2008年普通高等学校招生全国统一考试 数学理工

1、考试结束前机密2008年普通高等学校招生全国统一考试数学（理工农医类）（北京卷）本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，第I卷1至2页，第II卷3至9页，共150分考试时间120分钟考试结束，将本试卷和答题卡一并交回第I卷（选择题共40分）注意事项：1.答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上.2每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.不能答在试卷上.一、本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知全集U二R，集合A二（xI-2WxW3）,B=x

2、Ix4），那么集合A（B）等于（）UA.xI-2Wx4b.xIxW3或x24C.xI-2Wxbcb.bacC.cabd.bca“函数f（x）（xGR）存在反函数”是“函数f（x）在R上为增函数”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件TOC o 1-5 h z若点P到直线x=-1的距离比它到点（2,0）的距离小1,则点P的轨迹为（）A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线x-y+120,5.若实数x,y满足L+y20,则z=3x+2y的最小值是（）xW0,A.0B.1C.J3D.96.已知数列a对任意的p,qgN*满足a=a+a，且a=-6，那么a等于（

3、）np+qpq210高考教练网 HYPERLINK 高考教练网高考教练网A.165B.33c.30D.-217.过直线y=x上的一点作圆(x5)2+(y1)2=2的两条切线1，1，当直线1，1关于1212y=x对称时，它们之间的夹角为()过点P作垂直于平面A.30。B.45。c.60。D.过点P作垂直于平面8.如图，动点P在正方体ABCDABCD的对角线BD上.11111BBDD的直线，与正方体表面相交于M,N.设BP=x,MN=y,则函数y二f(x)的11图象大致是(2008年普通高等学校招生全国统一考试数学(理工农医类)(北京卷)第II卷(共no分)注意事项：用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试

4、卷上答卷前将密封线内的项目填写清楚.二、填空题：本大题共62008年普通高等学校招生全国统一考试数学(理工农医类)(北京卷)第II卷(共no分)注意事项：用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上答卷前将密封线内的项目填写清楚.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.已知(a-i)22i，其中i是虚数单位，那么实数a=.已知向量a与b的夹角为120。，且匕|=bl=4，那么bD(2a+b)的值为(111.若X2+展开式的各项系数之和为32,则n=，其展开式中的常数项Ix3丿为.(用数字作答)12.如图，函数f(x)的图象是折线段ABC，其中A，B，C的坐标分别为(0,4

5、,20)(64)，则f(f(0)=limAxt0f(1+Ax)f(1)Ax.(用数字作答)13已知函数f(x13已知函数f(x)二x2cosx,对于nn2,上的任意X1,x2有如下条件:xx；12x2x2；12卜x?.其中能使f(x)f(x)恒成立的条件序号是.1214.某校数学课外小组在坐标纸上，为学校的一块空地设计植树方案如下：第k棵树种植在点Pk耳，人)处，其中xi二1，yi二1，当k鼻2时xkykxkyk=x+15Tk1=yk1TT(a)表示非负实数a的整数部分，例如T(2.6)二2，T(0.2)二0.按此方案，第6棵树种植点的坐标应为；第2008棵树种植点的坐标应为三、解答题：本大题

6、共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15(本小题共13分)已知函数f(x)=sin2ex+43sinexsinex+-(0)的最小正周期为n.k2丿求e的值；2n求函数f(x)在区间0,亍上的取值范围.16(本小题共14分)如图，在三棱锥PABC中，AC二BC二2，ZACB=90，AP=BP=AB，PC丄AC.求证：PC丄AB；求二面角BAPC的大小;求点C到平面APB的距离.17(本小题共13分)甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到A，B，C，D四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者求甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率；求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率；设随机

7、变量g为这五名志愿者中参加A岗位服务的人数，求g的分布列.18(本小题共13分)2xb已知函数f(x)=，求导函数f(X)，并确定f(x)的单调区间.(x1)2(本小题共14分)已知菱形ABCD的顶点AC在椭圆X2+3y2=4上，对角线BD所在直线的斜率为1.当直线BD过点(0,1)时，求直线AC的方程；当ZABC=60。时，求菱形ABCD面积的最大值.(本小题共13分)对于每项均是正整数的数列A：a，a，a，定义变换T，T将数列A变换成数列12n11T(A)：n，a1，a1，a1.112n对于每项均是非负整数的数列B：b，b，b，定义变换T，T将数列B各项从大到小12m22排列，然后去掉所有

8、为零的项，得到数列T(B)；2乂定义S(B)=2(b+2b+Fmb)+b2+b2+fb2.12m12m设A是每项均为正整数的有穷数列，令A=T(T(A)(k=01,2,).0kF121k如果数列A为5,3,2,写出数列A，A；012对于每项均是正整数的有穷数列A，证明S(T(A)=S(A)；1证明：对于任意给定的每项均为正整数的有穷数列A,存在正整数K,当k上K时,0S(A)=S(A).kF1k2008年普通高等学校招生全国统一考试数学（理工农医类）（北京卷）参考答案一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1D2A3B4D5B6C7C8B二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30

9、分）9.-110.011.51012.2-213.14.（1，）（3402）三、解答题（本大题共6小题，共80分）15.（共13分）TOC o 1-5 h z、1-cos2x羽.宀羽.小1_1解：（I）f（x）=+sin2x=sin2x-cos2x+22222n=sin2x-I6丿因为函数/（x）的最小正周期为n，且o.所以=n，解得二1.2(II)由(I)得f(x)=sin2x-丁k6丿因为0WxW辛,n匕n7n所以-三W2x-W666W1,因此0Wsin:2x-n+2W2，即f（x）的取值范围为岸k6丿22L216.（共14分）解法一：（I）取AB中点D，连结PD,CD.AP=BP,PD丄

