3高中数学精品讲座课件：横看成岭侧成峰 主角配角都适宜-2022年高考“集合、常用逻辑用语、不等式”专题命题分析

1、目录0102考查的内容与方式入题的形式与特点复习的思考与建议03PART.01 考查的内容与方式“集合、常用逻辑用语、不等式”部分是每年高考的必考内容，既有独立考查的试题，更有作为解决问题的工具而融入其他内容进行考查的试题.一般而言，独立考查的试题往往仅限于对相关概念的理解及基本运算，难度都比较小，属于简单题系列；而融入其他内容考查的试题主要是体现其工具性的作用，难度视所融入的内容而定，难易度差别较大.集 合试卷题号分值题型考点文科理科文科理科15选择题选择题选择题选择题选择题选择题选择题选择题选择题选择题两个集合的交集运算全国甲卷31555554855两个集合的并集、补集运算两个集合的交集运

2、算全国乙卷1两个集合的补集运算全国新高考卷全国新高考卷浙江卷1一元一次不等式、无理不等式求解，两个集合的交集运算绝对值不等式求解，两个集合的交集运算两个集合的并集运算11北京卷1，91两个集合的补集运算；集合语言的含义两个集合的交集、补集运算天津卷上海卷13两个集合的交集运算从题型题量上看，集合考查的试题主要以选择题和填空题形式呈现，难度较低除北京卷外，今年各份试卷依旧都只有1道题，其中全国甲卷理科卷的集合试题位于第3小题，其他试卷均位于选择题的第1小题，且以选择题形式呈现，北京卷与浙江卷的分值分别为8分和4分，其他各卷均为5分从考点分布上看，集合考查的内容主要有集合的含义和表示、集合之间的基

3、本关系、集合的基本运算，今年主要涉及集合和不等式两个内容的考点.从考查形式上看，主要考查在不同背景下求两个集合的交集、并集和补集运算，全国新高考卷、卷对集合的考查还涉及与不等式知识的交汇，先解不等式，后进行集合的相关运算.从以上对各卷的统计看，集合考查的题型题量、考点分布、考查形式和难度基本上和往年保持不变，试题大都能在教材中的例题和习题中找到原型，很好地保持了命题的连续性和稳定性.常用逻辑用语试卷题号分值题型考点全国甲卷、乙卷、新高考卷、卷均未考查常用逻辑用语知识浙江卷北京卷天津卷462445选择题选择题选择题三角函数的性质、充分条件与必要条件的定义等差数列的通项公式、充分条件与必要条件的定

4、义整数的定义、充分条件与必要条件的定义选择题，解 直线与圆的位置关系、集合的描述法、命题的含义、命答题 题及其逆命题的真假判断上海卷16、2111从题型题量上看，常用逻辑用语历年考查的试题主要以选择题和填空题形式呈现，今年地方卷 中 浙江卷、北京卷、天津卷保持以选择题的形式呈现，分值为别为4分、4分、5 分，上海卷中均在压轴题出现，为选择题的第 16 题和解答题第21 题的第（2）小题，分值约为11 分.从考点分布上看，常 用 逻辑 用 语考 查的 主要 内容 有 必要条件、充分条件、充要条件的定义，简单的逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义；全称量词与存在 量词的意义，以及对“它们”的否

5、定 今 年 地 方 卷 主 要 涉 及 充分条件与必要条件、三角函数、等差数列、直线与圆、集合等考点.从 考 查 形式上看，地 方 卷 试 题 都是以其他知识板块为载体，除上海卷考查命题外，其他卷都是交汇其他知识来考查必要条件、充分条件、充要条件的判 断 ，先处理交汇的知识，后利用定义判断从 以上对各卷的统计看，常 用 逻 辑 用 语 考查的题型题量、考点分布、考查形式和难度基本上保持不变，要引起注意的是，今年仅地方卷涉及这部分的内容，全国卷均未涉及，但往年全国卷在这一部分是有体现的不等式（含不等式选讲）试 卷题 号题 量题 型考 点1 、 2 、 1 2 、1 5 、1 6 、2 0 、2

