部分；DD3如果D关于y=x对称，即(x,y)eD时，有(y,x)eD，则fff(x,y)de=fff(y,x)doDD5、计算：fff(x,y)dxdyfff(x,y)dxdy=fbdx卜2(x)f(x,y)dya竹(x)D0(y)x

12、(y)12cyd丿fff(x,y)dxdy=fddyf02(y)f(x,y)d0(y)x(y)12cyd丿极坐标精品文档精品文档精品文档精品文档P(0)Pa0pJJJf(x,y)dxdy=J卩dofp2(0)f(pcos0,psin0)pdpaP1(0)D1(二)三重积分1、定义：JJJf(x,y,z)dv=limXf(1、kkkQ0kkkk=12、性质：3、计算：直角坐标12、性质：3、计算：直角坐标1)JJJf(x,y,z)dv=JJdxdyJz2(x,y)f(x,y,z)dzQDz1(x,y)JJJf(x,y,z)dv=JbdzJJf(x,y,z)dxdyQaDZ“先一后二”“先二后一”

13、2)柱面坐标x=pcos0y=Psin0f(x,y,z)dv=f(Pcos0,Psin0,z)PdPd0dzQQ球面坐标x=rsin申cos0y=rsin申sin0z=rcos申V,JJJf(x,y,z)dv=JJJf(rsin申cos0,rsin申sin0,rcos申)r2sin申drd申d0QQ三）应用曲面S:z=f（x，y曲面S:z=f（x，y）,（x，y）eD的面积：Acxcy第十一章曲线积分与曲面积分(一)对弧长的曲线积分1、定义：Jf(x，y)ds=lim另f(匚,n,)-A1、l九to.,iiii=12、1）2、1）2）性质：If(x,y)+p(x,y)ds=aff(x,y)ds

14、+pfg(x,y)ds.LLLJf(x,y)ds=Jf(x,y)ds+Jf(x,y)ds.(L=L+L).LL1L2123)在L上，若f(x,y)g(X,y)，则Jf(x,y)dsfg(x,y)dsLL4）ds二1（l为曲线弧L的长度）3、计算：x=9(t),设f（x,y）在曲线弧L上有定义且连续，L的参数方程为1(at0设f（x,y）在曲线弧L上有定义且连续，L的参数方程为1其中P(t)，屮(t)在a,卩上具有一阶连续导数，且02(t)+屮2(t)丰0，则Jf(x,y)ds=J0f9(t)，屮(t)j02(t)+屮S(t)dt,(a0)La(二)对坐标的曲线积分1、定义设L为xoy面内从A到

15、B的一条有向光滑弧函数P(x,y)Q(x,y)在L上有界定义JP(x,y)dx=lim刀P忆,n)Axkkk，L入t07,k=1JQ(x,y)dy=lim工Q忆,n)AyL0kkkk=1向量形式：JF-dr=fP(x,y)dx+Q(x,y)dyLL2、1)2、1)2)性质：JaF(x,y)-dr+pF(x,y)-dr=ajF(x,y)-dr+pfF(x,y)-dr；L12L1L2JF(x,y)dr=JF(x,y)-dr+JF(x,y)-dr；LLiL2，3)用l-表示l的反向弧，则fF(x，y)-dr二F(x，y)-drL-L3、计算：设P(x,y),Q(x,y)在有向光滑弧L上有定义且连续，

16、L的参数方程为x=屮(t),0nn=1nTg1）定义：limSn=S存在；nTg精品文档精品文档精品文档精品文档2)3)工u收敛o2)3)TOC o 1-5 h znn=1比较审敛法：另u,另V为正项级数，且um4)nnn=1n=1收敛；若存在正整数m，当nm时，u工kv收敛；若存在正整数m，当nm时，u工kvnnnnnnn=1n=1而另V发散，则另u发散.nnn=1n=15)比较法的极限形式：工为vn5)比较法的极限形式：工为vn=1散.收敛，则另un=1工V为正项级数，若limV-=1(1或limV.=+8，而另V发散，则另u发T8vnsvnnn=1unn=1nn=1为正项级数，设为正项级

17、数，设lim=1，则当11时，级数另u发散；当1=1时，级数另u可能收敛也可能发散.TOC o 1-5 h znnn=1n=1收敛；则根值法：工un为正项级数，设lim讽=1，则当11时，级数另u发散；当1=1时，级数另u可能收敛也可能发散.nnn=1n=1极限审敛法：工u为正项级数，若limn-un或limn-un=+g，则级数工unnfgnnfgnnn=1n=1发散；若存在p1，使得limnp-u=1(11收敛，p1发散，p1nuu(n=n+1n1,2,3,)，二)函数项级数1、定义：函数项级数另u(x)nn=1收敛域，收敛半径，和函数；8工axn2、幂级数：nn=0收敛半径的求法：lim

18、nT8an+1an，则收敛半径R厂3、泰勒级数f(X)=n=0云f(n)(%)(X-X)nn!01,7p0,+8p=+8.f(n+1)(&)limR(x)=lim(x一x)n+1nT8nnT8(n+1)!0=07)精品文档7)精品文档精品文档展开步骤：（直接展开法）1)求出f(n)(x),n=1,2,3,；2)求出f(n)(x0),n=0,1,2,；3)f(n)(xo)n!3)4)验证limR(x)=limnnTgnTgf(n+叽g)(n+1)!(x-xo)n+1=0是否成立。间接展开法：（利用已知函数的展开式）g1ex=Yxn,xe（-g，+g）；n!；n=01)2)g1sinx=Y(-1)n+1x2n+1,xe(-g，+g)(2n+1)!；n=03)g1COSx=Y(-1)n+1x2n,xe(-g,+g)(W；n=04)1=Yxn,xe(-1,1).1-x；n=05)1=Y(-1)nxn,xe(