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1、文档编码 : CV3S2F1U2E6 HD1L7Q5O8S3 ZP2C1F9O6M10名师总结 优秀学问点线性代数复习要点第一部分 行列式1. 排列的逆序数2. 行列式按行(列)绽开法就3. 行列式的性质及行列式的运算行列式的定义1. 行列式的运算: 定义法 Dna 11a 12La 1 nj j 12Ljn1 j j 12Ljna 1j 1a 2j2La njna21a 22La2nLMMMan 1an2a nn (降阶法) 行列式按行(列)绽开定理:行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和. . 推论 :行列式某一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘
2、积之和等于零a Aj1a Aj2La AjnA,ij,0,ij. 化为三角型行列式名师总结优秀学问点. 上三角、下三角、主对角行列式等于主对角线上元素的乘积Ab 11*b b 11 22Lb nnb 22*0MO*00L0b nn 如 A 与B都是方阵(不必同阶)名师总结优秀学问点O BA Bn n1a a2nKan 1, 就AO=AAOBOBOA=BA1 mnA BBOO2-100例 运算-1300001115 73500-252-100解-1300=2-1-1100113-25a2n1a 1n00-25a 1nO 关于副对角线:Na 2n11 2Na n1Oa n 1x ixjO11L1x
3、 1x 2Lx n 范德蒙德行列式:2 x 12 x 2L2 x nMMM1ji nn x 11n x 21Ln x n1例 运算行列式名师总结优秀学问点n2. abbLbbabLb ab型公式:bbaLban1 b ab n1M M M OMbbbLa 升阶法 在原行列式中增加一行一列,保持原行列式不变的方法 递推公式法 对 n 阶行列式D 找出D 与Dn1或Dn1,D之间的一种关系称为递推公式,其中D , n D n 1 , D n 2 等结构相同,再由递推公式求出 D 的方法称为递推公式法 n . 拆分法 把某一行(或列)的元素写成两数和的形式,再利用行列式的性质将原行列式写成两行列式之
4、和,使问题简化以例运算 . 名师总结 优秀学问点 数学归纳法 2. 对于 n 阶行列式A ,恒有:EAnkn1名师总结nk优秀学问点S 为 k 阶主子式;k 1S k,其中3. 证明A0的方法:、AA ;、反证法;4. 、构造齐次方程组Ax0,证明其有非零解;A ij 1ijMij、利用秩,证明r An ;、证明0 是其特点值 . 代数余子式和余子式的关系:Mij 1ijAij其次部分矩阵名师总结优秀学问点1. 矩阵的运算性质2. 矩阵求逆3. 矩阵的秩的性质4. 矩阵方程的求解1.矩阵的定义由 mn 个数排成的 m 行 n 列的表Aa 11a 12La 1 n称为 mn 矩阵 . a 21a
5、 22La 2nMMM记作:Aa ijm n或A m n. a m 1a m2La mn同型矩阵:两个矩阵的行数相等、列数也相等矩阵相等 : 两个矩阵同型,且对应元素相等. 矩阵运算 a. 矩阵加(减)法:两个同型矩阵,对应元素相加(减). c ijAa ij. b. 数与矩阵相乘:数与矩阵 A 的乘积记作A 或 A,规定为 c. 矩阵与矩阵相乘:设Aa ijm s, B b ijs n, 就CAB, m n其中c ij a i1,a i2,L,a isb 1ja b 1 1ja b 2jLa b sjb 2jMb sj a. 注: 矩阵乘法不满意:交换律、消去律, 即公式ABBAA不成立 .