6、3选 择 题 、 填 空题 ， 解 答 题柯 西 不 等 式 、 集 合 、 函 数 、 三 角 函 数 、 导 数 、 圆锥 曲 线 、 概 率 统 计文 科7全 国甲 卷2 、 11 、 1 2 、1 6 、 2 1 、 2 31 、5 、7 、11 、1 2 、 2 0 、 2 34 、6 、9 、1 0 、1 6 、 2 1 、 2 31 、 6 、 7 、 8 、11 、 1 5 、 1 7 、1 8 、 2 21 、 1 0 、 1 2 、1 3 、1 5 、1 7 、2 23 、 4 、 8 、 9 、1 0 、1 4 、1 7 、2 0 、 2 1 、 2 21 、6 、9 、

7、1 0 、11 、 1 4 、 1 5 、2 0 、 2 1选 择 题 、 填 空题 ， 解 答 题选 择 题 ，理 科文 科理 科677柯 西 不 等 式 、 三 角 函 数 （ 3 题 ）、 导 数 、 概 率 统 计均 值 不 等 式 、 线 性 规 划 、 集 合 、 程 序 框 图 、 导 数（ 2 题 ）、 立 体 几 何均 值 不 等 式 、 程 序 框 图 、 导 数 （ 2 题 ）、 数 列 、 立体 几 何 、 概 率 统 计不等式考点：解不等式、均全 国乙 卷解 答 题选 择 题 、 填 空题 ， 解 答 题值不等式、线性规划、含绝集 合 、 函 数 、 导 数 （ 2

8、题 ）、 数 列 、 三 角 函 数 （ 2单 选 题 、 多 选题 、 填 空 题 ，全 国 新 高 考 卷全 国 新 高 考 卷浙 江 卷97题 ）、 圆 锥 曲 线 、 立 体 几 何对值不等式、柯西不等式解 答 题单 选 题 、 多 选均 值 不 等 式 、 集 合 、 导 数 、 数 列 、 直 线 与 圆 、 圆题 、 填 空 题 ，涉及的锥考曲 线点 ：率 统 计几乎涵盖高中、 概解 答 题绝 对 值 不 等 式 、 线 性 规 划 、 常 用 逻 辑 用 语 、 平 面向 量 、 函 数 、 导 数 、 数 列 （ 2 题 ）、 圆 锥 曲 线 、 立体 几 何选 择 题 、

9、填 空1 0数学的所有板块题 ， 解 答 题选 择 题 、 填 空题 ， 解 答 题集 合 、 常 用 逻 辑 用 语 、 平 面 向 量 、 函 数 （ 2 题 ）、导 数 、 数 列 （ 2 题 ）、 立 体 几 何北 京 卷天 津 卷上 海 卷9475 、 9 、 1 5 、2 06 、 1 2 、 1 4 、1 8 、1 9 、2 0 、2 1选 择 题 、 填 空题 ， 解 答 题函 数 （ 2 题 ）、 三 角 函 数 、 导 数选 择 题 、 填 空题 ， 解 答 题线 性 规 划 、 函 数 、 集 合 、 均 值 不 等 式 、 不 等 式 解法 、 三 角 函 数 、 圆

10、锥 曲 线 、 数 列 、 常 用 逻 辑 用 语从题型题量上看，覆盖比较全面，除全国乙卷涉及的题型只有选择题、解答题外，其他试卷所有题型均有覆盖多数试卷中涉及不等式的有7-9 道试题，其中浙江卷与往年一样，对不等式考查分量相对较重，涉及不等式的试题最多，达10道题之多，最少的是天津卷有4道题.不等式的内容有单独考查的，但大部分都是与其他知识交汇考查，在交汇中有的是知识间的融合，有的只是起到工具性作用，所以无法十分准确统计其所占分值从考点分布上看，单独考查不等式的主要有：不等式的解法、均值不等式、线性规划、绝对值不等式、柯西不等式等，涉及的考点有：集合、常用逻辑用语、程序框图、函数、平面向量、

11、数列、三角、导数、直线与圆、圆锥曲线、立体几何、概率统计等，几乎涵盖高中数学的所有板块.从考查形式上看，单独考查不等式的试题很少，今年全国新高考卷、天津卷没有这类试题，其他试卷也仅有1-2道这类试题，其中解答题仅全国甲卷、乙卷的选考题（第23题）在考查选修4-5不等式选讲部分出现，涉及考点有均值不等式、绝对值不等式、柯西不等式等，且文理同题；考查不等式与其他PART.02入题的形式与特点这部分内容在高考试卷中的入题形式一般有两种：一是作为知识考查的载体入题。这类问题，一般难度都相对较小，基本上是独立考查相关部分的基础知识和基本技能，偶尔也会与其他知识进行交汇融合，但这多数仅仅停留在对相关知识与

