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1、北京交通大学筑X筑北京交通大学筑X筑W学年第2学期离散数学基础（06级信科专业）期末试题&参考答案第第 页共7页证明(1)设足X匕的自反关系，因此XQR.ils(fi)的定义，s(n)?Jl,故s的DZxo对所有的XwX,有elXf得到c3(R),即s(Z?)是X上的自反关系。同理，对任意的力X,VR.因为“几)=nu7?2U,.,故必有V狄公“几)，即上(几)足X上的自反关系。(2)设况是X上的对称关系，对任意的X,若有Vr,yr(R)，则Zr，l!卩eR/x=y=e/?Vrr=y故y(A)是X匕的对称关系。又，如果V“et(R)=KUR2U,.f则存在某个$,便得住,故何序夕iJh,仏,，

2、【一1)，使得eR,cR,.,R因为况足对称的，故有y,ls_ieR,/?,cR得到VS72*0即Vjc,yr(l?),所以(7?)是对称的。在半群中，若对Va,bG,方程a壮二b和y*a二b都有惟一解，则关于运算*存在单位元。证明：任意取定aGG,记方程a*x二a的惟一解为e“即agFa。下证ex为关于运算*的右单位元。对VbwG,记方程y*a二b的惟一解为y。因为是半群，所以运算*满足结合律。从而b*eiF(y*a)*eiFy*(a*ei)=y*a=b。故ej.为关于运算*的右单位元。类似地，记方程y*a二a的唯一解为e“即ei*a二a。下证6为关于运算*的左单位元。对VbeG,记方程a*

3、x=b的惟一解为X。则ei*b=ei*(a*x)=(ei*a)*x=a*x=bo故er为关于运算*的左单位元。从而在半群中，在半群G,*中，关于运算*存在单位元，记为e。证明：如果图G二(V,E)是Ham订ton图，则对顶点集的任一非空子集X,都有p(G-X)|X|,其中p(G-X)表示图G-X的连通分支数。证明：设C是G中的Ham订ton回路，因为在回路中，依次删去一点及与此点相邻的两条边每次最多只增加一个分支，所以W(C-X)=1|x|o因为C是G的支撑子图，所以C-X是G-X的支撑子图。故p(G-X)W(C-X),故p(G-X)W(e),Tue-el是连通图，并且与T的边数相同，所以Tkje-el也是G的生成树。而WCToe-el

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