6、 0 或B=0n A 11n A 22AB0分块对角阵相乘:AA 11A 22,BB 11B 22ABA B 11A B 22,n A b. 用对角矩阵左 乘一个矩阵 , 相当于用的对角线上的各元素依次乘此矩阵的行 向量;a 10L0b 11b 12Lb 1na b 1 11a b 1 12Lab 1 1 nB0a 2L0b 21b 22Lb 2na b 2 21a b 22La b 2nMM OMMMOMMMOM00La mb m 1b m2Lb mna b m 1a b m2La b mn名师总结优秀学问点T c. 用对角矩阵右 乘一个矩阵 , 相当于用的对角线上的各元素依次乘此矩阵的列
7、向量 . b 11b 12Lb 1 na 10L0a b 1 11a b 2 12La b 1 nBb 21b 22Lb 2n0a 2L0a b 1 21a b 2 22La b m 2nMMOMMM OMMMOMb m1b m2Lb mn00La ma b m1a b m2La b mn d. 两个同阶对角矩阵相乘只用把对角线上的对应元素相乘. 方阵的幂的性质:A A m nAm n, AmnA mn矩阵的转置:把矩阵A 的行换成同序数的列得到的新矩阵,叫做A的转置矩阵,记作T A . a. 对称矩阵和反对称矩阵:A是对称矩阵AT A . A 是反对称矩阵AA . T b. 分块矩阵的转置矩
8、阵:ABTT ACTCDTT BDA 11A 21LA n 1相伴矩阵:* AA ijTA 12A 22LA n2,A 为 A 中各个元素的代数余子式. MMMA 1nA 2nLA nn* AA* A AA E ,* AAn1, A1A1.分块对角阵的相伴矩阵:AB*BA*AB*BA* 1mnB Amn 1A B矩阵转置的性质:T ATAABTT TB AT AAA1TT A1T AA矩阵可逆的性质:A11AAB1B1A1A1A1A1kk A1Akk相伴矩阵的性质:AAn2AABB AAAn1A1A1AAkAAn如r A nr A1 如r An1ABA BAkAkAAA AA E (无条件恒成
9、立)0 如r An1 2. 逆矩阵的求法方阵 A 可逆A0. 相伴矩阵法A1A注 :ab1ad1bcdb主L换位cdca副 L变号A 初等变换法A E初等行变换E A1例求122的逆矩阵 . 名师总结优秀学问点212221解122100r 32r 21A22100r 3r 21A02112033212120100362100120r2r1133221001033011r20091r 132r22210012B2,所以1221B122B999999r 2r 11r 301092122122122 r 32 r 3999999221221221001999999111 分块矩阵的逆矩阵A:A1B1
10、AC1A11 A CB1AO1BA11OOBCB1CAOBB名师总结 优秀学问点1 1 1 1a 1 a 1 a 1 a 3 a 2 a 12 , a 2 a 12a 3 a 13 a 3 a 11 配方法或者待定系数法(逆矩阵的定义 AB BA E A 1B )例 设方阵 A 满意矩阵方程 A 2A 2 E 0 , 证明 A 及 A 2E 都可逆 , 并求 A 1及 A 2E 1. 解 由 A 2A 2 E 0 得1 A E A E , 故 A 可逆 , 且 A 1 1A E . 2 2由 A 2A 2 E 0 也可得 A 2 A 3 4 E 或 A 2 1 A 3 E , 故 A 2E 可
11、逆 , 且4A 2E 1 1 A 3 . 43. 行阶梯形矩阵 可画出一条阶梯线,线的下方全为 0;每个台阶只有一行,台阶数即是非零行的行数,阶梯线的竖线后面的第一个元素非零 . 当非零行的第一个非零元为 1,且这些非零元所在列的其他元素都是 0 时,称为 行最简形矩阵4. 初等变换与初等矩阵对换变换、倍乘变换、倍加(或消法)变换k初等矩阵的行列式初等变换初等矩阵初等矩阵的逆rir cic E i j , E i j , 1E i j , E i j , 1E i k kirk ick E i k E i k 1E i krirjk cicjk E i j k , E i j k , 1E i
12、 j , E i j k , 1.矩阵的初等变换和初等矩阵的关系:对 A 施行一次初等 行 变换得到的矩阵 对 A 施行一次初等 列 变换得到的矩阵, 等于用相应的初等矩阵 左 乘 A ;, 等于用相应的初等矩阵 右 乘 A . 留意:初等矩阵是行变换仍是列变换,由其位置打算:左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵 . 5. 矩阵的秩 关于 A 矩阵秩的描述:、r A r , A 中有 r 阶子式不为 0,r 1 阶子式 存在的话 全部为 0;、r A r , A 的 r 阶子式全部为 0;、r A r , A 中存在 r 阶子式不为 0;. 矩阵的秩的性质: A O r A 1; A O r A