12、方法层面的考查，难度不会太大。因此以这种方式入题的题目通常表现出“立足基础”与“适度融合”的特点。另一是作为工具考查的载体入题。这类问题，要么作为语言工具入题，要么作为解决问题的计算手段等工具入题，在题眼中一般不会占据主体“位置”，甚至在题目中无法显性看到他们的影子，只是在解决问题的过程中要用到而已。必须注意的是，虽然以这种方式入题的试题，表面上甚至看不到这块知识的存在，但他们在解决问题中的作用却是不容忽视的，甚至是十分重要的。这类试题一般都有一定的难度，它对这部分知识的考查往往也是比较深入的。g (x) ax ln x有 相 同 的 最 小 值 f (x) e ax和x（ 2022XG122

13、） 已 知 函 数（ 1） 求 a；y by g (x)和 共 有 三 个 不 同y f (x)（ 2） 证 明 ： 存 在 直 线， 其 与 两 条 曲 线的 交 点 ， 并 且 从 左 到 右 的 三 个 交 点 的 横 坐 标 成 等 差 数 列 1 ax 1 ，而 g (x) af (x) ex ax 的定义域为 ，而 f (x) exa ，g(x) ax ln x 的定义域为 0,R.xx分式不等式的解法指数不等式的解法 f (x) 011a 0若 a 0 ，则，此时 f (x) 无最小值，故. 0 xg(x) 0时，0,当当故，故g(x)在 上为减函数，a a ，故 f (x) 在

14、 ,ln af (x) 0 x ln a当当故时，上为减函数，上为增函数，1a 1 ax ,时，g (x) 0，故g(x)在 上 增函数， ，故 f (x) 在 ln a,x ln a时， f (x) 0 1 a 1.g(x) g1 lnmin f (x)min f ln a a a ln a . a g a0,上的减函数，而g(1)=0，故为不等式证明1a1a g a 0lna 的解为a 1.故的唯一解为a 1，故f ( x ) e a x g ( x ) a x ln x和 有 相 同 的 最 小 值 （ 2 0 2 2 X G 1 2 2 ） 已 知 函 数（ 1） 求 a ；xy by

15、 f ( x（ 2） 证 明 ： 存 在 直 线， 其 与 两 条 曲 线同的 交 点 ， 并 且 从 左 到 右 的 三 个 交 点 的 横 坐 标 成 等 差 数 0, 由（1）得 f (x) ex x在,0单调递减，在单调递增，最小值为 1；g(x) x ln x 在 0,1 单调递减，在 1, 单调递增，最小值为 1.不等式的放缩不等式的放缩 有且只有一个实根 ，且M(x)=ex ln x 2x0,x00 x 1, x x =x0 ln x 1.0在e000g(x) x ln xx x 和y bb ex0 x ，以下证明(x ,b)除了有一个交点0取与 f (x) e外，都还有另一个交

16、点.，故 在 上为减函数，在 F x ,00解不等式 F x x 00 x 0F x00,当时，当时，上为增函数， F x,0 xx e x =0 x1 x 0在上有唯一实根，记为 ，F(x ) e1011解不等式 x 1时，G x 0 在G x (0, 1)上为减函数，在 上为增函数， 1,当0 x 1时，G (x) 0，当，故所以 在G x 上有唯一实根，记为 ， .1,xG(x ) x ln x x ln x =0g(x) x ln x 2222共有三个不同交点，其很横坐标分别为00综上，存在b ex0 x ，使得 y b 与 f (x) ex x 和10F(x ) ex1 x b=0

17、G(x ) x ln x b=0 F(x ) ex0 x b=0 G(x ) x ln x b=0 .x，x ，x，即，1021122200000f ( x) e ax g (x) ax ln x有 相 同 的 最 小 值 （ 2022X G 122） 已 知 函 数（ 1） 求 a；x和y by g ( x)和 共 有 三 个 不 同y f ( x)（ 2） 证 明 ： 存 在 直 线， 其 与 两 条 曲 线的 交 点 ， 并 且 从 左 到 右 的 三 个 交 点 的 横 坐 标 成 等 差 数 列 g(x) x lnxy bx0 x 1，使得 x 与 f (x) e x和x，x ，x共