10、AB.AC二BC,.CD丄AB/PDnCD二D,AB丄平面PCD./PCu平面PCD,PC丄AB.(II)tAC=BC,AP=BP,:APCBPC.又PC丄AC，.PC丄BC又ZACB二90。，即AC丄BC，且ACAPC二C,.BC丄平面PAC取AP中点E连结BE，CEAB=BP,.BE丄AP.tEC是BE在平面PAC内的射影，.CE丄AP.ZBEC是二面角B-AP-C的平面角.在厶BCE中，ZBCE二90。,BC二2,sinZBEC=二面角B-AP-C的大小为arcsin63（III）二面角B-AP-C的大小为arcsin63平面APB丄平面PCD.过C作CH丄PD，垂足为H.平面APBA平

11、面PCD二PD，.CH丄平面APB.CH的长即为点C到平面APB的距离.由（I）知PC丄AB，又PC丄AC,且ABAAC二A,.PC丄平面ABC.CDu平面ABC.PC丄CDPC=；PD2-CD2=2PDPC=；PD2-CD2=2PD2.3点C到平面APB的距离为一汁.解法二：tAC=BC,AP=BP,APCBPC.又PC丄AC,PC丄BC./ACnBC二C,PC丄平面ABC./ABu平面ABC,PC丄AB.如图，以C为原点建立空间直角坐标系C-xyz.7则C(0,0,0),A(0,2,0),B(2,0,0).7设P(0,0,t).PB|=|AB|=2近,t二2,P(0,0,2).取AP中点E

12、,连结BE,CEAC=PC,AB=BP,CE丄AP,BE丄AP.ZBEC是二面角B-AP-C的平面角.E(011)EC二(0,-1,-1),EB二(2,-1,-1)E(011)2卫2卫263二面角B一AP一C的大小为arccos(III)AC二BC二PC,C在平面APB内的射影为正APB的中心H，且CH的长为点C到平面APB的距离.如(II)建立空间直角坐标系C-xyz./BH二2HE,点H的坐标为f2,誤333丿2*32*3点C到平面APB的距离为17(共13分)A31解：(I)记甲、乙两人同时参加A岗位服务为事件E,那么P(E)=十=AAC2A44054即甲、乙两人同时参加即甲、乙两人同时

13、参加A岗位服务的概率是占.TOC o 1-5 h zA41记甲、乙两人同时参加同一岗位服务为事件E，那么P(E)=匸=-,C2A410549所以，甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是P(E)二1-P(E)二.随机变量E可能取的值为1,2.事件“E二2”是指有两人同时参加A岗位服务,则陀=2)二C3A543所以P(J1)二if2)=4,2的分布列是213P3118(共13分)解:f(X)=2(x-1)2：(2：-必(x-D(x-1)42x+2b2(X1)3=2x-(b-1)(X1)3令f(x)二0，得X二b1.当b11，即b1，即b2时，f(x)的变化情况如下表:x(-8,1)(1b-1)b-1(

14、b-1,+a)八x)+0所以，当b2时，函数f(x)在(-,1)上单调递减，在(1b-1)上单调递增，在(b-1,+)上单调递减.2当b-11，即b2时，f(x)，所以函数f(x)在(只，1)上单调递减，在(人+只)x-1上单调递减.19.(共14分)解：(I)由题意得直线BD的方程为y二X+1.因为四边形ABCD为菱形，所以AC丄BD.于是可设直线Ac的方程为y-x+n.Ix2+3y2=4，“由0，解得迈n痙33设A，C两点坐标分别为(+人),*，打,3n3n2-4则x1+x2-y，xx=,y二一x+n,y二一x+n.1241122n所以y+y二.122人小(3nn、所以Ac的中点坐标为I4

15、4丿3nn由四边形ABCD为菱形可知，点,在直线yx+1上,I44丿n3n所以丁T+1，解得n一244所以直线AC的方程为y一x一2，即x+y+20.(II)因为四边形ABCD为菱形，且ZABC60。,所以ABBCCA.所以菱形ABCD的面积S|AC|2.由(I)可得|AC|2(x-x)2+(y-y)2(-3n2(-3n2+16)f-痙n3-3n2+162所以当n0时，菱形ABCD的面积取得最大值4J3.20(共13分)(I)解:A：5,3,2，0T(A):3，4，2，1，10AT(T(A):4，3，2，1；1210T(A):4，3，2，1，0，11AT(T(A):4，3，2，12211(II

16、)证明：设每项均是正整数的有穷数列A为a1,绰，TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark34 o Current Document 则T(A)为n，a1，a1，a1，112n从而S(T(A)2n+2(a1)+3(a1)+(n+1)(a1)112n+n2+(a1)2+(a1)2+(a1)212n又S(A)2(a+2a+na)+a2+a2+a2，12n12n所以S(T(A)-S(A)1=2n-2-3(n+1)+2(a+aHFa)+n2-2(a+adFa)+n12n12n=-n(nF1)Fn2Fn=0，故S(T(A)=S(A).1(Ill)证明：设A是每项均为非负整数的数列a,a，a.TOC o 1-5 h z12n当存在1WijWn，使得aWa时，交换数列A的第i项与第j项得到数列B,ij则S(B)S(A)=2(ia+ja-iaja)=2(i-j)(a一a)W0.jiijji当存在1Wmn，使得a=a=a=0时，若记数列a，a，a为C，mF1mF