13、 0 ; 0 r A m n min m n , .名师总结优秀学问点. r A r ATT r A Ar kA r A其中k0如A m n,B n s,如r AB 0r A r BnAx0 的解B 的列向量全部是r AB minr A r B 如 P 、 Q 可逆,就r A r PA r AQr PAQ;即:可逆矩阵不影响矩阵的秩Ax只有零解 如r A m nnr ABr B ABOBO;A 在矩阵乘法中有左消去律ABACBC如r B n snr AB r BB在矩阵乘法中有右消去律 .如r A rA 与唯独的E rO等价,称E rO为矩阵 的等价标准型 . OOOOr AB r A r B
14、 , maxr A r Br A B r A r BrAOOAr A r B , rACr A r B OBBOOB求矩阵的秩: 定义法和行阶梯形阵方法6 矩阵方程的解法A0 :设法化成IAX名师总结优秀学问点XABB或 III 的解法:构造A B初等行变换E XIIATE的解法:构造L初等列变换LIIBX的解法:将等式两边转置化为T A XTBT,用I 的方法求出X,再转置得X第三部分线性方程组名师总结优秀学问点1. 向量组的线性表示2. 向量组的线性相关性3. 向量组的秩4. 向量空间5. 线性方程组的解的判定6. 线性方程组的解的结构(通解)(1)齐次线性方程组的解的结构(基础解系与通解
15、的关系)(2)非齐次线性方程组的解的结构(通解)1. 线性表示: 对于给定向量组,1,2,L,n,如存在一组数k k2,L,k n使得k 11k22Lk nn,就称是1,2,L,n的线性组合,或称称可由1,2,L,n的线性表示 .线性表示的判别定理:可由1,2,L,n的线性表示由 n 个未知数 m 个方程的方程组构成n 元线性方程:a x 111a x 122La x 1 nnb 1、a x1a 22x2La 2nxnb2有解L L L L L L L L L L Lam1x 1am2x2Lanmxnb na 11a12La 1nx1b 1、a 21a22La 2nx2b 2AxMMOMMMa
16、m1am2La mnxmbmx1b 1、a 1a 2Lanx2(全部按列分块,其中b 2);MMxnbn、a x 1a x2La xn(线性表出)、有解的充要条件:r Ar A,n ( n 为未知数的个数或维数)2.设A m n,Bn s,A 的列向量为1,2,名师总结优秀学问点,s ,n , B 的列向量为1,2,b 11b 12Lb 1sc sa 1n2c 1就ABCm s1,2,nb 21b 22Lb 2sc c 2,L,MMMb n 1b n2Lb nsAic i, i1,2,L, i为Axc 的解A1,2,sA1,A2,Asc c 2,L,c sc c 2, L,cs可由1,2,n线
17、性表 示. 即: C 的列向量能由A 的列向量线性表示,B 为系数矩阵 . 同理: C 的行向量能由B 的行向量线性表示,A 为系数矩阵 . a 11a 12La 1n1c 1a 111a 122L即:a 21a 22La 2n2c 2a 211La 222La 2n2c 2ML2MMMMLc ma n1a n2La mnnc ma m11a m22La mn名师总结 优秀学问点3. 线性相关性判别方法:法 1法 2 名师总结 优秀学问点法 3 推论. 线性相关性判别法(归纳).名师总结优秀学问点(向量维数变动)线性相关性的性质零向量是任何向量的线性组合, 零向量与任何同维实向量正交. 单个零
18、向量线性相关;单个非零向量线性无关. 部分相关 , 整体必相关;整体无关, 部分必无关 . (向量个数变动)原向量组无关 , 接长向量组无关;接长向量组相关, 原向量组相关 . 两个向量线性相关对应元素成比例;两两正交的非零向量组线性无关. 向量组1,2,n 中任一向量i1 i n 都是此向量组的线性组合. 2,n线性表示 , 且表示法唯独 . 如1,2,n线性无关,而1,2,n,线性相关 , 就可由1,4. 最大无关组相关学问矩阵的初等变换不转变矩阵的秩向量组的秩向量组1,2,L,n的极大无关组所含向量的个数,称为这个向量组的秩. 记作r1,2,L,n矩阵等价A经过有限次初等变换化为B .