18、有三个不同交点，其很横坐标分别为 ，即1 0 2综上，存在b e0 G(x ) x ln x b=0F(x ) ex1x b=0 ， G(x ) x ln x b=0 F(x ) ex0 x b=0，.1122200000 x b1xln xb 0 x b0 xln xb 0故为方程的解，同理也为方程的解集合元素的互异性、无序性特 点 1.立 足 基 础 ， 体 现 基 础 性集合作为高中数学的预备知识内容，每年都是必考题，基本上都是分布在选择题的前3题，以集合运算为主，有时与解不等式等交汇，属于基础题.常用逻辑用语也是常考点，只是常用逻辑用语基本上都是与其他知识交汇考查.不等式作为重要的数学

19、工具，2022年单独考查不等式（含不等式选讲）基础知识的试题不多，选择题主要考查线性规划、均值不等式、绝对值不等式等，解答题仅在全国甲卷、乙卷的选考题中出现，难度不大，体现不等式内容的基础性作用 M 2, 4, 6,8,10 , N x 1 x 6I M N例1 （全国乙卷文 1）集合，则（）2, 42, 4, 62, 4, 6,82, 4, 6, 8,10D.A.B.C.【命题意图】本题以学生熟悉的集合的表示法为载体，考查集合的交集运算等基础知识，考查运算求解能力，要求学生借助数轴或观察法求出MN，考查数形结合思想，体现直观想象素养【试题评析】试题保持了集合内容考查的一贯形式，利用列举法或描

20、述法直接给出两个集合进行命题，利用观察法、Venn 图或数轴，根据集合运算的概念即可求解，一步到位，属于基础题今年全国甲卷文科、全国乙卷理科、浙江卷、北京卷的第1小题也是类似这种考法，试题的考查趋势相对稳定x y 2,x 2y 4, z 2x yy 0, 例2 （全国乙卷文 5）若 x，y 满足约束条件则的最大值是（）A. 2B. 4C. 8D. 12【命题意图】本题以不等式为载体，创设应用线性规划求最值问题的情境，要求学生通过获取二元一次不等式组和目标函数等信息，准确画出可行域，采取图解法解决问题，考查数形结合思想，体现直观想象素养【试题评析】随着普通高中数学课程标准(2017年版2020年

21、修订)的实施，线性规划问题逐渐淡化，今年大部分试卷未涉及此内容，所考查的线性规划试题也以常规形式出现，主要以知识点覆盖为主，用常规方法即可解决.今年全国新高考()、()卷均未涉及这部分内容，与本题类似的考法是浙江卷的第3题，地方卷的考查趋势相对稳定333a b c a,b,c2221，证明：例3 （全国乙卷文理 23） 已知都是正数，且1abc （1）（2）；9abc1.b c a c a b2 abc【命题意图】本题以不等式证明为载体，创设考查均值不等式的情境要求学生在均值不等式的场景中结合已知条件，用数学的眼光找到合适的研究对象，并通过变形创设使用均值不等式的情境，体会均值不等式的意义和作

22、用，考查逻辑思维能力和运算求解能力，考查转化与化归思想，体现逻辑推理、数学抽象等核心素养【试题评析】选修4-5不等式选讲只在全国甲卷、乙卷的文理科第23题的解答题中考查，主要涉及不等式的基本性质、均值不等式、绝对值不等式，柯西不等式等本题保持了均值不等式考查的一贯形式，需要学生发现并创设使用均值不等式的情境，然后根据公式解题，有一定的难度.与本题类似的是全国甲卷文理科第23题，该题同时考查了柯西不等式和基本不等式的应用，总体上本部分内容考查的趋势相对稳定特 点 2.关 注 融 合 ， 体 现 综 合 性集合及常用逻辑用语与其他知识的融合问题基本上都以选择题的形式考查，难度不大.不等式除个别单独

23、考查不等式内容的试题外，大部分与其他知识交汇考查，或起到工具性作用，或深度融合，综合性强深度融合的试题要么安排在选、填题的压轴题、次压轴题的位置上，要么与导数、圆锥曲线等相结合，安排在解答题的压轴题、次压轴题的位置，这类试题一般难度都比较大.M I N 例4 （全国新高考卷1） 若集合M x x 4, N x3x 1，则（）11x 0 x 2 x 3 x 16 x x 16x x 2A.B.C.D.33【命题意图】本题以一元一次不等式、无 理 不 等 式 为 载 体 ，交汇考查解不等式与集合的交集运算，考查M N运算求解能力；要求学生借助数轴或观察法求出，考查数形结合思想，体现数学运算、直观想

