线性代数第六章补充

1、文档编码 : CB4N10C2W1R10 HU4G6L10O8A3 ZD4M2I5H6N7第六章补充题基础课程教学资料二次型练习六一、选择题：1.任何一个 n 阶满秩矩阵必定与n 阶单位矩阵（）；（A）合同；（B）相像；（ C）等价（D）以上都不对；注：如矩阵 A 经过初等变换化为矩阵 B,就称 A 与 B 等价 2.设 A 和 B 为 n 阶矩阵,就（）成立；（A）AB A 与 B 合同；（B）A 和 B 等价 A 与 B 合同；（C）AB A 和 B 等价；（D）A 和 B 等价 A B 3.设 A 和 B 为 n 阶矩阵,就（）成立；（A）A 与 B 合同 A 和 B 等价；（B）A 和

2、 B 等价 A 与 B 合同；（C）A 与 B 合同 AB；（D）A 和 B 等价 A B；4.设 A 和 B 为实对称矩阵,就（）成立；（A）AB A 与 B 合同；（B）A 与 B 合同 A B；（C）AB A 与 B 不合同；（D）A 与 B 合同 A 与 B 不相像；5.任一个 n 阶矩阵,都存在对角矩阵与它（）；（A）合同；（B）相像；（C）等价（ D）以上都不对；6.设 A 为实对称矩阵,就以下的（）成立；（A）如 A 的主对角线元素都为正数,就 A 正定；（B）如行列式 |A|0,就 A 正定；（C）如 A-1 存在且正定,就A 正定；（D）以上都不对；7. 设 A 是一个实对称

3、矩阵,假如对任一n 维列向量 X 都有XTAX0,那么（）. ）（A ） AO；（B）A0；（C）A0；（D） AO. 8.设 A 为 n 阶实对称矩阵,如二次型f x T x Ax 的秩为 r ,符号差为 s ,就必有（第 1 页 共 4 页第六章补充题（A ） r 是奇数, s是偶数（C） r , s 均为偶数,不能均为奇数（B） r 是偶数, s 是奇数（D） r , s 或均为偶数,或均为奇数9. 设 A , B 均为 n 阶实对称矩阵,矩阵 A,B合同的充分必要条件是（）（ A） r A =r B ; （B） A , B 的正惯性指数相等 ; （ C） A , B 均为正定矩阵 ;

4、（D）r A =r B ,且 A , B 的正惯性指数相等10. 设 n 阶矩阵 A 为正定矩阵,E为n阶单位矩阵,就在以下矩阵中,并非正定矩阵的是（）（A ）A T（B）A 1（C） A E（ D） A E11. 设 A, B 均为 n 阶正定矩阵,就矩阵 AB必是（）（A ）对称矩阵（B）正定矩阵（ C）可逆矩阵（D）正交矩阵二、填空题2 2 21. 二次型 f x 1 , x 2 , x 3 x 1 2 x 2 3 x 3 5 x 1 x 2 7 x 2 x 3 9 x 1 x 3 的矩阵 A=_ _；10 12对称矩阵 A 1 1 2 所表示的二次型为 _ ；1 2 122. 二次型

5、f x 1 , x 2 , x 3 x 1 2 2 x 2 2 2 x 1 x 2 2 x 2 x 3 的正惯性指数为 _,符号差为 _；3. 实二次型的规范形由 _唯独确定；4. 二次型 f x 1 , x 2 , x 3 a x 1 2 x 2 2 x 3 2 4 x 1 x 2 4 x 1 x 3 4 x 2 x 3 经过正交替换化为 6y ,就 2a；5.如 n 阶实对称矩阵 A 的秩为 rn且 A 2=A ,就 A 是_矩阵（正定,半正定, ）；正惯性指数为 _；2 2 2三、将二次型 f x 1 x 2 x 2 x 3 x 3 x 1 化为标准形,并求出相应的可逆线性替换；四、求正

6、交替换将以下二次型化为标准形,并写出所用的正交替换；1. f 1 2 x 1 2 x 3 2 4 x 1 x 3 4 x 2 x 32 2 22. f 2 5 x 1 5 x 2 2 x 3 8 x 1 x 2 4 x 1 x 3 4 x 2 x 3五、照实对称矩阵 A 的秩为 r,符号差为 s；试证 r 与 s 同是奇数或同是偶数,且 |s|r；六、 t 取何值时,二次型 f 2 x 1 2 x 2 2 3 x 3 2 2 tx 1 x 2 2 x 1 x 3 是正定的；七、证明：如 A 为 n 阶可逆矩阵,就 A TA 与 AA T 都是正定矩阵；第 2 页 共 4 页第六章补充题八、如

7、A 为 n 阶正定矩阵,1,2,n为 n 维非零向量,且中意T iAj0,（ij;i,j,12 ,n）；试证：向量组1,2,n线性无关；练习六参考答案一、 1.（ C）；2.（C）; 3.（ A）； 4.（A） ; 5.（C）; 6.（C）; 7.（D）；8（D）; 9.（ D）；10（ D） ; 11.（C）159x2x22x 1x2x 1x34x2x3；22 7；f二、 1. A52232 9273222. 正惯性指数2,符号差 1 3. 秩与正惯性指数；秩；4. 2 5. 半正定； r 三、提示：先将各括号开放整理,再配方；f22 y 13y2；x 1y 11y 2y31122 y 2x

8、 2y3（答案不唯独）22x 3y3四、 1.标准形：22 y 1y2 24y2 3；212正交替换公式：X=CY ,其中C3 23 23 13 23 13 23332.标准形：y2y210 y2,正交替换公式：X=CY ,其中C2 132 13 212323 423 10323第 3 页 共 4 页第六章补充题五、证明：设正惯性指数为p,就 s2pr,明显 r 与 s 同是奇数或同是偶数,又0pr, 易得|s|r；六、| t|5TA 是对称矩阵,且以ATA 为矩阵的二次型正定 3七、证明： 思路：证 A由于ATATT AA,所以 ATA 是对称矩阵；对任意的 X O, 由于 A 为 n 阶可逆矩阵,以A 为系数矩阵的齐次线性方程组只有零解,所以如 X O,就 AX O,从而二次型fXTATAXAXTAXAX20,得 A TA 是正定矩阵,AAT 同理可证；O,用 A 左乘等式两端得k1A1k2A2knAnO,八、证明：设k 11k22knn