19、向量组等价1,2,n和1,2,n可以相互线性表示 . 记作:1,2,n%1,2,n矩阵的行向量组的秩列向量组的秩矩阵的秩 . 行阶梯形矩阵的秩等于它的非零行的个数., 且不转变行(列)向量间的线性关系名师总结优秀学问点s2,r,s线性相关 . , 就两向量组等价;向量组1,2,s可由向量组1,2,n线性表示 , 且sn ,就1,1,2,n向量组1,2,s 线性无关 , 且可由1,2,n 线性表示 , 就 s n . 向量组1,2,s可由向量组1,2,n线性表示 , 且r1,2,任一向量组和它的极大无关组等价. 向量组的任意两个极大无关组等价. 向量组的极大无关组不唯独,但极大无关组所含向量个数
20、唯独确定. 如两个线性无关的向量组等价, 就它们包含的向量个数相等. 设 A 是 mn 矩阵 , 如r A m , A 的行向量线性无关;5. 线性方程组理论线性方程组的矩阵式Ax,xx 1,b 1向量式x 11,jx 22L,nx nna 11a 12La 1n1jAa 21a 22La 2nx 2b 2其中j2j1 , 2, LMMMMMMmja m 1a m2La mnx nb m(1)解得判别定理11,2是Ax的解,12也是它的解(2)线性方程组解的性质:2是Ax,的解 对任意k k也是它的解齐次方程组的解的解k11,32, Lk是Ax的解 对任意 个常数1,2, L,k,1122kk
21、 也是它的解4是Ax的解,是其导出组Ax的解,是Ax51,2是Ax的两个解,12是其导出组Ax的解Ax6 2是Ax的解 就1也是它的解12是其导出组71,2, L,k 是Ax的解 就L21122Lkk也是Ax的解13 判定1,2, L,s是 Ax1122Lkk是Ax0 的解12Lk0的基础解系的条件: 1,2,L,s线性无关; 1,2,名师总结优秀学问点. L,s都是 Ax的解; snr A每个解向量中自由未知量的个数4 求非齐次线性方程组Ax = b 的通解的步骤1 将增广矩阵A b通过初等行变换化为阶梯形矩阵;2 当 r A b r A r n 时,把不是首非零元所在列对应的 n r 个变
22、量作为自由元;3 令全部自由元为零,求得 Ax b 的一个 特解 0;4 不计最终一列,分别令一个自由元为 1,其余自由元为零,得到 Ax 0 的 基础 解系 1 , 2 ,., n-r ;5 写出非齐次线性方程组 Ax b 的 通解x 0 k 1 1 k 2 2 . k n r n r其中 k k 2 ,., k n r 为任意常数 .名师总结优秀学问点29, 32.例求下述方程组的解x 1x2x 3x 4x 57,3x 1x 22x 3x43x 52,2x 2x 32x 46x 523解A %A b , 1111171010221233121320113220212623000010由于r
23、 A r A%25,知线性方程组有无穷多解. 原方程组等价于方程组x 11x 32x 53x 49, 22x21x3x 4x 523022x 3100令x 40 ,1 ,0 .x 50011 21 213求得等价方程组对应的奇次方程组的基础解系11,20,00100019 2求特解 : 令x 3x4x 50,得x 19,x223.故特解为23 2.02200所以方程组的 通解 为xk 11 2k 20k 329 2,(k k2,k 为任意常数) .1 21323 2100000000010(5)其他性质名师总结优秀学问点,s,线性无关一个齐次线性方程组的基础解系不唯独. 如是 Ax的一个解,1