24、象素养【试题评析】试题保持了集合与不等式、方程交汇考查的一贯形式，需要先正确求解方程、不等式，然后利用观察法、Venn 图或数轴 ，根据集合运算的相关概念求解 ，基本上属于基础题与本题类似的考法有全国新高考卷第1题，全国甲卷理科第3题等，考查的方式相对稳定xRcosx 0“sinx 1” “，则例5 （浙江卷4）设是”的（ ）A.C.B.D.充分不必要条件充分必要条件必要不充分条件既不充分也不必要条件【命题意图】本题以同角三角函数的基本关系问题为载体，创设交汇考查判断充分条件与必要条件的情境，考查三角函数的基本关系、充分条件、必要条件等基础知识，考查逻辑推理能力与运算求解能力，考查转化化归思想

25、，体现数学抽象、逻辑推理等素养【试题评析】充分条件、必要条件和充要条件与不等式、向量、函数、数列、三角函数、立体几何、解析几何等知识结合进行考查，是高考的命题热点.“证实”需要给予严格证明，“证伪”只要找到反例即可.本题与三角函数知识结合，属于基础题.与本题类似的是北京卷第6题，是充分条件、必要条件和充要条件与等差数列的交汇，有一定的难度对于这个知识点，虽然2022年全国卷均未涉及，但2021年的全国乙卷文理科第3题（同题）、全国甲卷理科第7题、全国新高考卷第2题，浙江卷第3题；2020年全国卷文理科第16题（同题）等考查的都是这个知识点，所以仍然要予以关注x2 2, x1,1例6 （浙江卷1

26、4）已知函数 则 _；若当f x f fx a,b时，1x 1, x1, 2x1 f (x)3 ba，则的最大值是_【命题意图】本题以分段函数为载体，第1个空结合分段函数的解析式求函数值，第2个空创设利用分类与整合思想求参数最值的情境，交汇考查了解不等式、分段函数图像与性质等知识，考查逻辑思维能力和运算求解能力，考查分类与整合思想和转化与化归思想，体现逻辑推理、直观想象等核心素养【试题评析】分段函数的分段讨论，本身就蕴含不等式思想. 分段函数中涉及函数类型具有多样性，有基本初等函数，如指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等，甚至还有抽象函数，有时还会涉及到含参数问题等在历年的考题中，这种命题方

27、式也是经常出现的，例如2022年北京卷第14题，2021年新高考全国卷第15题，2020年新高考全国卷第8题，2020年天津卷第9题，2019年全国卷文科第6题等10.1 ， c ln 0.9a 0. 1e ,b例7 （全国新高考卷7）设，则（ ）9abc c b acabC. D. a c bA.B.【命题意图】本题以给定的指数值、对数值、分数为载体，创设数的大小比较问题的情境，要求通过构造函数，利用导数判断所构造函数的单调性，从而判断a、b、c的大小关系，考查逻辑思维能力、数学建模能力和运算求解能力，考查函数与方程思想、转化与化归思想，体现数学建模、数学运算、逻辑推理等核心素养【试题评析】

28、数的大小比较问题本身就是不等式问题.这类问题常与幂函数、指数函数和对数函数的性质及运算相融合，难度可大可小.近几年的命题基本上都避开用特值法解题，而且解题方法灵活多变，综合性更强，有效地规避了解题的套路化.本题与2021年全国乙卷理科第12题的解题策略虽有所相似，但难度依然不小2022年有关数的大小比较问题涉及的知识板块相当广，试题设计新颖，创新性强，有效地规避了套路，回归数学本质10.1 ， c ln 0.9a 0. 1e ,b例7 （全国新高考卷7）设，则（ ）9abc c b acab D. a c bA.B.C.同型原则:先比谁？ h (x) 01)+1单调递减， 当 0 x 2 1时

29、，h(x) ex(x2，函数 h (x) 0 h(x) e (x 1) +1单调递增，x2 当 2 1 x 1时，函数h(x) 0，h(0) 0 ，所以当 0 x 2 1时，又 f (x) 0 所以当 0 x 2 1时，f (x) xe ln(1 x)x ，函 数单调递增，f (0.1) f (0) 0 ln 0.9 ，所以 a c所以，即 0.1e0.110.1 ， c ln 0.9a 0. 1e ,b例7 （全国新高考卷7）设，则（ ）9abc c b acabC. D. a c bA.B.虽然难，但解题思路是在对解决问题的需要进行分析的基础上产生的，思路是自然的，真正实现了从“解题”到“

30、解决问题”转变31114今年数的大小比较问题精彩纷呈，载体丰富，解a ,b cos ,c 4 sin（2022GL212）已知，则（ ）法多样，并且解题思路都是在对解决问题的需要进行分析的基础上产生的，真正实现了从“解题”324c b ab a ca c bD.到“解 决 问题”转变C. a b cA.B.(0,)单调递增，f (x) 在（2022GW212）已知9 10, 10 11, 8 9，则（ ）m a m b ma 0 ba b 0 b a 0b 0 a D.A.B.C.当 x 1时， f (x) mxm 1 1 0，所以 f (x) 在(1,)上单调递增，1例8 （浙江卷10）已知

31、数列 满足 ，则（） a 1,a a a2nnNan1n1n352577A. 2 100a B. 100a 3 C. 3100a D. 100a 4100100100100222【命题意图】本题以递推关系式为载体，创设求解100a 的范围的情境，交汇考查数列的单调性、累100加法、放缩法等知识，考查逻辑思维能力与运算求解能力，考查转化与化归思想，体现数学运算等核心素养【试题评析】数列是特殊的函数，不等式与数列的交汇也比较自然.这类试题的难度一般都比较大.2022年不等式与数列交汇的试题还有北京卷第6题，全国乙卷理科第4题，题量不少，主要是选择题特 点 3.强 调 应 用 ， 体 现 工 具 性

32、（1）体现数学语言的工具性数学的符号、词汇、式子及图表等都是数学语言，是表达数学对象之间的关系和形式的符号系统在传统数学中主要有代数语言（包括图像语言、图表语言）以及集合语言、微积分语言等在现代数学中，主要有集合论语言及数理逻辑语言等就表达形式来说，数学语言可分为文字语言、符号语言和图形语言等3种.集合、常用逻辑用语等常常作为表述数学问题的语言工具出现在数学试题中例9 （全国新高考卷17）已知 为等差数列， 是公比为 的等比数列，且b2nana b a b b a223344a b（1）证明：（2）求集合；11k b a a ,1 m 500中元素个数km1【命题意图】试题第（2）问以两个数列

33、项之间的关系为载体，以集合语言为表达形式创设问题情境.解决问题需要深刻理解集合语言表达的含义，包括对1 m 500的理解，并能够转化为代数符号语言，体现数学语言的工具性作用，交汇考查了集合、不等式解法、数列通项公式 等知识，考查逻辑思维能力与运算求解能力，考查化归与转化思想，体现数学抽象、逻辑推理、数学运算等核心素养【试题评析】以集合语言为设问背景命制试题，体现了集合语言的工具性作用，集合的描述法与数列、不等式的交汇考查，融合自然.只要理解集合语言，就能解决问题，是容易题与本题类似的有2022年北京卷第9题，上海卷的第12题、第16题，2021年北京卷第21题等例 10（上海卷16）设集合 (

34、x ， y) | (x k) 4 | k |， k Z2(y k2)2存在直线l ，使得集合 中不存在点在l 上，而存在点在l 两侧；存在直线l ，使得集合 中存在无数点在l 上；()A成立成立C不成立成立B成立不成立D不成立不成立【命题意图】本题以“圆”（包括原点）的标准方程载体，以集合语言为表达形式创设问题情境.解决问y) | (x k) (y k 4 | k |，k Z表达的含义，懂得它表示的是“圆”系上题需要深刻集合语言 (x ，2)2 2的点，体现数学语言的工具性作用，交汇考查了圆的标准方程、直线与圆的位置关系等知识，考查逻辑思维能力与直观想象能力，考查数形结合思想，体现数学抽象、逻

35、辑推理、直观想象等核心素养【试题评析】以集合语言为背景，体现了集合语言的工具性作用，集合的描述法与曲线方程交汇，融合自然.只要理解集合语言，就不难解决问题特 点 3.强 调 应 用 ， 体 现 工 具 性（2）体现数学运算的工具性不等式作为解决数学问题的运算工具，常常体现在与向量、函数、数列、导数及其应用、直线与圆、圆锥曲线、概率统计等相关问题中，凸显不等式的工具性作用.u uur uuuru uur222A A L AA A 上，则 PA PA L PA 的1 2 1 8例11 （浙江卷17）设点 P 在单位圆的内接正八边形取值范围是_的边1 282【命题意图】本题以单位圆的内接正八边形为载