24、, ,L,s是 Ax的一个解1, , LAx与 Bx同解(A B 列向量个数相同)rAr A r B , 且有结果:B它们的极大无关组相对应, 从而秩相等;它们对应的部分组有一样的线性相关性; 矩阵A m n它们有相同的内在线性关系. 同解PAB (左乘可逆矩阵P );与B l n的行向量组等价齐次方程组 Ax与 Bx矩阵A m n与B l n的列向量组等价AQB (右乘可逆矩阵Q ) . 第四部分方阵的特点值及特点向量1. 施密特正交化过程名师总结 优秀学问点2. 特点值、特点向量的性质及运算3. 矩阵的相像对角化,特别是对称阵的相像对角化1.标准正交基n 个 n 维线性无关的向量, 两两正
25、交 , 每个向量长度为1. a b n. , 从而 A 的特点值向量a a 2,L,a nT与b b 2,L,b nT的内积,na b ia b 1 1a b 2 2Li1与正交 ,0 . 记为: 向量a a 2,L,a nT的长度 ,na22 a 1a2L2 a ni2i1是单位向量,1. 即长度为 1的向量 . 2. 内积的性质 : 正定性 : ,0,且,0 对称性 : , 线性性 :12,1,2,k,k,3.设 A 是一个 n 阶方阵 , 如存在数和 n 维非零列向量x , 使得Axx,就称是方阵 A 的一个特点值,x 为方阵 A 的对应于特点值的一个特点向量. A的特点矩阵EA0(或A
26、E0). A的特点多项式EA (或AE ) . 是矩阵 A的特点多项式AOA12LnnitrA,trA称为矩阵 A 的迹 . 1 上三角阵、下三角阵、对角阵的特点值就是主对角线上的n 各元素 . 如A0, 就0 为 A 的特点值 , 且 Ax的基础解系即为属于0 的线性无关的特点向量a 1r A1A 肯定可分解为A =a 2b 1,b 2,L,b n、A2a b 1 1a b 2La b nAMa n名师总结优秀学问点if0 2 Lfn. 为:1trAa b 1 1a b 2La b n, 23Ln0 . 注a a 2, L,a nT为 A各行的公比,b b 2,L,b n为 A 各列的公比
27、. 如 A的全部特点值1,2, L,n,f A 是多项式 , 就: 如 A 满意f A OA 的任何一个特点值必满意ffA 的全部特点值为f1,f2,L,fn;f A 1A 与AT有相同的特点值,但特点向量不肯定相同. 4. 特点值与特点向量的求法 1 写出矩阵A 的特点方程AE0,求出特点值i. 的全部特点向量. 2 依据 AiE x0得到A 对应于特点值i的特点向量 . 设 AiE x0的基础解系为1,2,Ln r i,其中rir AiE . 就 A 对应于特点值i的全部特点向量为k 1 1k22Lkn r in r i,其中k k 2,L,k nr i为任意不全为零的数. 211例 求A
28、020的特点值和全部特点向量.413解 第一步:写出矩阵A 的特点方程,求出特点值. AE22131224312 2 1 00104解得特点值为11,232.其次步:对每个特点值代数齐次线性方程组AE x0,求其非零解 , 即对应于特点值当1 时,齐次线性方程组为AE x0, 系数矩阵111101AE030010414000名师总结 优秀学问点1得基础解系 :P 10,故对应于特点值1的全部特点向量为k P 1k0. 1当 2时,齐次线性方程组为 A 2 E x 0 , 系数矩阵4 1 1 4 1 1A 2 E 0 0 0 0 0 04 1 1 0 0 00 1得基础解系 : P 2 1,P