36、体，创设利用不等式作为工具解题的情境.问题的解决需要根据正八边形的结构特征，通过建立平面直角坐标系，应用坐标法计算平面向量的模得到PA PA PA 8x2 y2 8，进而借助图形特征得到 cos 22.5 | | 1，并利用不等式作为222 OP 128解决问题的计算工具进行处理，较好地考查了逻辑思维能力、运算求解能力和直观想象能力，考查数形结合思想和转化与化归思想，体现数学运算、逻辑推理及直观想象等核心素养【试题评析】本题以向量的模的平方和作为命题的情境，借助不等式研究变量的取值范围，较好地体现了不等式的工具性作用与本题类似的还有2022年北京卷第10题，2020年新高考全国卷第7题等.与向

37、量有关的试题可利用向量的几何意义建立不等关系、或建立平面直角坐标系转化为函数最值建立不等关系涉及范围问题，探索发现不等关系，再利用不等式作为工具解题是命制这类问题的常用手段ADB 120, AD 2,CD 2BD例12 （全国甲卷文理 16）已知VABCD BC中，点 在边 上，当AC取得最小值时，BD _AB【命题意图】本题以解三角形为载体，创设最值问题的情境，解决问题需要利用余弦定理或建立平面直22ACAC角坐标系等构建目标函数的表达式，然后结合基本不等式求解在此过程中，探索发现的表达式是AB2AB2解题的关键，而根据表达式的特点利用基本不等式快速解题，则很好地体现了不等式的工具性作用本题

38、考查运算求解能力，考查函数与方程思想和转化与化归思想，体现数学建模、数学运算等核心素养【试题评析】本题以最值问题作为命题的情境，利用基本不等式解决问题，体现不等式的工具性作用.涉及最值问题，当目标函数为分式型函数时可以优先考虑利用基本不等式解题，这是常见的一种处理手段与本题类似的还有2022年全国新高考卷第18题的第（2）问，2020年全国高考卷理科第17题的第（2）问等.x2 y 1设 A, B是椭圆上异于2P(0,1)的两点，例 13 （浙江卷21）如图 1，已知椭圆12 1 2 Q 0,PA, PB且点 在线段AB上，直线分别1y x 3 C, D交直线于两点2（1）求点 P 到椭圆上点

39、的距离的最大值；【试题评析】本题是解析几何与不等式的结合问题，以最值问题作为命题的情境，考查灵活利用柯西不等式解决问题，体现不等式的工具性作用，有一定的创新性，对学生的综合能力要求较高（2）求| CD |的最小值【命题意图】本题以椭圆为载体，创设求最值的问题情境，第（2）问中在得到| CD |3 5 16k12的目标函数表达式|CD|后，利用柯西不等式作为工具解题，充分体2 | 3k 1|现了不等式的工具性作用在此过程中，考查了运算求解能力与逻辑推理能力，考查函数与方程思想和转化与化归思想，体现数学运算与逻辑推理等核心素养例14 （全国乙卷理10）某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛

40、结果相互独立已知该棋p , p , p p p p 0记该棋手连胜两盘的概率为p，手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为则（ ），且123321A. p 与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关C. 该棋手在第二盘与乙比赛，p 最大B. 该棋手在第二盘与甲比赛，p 最大D. 该棋手在第二盘与丙比赛，p 最大【命题意图】本题以棋手间的比赛为载体，创设了某棋手连胜两盘的概率与对手的比赛次序是否相关的情境，考查学生对相互独立事件概念的理解及乘法公式的应用，利用不等式作为工具比较概率大小，考查化归与转化思想，考查数学建模能力、逻辑思维能力和运算求解能力，体现了数学建模、数学运算、逻辑推理等核心素养【试题评析】从

41、近三年高考试卷看，本部分为高考热点，主要以课程学习情境和生活实践情境来考查.本题利用不等式知识来求概率的最大值，体现不等式的工具性作用例15 （全国乙卷理 9 文 12）已知球 的半径为 ，四棱锥的顶点为 ，底面的四个顶点均在球 的球O1OO面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（）1312A.B.C.D.332【命题意图】试题以球内接四棱锥为载体，创设使用基本不等式求最大值的情境，考查学生能否建立四棱锥体积表达1式VOABCD 2r h （其中 为四棱锥底面四边形 ABCD 所在的小圆半径， 为该四棱锥的高），然后转化为能够利用均值2rh33222122 r r 2h4 327不等式作为工具

42、来解决的问题，即VOABCD 2 2r h2 r r 2h22 ，显示了不等式的工具性作3333用.创设使用三元均值不等式有一定的难度本题考查直观想象能力、数学建模能力、运算求解能力和创新能力，考查函数与方程思想，体现数学建模、直观想象、数学运算等核心素养【试题评析】纵观历年试卷，立体几何中涉及最值问题，利用不等式解题的不是很多，虽然2020年全国卷理科第15题文科第16题（同题）考查了“圆锥内半径最大的球的体积”，但该题可以直接通过直观想象得到“该球就是圆锥的内切球”，因此，它无需借助不等式求最值所以，从某种意义上说，本题有一定的创新性，特别是使用了三元均值不等式求最值，在解法上也具有创新性

43、，值得关注（2022XG108）已知正四棱锥的侧棱长为 l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为 3 6，且3 l 3 3 ，则该正四棱锥体积的取值范围是（） 8118, 27 81 4 4 27 64 4 3 ,1 8, 27D.A.B.C. 4 设正四棱锥的底面边长为 2a ，高为 h ， 球的体积为3 6，所以球的半径 ,R 3 V 0V 0， 当3 l 2 6时，2 6 l 3 3，当时，64V所以当l 2 6 时，正四棱锥的体积 取最大值，最大值为，3274814274又l 3时，V，l 3 3时，V ,所以正四棱锥的体积 的最小值为，V27 64，所以该正四棱锥体积的取值范围是.

44、 4 3 （2022XG108）已知正四棱锥的侧棱长为 l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为 36，且3 l 3 3 ，则该正四棱锥体积的取值范围是（） 8118, 27 81 4 4 27 64 4 3 ,7A.B.C. 4 22643ll ，即l 2 6 时，Vmax当且仅当1C.，故选36 7233 V 0， 当0 hl 时，V 0，当h l 时，错在哪里？33设O A r ，高为 h ，34 331l 时，正四棱锥的体积V 取最大值，最大值为l所以当h327特 点 4.科 学 设 计 ， 体 现 创 新 性深化新时代教育评价改革总体方案等多个文件提出，构建引导学生德智体美劳全面发

45、展的考试内容体系，改变相对固化的试题形式，增强试题开放性，加强对关键能力和学科素养的考查，引导减少死记硬背和“机械刷题”现象.2022年高考各份数学试题都加大了创新力度，注重情境化试题设计，灵活性强，仅本文研究对象所涉及的设计科学且有创新的试题都达到了10题之多，特别是“数的大小比较”问题的命制，出现了与新的知识板块交汇，新的考查形式，精彩纷呈这些问题较好地考查了学生应用所学的数学知识、思想方法进行独立思考、探索和研究问题的能力，必将给中学数学教学带来积极的导向例16 （浙江卷9）已知a,bR，若对任意R x ,a| x b| | x 4| | 2x 5| 0，则（ ）【命题意图】试题以含绝对

46、值不等式为载体，创设分段函数的问题情境，考查逻辑思维能力和运算求解能a| xb| 2x5| | x4|力.解决问题，首先应该将问题转换为，将三个绝对值不等式问题转化为函数f x a | x b |的图像在函数 gx| 2x 5| | x 4|图像的上方，然后将函数 gx转化为分段函数，再借助对参数的合理分类来研究解不等式问题，或利用图像法解不等式等.在此过程中，考查分类与整合思想和转化与化归思想，考查逻辑思维能力、运算求解能力和创新能力，体现逻辑推理、数学运算与直观想象等核心素养【试题评析】试题出现三个绝对值两个参数，这在往年各地高考中比较少见，将三个绝对值不等式转化为两个函数图像的关系，是解决问题的关键。这种情境设置就是在浙江卷中也比较少见，体现了试题的创新性.但问题的本质还是回归到对不等式与函数的关系的理解，高三的复习应充分关注函数、方程与不等式之间的联系例 17 （全国乙卷理 4）嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太11阳飞行的人造行星，为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列 ：b 1 1，bn11b 1 3b 1 21 1， N L(k 1, 2, )，依此类推，其中则（） 11k 1 2 23b bb bb bb