29、3 0 . 1 4故对应于特点值 2的全部特点向量为 k P 2 k P , 其中 k 2 , k 不全为零 . 5. A 与 B 相像 P AP 1 B( P 为可逆矩阵 )A与 B 正交相像 P 1AP B( P 为正交矩阵 )A可以相像对角化 A与对角阵 相像 . (称 是 A 的相像标准形)6. 相像矩阵的性质: E A E B , 从而 A B 有相同的特点值 , 但特点向量不肯定相同 . 注 是 A关于 0的特点向量 , P 1 是 B 关于 0的特点向量 . tr A tr B A B 从而 A B 同时可逆或不行逆 r A r B 如 A与 B 相像 , 就 A的多项式 f A
30、 与 B 的多项式 f A 相像 . 7. 矩阵对角化的判定方法 n 阶矩阵 A 可对角化 即相像于对角阵 的充分必要条件是A 有 n 个线性无关的特点向量. 这时 , P 为 A 的特点向量拼成的矩阵,P1AP 为对角阵 , 主对角线上的元素为A 的特点值 . 设i为对应于i的线性无关的特点向量, 就有:名师总结 优秀学问点11 P AP2O. nA可相像对角化nriEAk ,其中ik 为i的重数A 恰有 n 个线性无关的特点向量. 注 :当i0 为 A 的重的特点值时,A 可相像对角化i的重数nr AAx基础解系的个数. 如 n 阶矩阵 A 有 n 个互异的特点值A可相像对角化 . 8.
31、实对称矩阵的性质: 特点值全是实数 , 特点向量是实向量; 不同特点值对应的特点向量必定正交;注:对于一般方阵,不同特点值对应的特点向量线性无关; 肯定有 n 个线性无关的特点向量. 如 A有重的特点值 , 该特点值i的重数 =nriEA ; 必可用正交矩阵相像对角化,即:任一实二次型可经正交变换化为标准形; 与对角矩阵合同,即:任一实二次型可经可逆线性变换化为标准形; 两个实对称矩阵相像 有相同的特点值 . 9. 正交矩阵 AA TE正交矩阵的性质: A TA 1;T T AA A A E ; 正交阵的行列式等于 1 或-1 ;T 1 A 是正交阵 , 就 A,A 也是正交阵; 两个正交阵之
32、积仍是正交阵;A 的行(列)向量都是单位正交向量组. 名师总结 优秀学问点10. 120例实对称阵A222,求正交阵 Q,使得Q1AQ为对角阵 . T023120解AE2221250023所以 A 的特点值为11,22 ,35 ,当11时,解 AE x0,得基础解系为x 1T 2, 2,1当22 时,解 A2E x0,得基础解系为x22,1, 2T当35 时,解 A5 E x0,得基础解系为x31, 2, 2T令y 1x 12 2 1 , ,3 3 3Ty 2x 22,1,2Ty3x 3 , 132 2 ,3 3x 1x 2333x 3221令Qy y 2,y 3333,就Q1AQQTAQ20
33、021205033300112233311.施密特正交规范化1,2,3线性无关 , 名师总结优秀学问点正交化112,1123,223221,13,1331单位化:1,12,21112233技巧:取正交的基础解系,跳过施密特正交化;让其次个解向量先与第一个解向量正交,再把其次个解向量 代入方程,确定其自由变量 . 第四部分二次型名师总结优秀学问点1. 二次型及其矩阵形式2. 二次型向标准形转化的三种方式3. 正定矩阵的判定1. a 11a 12La 1nx 1T x Ax二次型f x x 2, L,x nin1jn1a x xjx 1,x 2,L,x na 21a 22La 2nx 2LLLLL2. a n1a n2La nnx nrp其中 A 为对称矩阵,xx x 1 2,L,x n TA 与 B 合同T C ACB . (A B 为实对称矩阵, C为可逆矩阵)正惯性指数二次型的规范形中正项项数p负惯性指数二次型的规范形中负项项数符号差2 pr r 为二次型的秩 两个矩阵合同
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