(整理)07曲线积分与曲面积分

1、精品文档精品文档第七章曲线积分与曲面积分(仅数学一)【大纲要求】：1理.解两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系.2.掌握两类曲线积分的计算方法.3掌握格林公式并会运用平面曲线积分与路径无关的条件，会求二元函数全微分函数的原函数.4了解两类曲面积分的概念、性质及两类曲面积分的关系，掌握两类曲面积分的计算方法，掌握利用高斯公式计算曲面积分的方法，并会用斯托克斯公式计算曲线积分.5了解散度、旋度的概念，并会计算.6会用曲线积分及曲面积分计算一些几何量和物理量(平面图形的面积、体积、曲面的面积、弧长、质量、质心、形心、转动惯量、引力、功及流量等).一、曲线积分1第一类曲线积分

2、(对弧长的曲线积分)()【定义】设曲线L是工分平面上的分段光滑曲线，xy)是定义在曲线L上的有界函数，则f(xy)在曲线L上的第一类曲线积分为ii其中,表示第i个小弧段长度，为这n个小弧段长度的最大值.f(xii其中,表示第i个小弧段长度，为这n个小弧段长度的最大值.()性质性质1设.,为常数，则f(x,y)g(x,y)ds/1(x,y)ds(x,y)ds.性质2设l由l和l两段光滑曲线组成(记为“l.l)，则212f(x,y)dsf(x,y)dsf(x,y)ds.L2L1L2性质3设在L有f(x,y)g(x,y)，则If(x,y)ds(%,y)ds性质4(中值定理)设函数f(x,y)在光滑曲

3、线L上连续，则在L上必存在一点g)，使1f(x,y)dsf(H)其中s是曲线L的长度.L性质5对称性(1)曲线关于坐标轴的对称性若曲线l关于x轴对称，则有，f(x,y)ds,f(x,y)关于x是偶函数f(x,y)dsl1l10,f(x,y)关于x是奇函数其中L为L在x轴上方部分.曲缎L关于y轴对称，则有，f(x,y)ds,f(x,y)关于y是偶函数f(x,y)dsL1L，f(x,y)关于y是奇函数其中L为L在y轴右方部分.(2)积1分关于积分变量的对称性若在曲线的方程中，x与y对调后方程不变，则有f(x,y)dsf(y,x)ds.(3)计算方法LL直接计算法(参数方程法)i)如果曲线l的方程为

4、:Tx()，(.,)，则yy(t),吗(x,y)dshBfx(t),y(t)”(t)y(t)dtii)如果曲线l的方程为:y(x),“xb，则Bf(x,y)dsIbfx,y(x)vly(x)dxLxx(y),cyd，则，(x,y)ds/x(y),yV1x(y)dyiv)如果曲线L的方程为Ig,.，则Hf(x,y)dsf(rcos，rsin)r2(H)r()d注意：以上计算中要注意两点：曲线L的方程的参数形式已知(参数可以不同)，即一定要把曲线L的方程化为参数方程；积分的下限一定要小于上限即积分限必须由小到大(与起点终点大小无关)。利用积分曲线与积分变量的对称性计算.【题型一】第一类曲线积分的计

5、算【例】求IJx2y2ds，其中C为x2y2yC【解答】：【例】求,呼心一是椭圆吟1在第一象限的部分【例3【例3】求周长为a【解答】：I(Xsin、x2y2X24y27y)ds，其中L是x2(y1)21，且L的Lv4【例】求I.x2.y2.z2)ds，其中L是点(1,m,2)到点(2,1,3)的直线段X2X2y2z24a2,z0a0X2y22aX【例】求iyds，其中l：lx2y2z2【解答】：9【例】计算/(x2y2z2)ds，其中L：STy2z2-2L*z1【解答】：2第二类曲线积分(对坐标的曲线积分)()【定义】设曲线L为xy平面上从点A到点B的有向光滑曲线，P(x,y),Q(x,y)为

6、曲线L上的有界函数，则P(x,y),Q(x,y)沿曲线L的第二类曲线积分为iiiiiiL0.其中为这几个小弧段长度的最大值:tP(x,y)dxQ(x,y)dyiiiiiiL0.其中为这几个小弧段长度的最大值:(2)性质性质1设L是有向曲线弧，M是与L方向相反的有向曲线弧，则P(x,y)dxQ(x,y)dyP(x,y)dxQ(x,y)dy；LL即第二类曲线积分与积分弧段的方向有关.性质2如L由L和L两段光滑曲线组成，则12PdxQdyBllpdxQdyPdxQdy.L(3)计算方法L(3)计算方法L1L2直接计算法(参数方程法)：如果曲线L的参数方程为x.x(t),y.y(t),则P(x,y)d

7、xQ(x,y)dy叫px(t),y(t)x)Qx(t),y(t)y)dt.L其中是指参数的/的起点值到参数,的终点值(它可以由小到大，也可以由大到小。必须强调的是：它是,的起点值终点值)。如果曲线L的方程为y.y(%.起点为。,终点为b，则PdxQdyPx,y(x)Qx,y(x)y(%)dx.La如果曲线L的方程为xx(y),起点为g终点为d，则PdxQdy1Px(y),yx(y)Qx(y),ydy.Lc间接计算法(利用格林公式，与路径无关，求原函数法)i)格林公式(格林定理)：设闭区域D由分段光滑的曲线L围成，函数P(x,y)及Q(x,y)在D上具有一阶连续偏导数，则有PdxQdyll|x1

8、xdy其中L是D的取正向的边界曲线.注意：)公式使用条件：P(x,y),Q(x,y)和里，E在D上连续；L的方xy向为正方向，即某人沿着L的方向行走时，区域D始终在他的左手边(可简单的理解为外边界是逆时针方向，内边界是顺时针方向)L必须是封闭的.2)结论：把第二类曲线积分转化为二重积分的计算.3)用法技巧：条件不满足时，创造条件(连续、正向、封闭)尽可能使用格林公式;常用技巧：补线，挖洞、换曲线(当积分值与路径无关时)。ii)曲线积分与路径无关的定理：设开区域D是一个单连通域，函数p(x,y)及Q(x,y)在D内具有一阶连续偏导数，则下列命题等价:（a）曲线积分PdxQdyL在（a）曲线积分P

9、dxQdyL在D内与路径无关;（b）表达式PdxQdy为某二元函数u(x,y)的全微分；(c)P忠在D内恒成立；y,(d)对D内任一闭曲线L，IPdxQdy0.L注意：利用线积分与路径无关解题条件：p(x,y),Q(x,y)和吆,9在单xy连通区域D上连续；结论：在单连通的条件下：(a条件).(b(cP里.(a条件).(b(cyxLPQ存在函数F(x,y)使得PdxQdydF(x,y)yxBPdxQdyF(x,y)b(x2,y2)A(x1,y1)P.里.Pdx.Qdy在D内与路径无关.选择路径的一般经验是:y0L平行于坐标轴的路径(方便，简单).(d吆存在函数F(x(d吆存在函数yx【方法一】

10、线积分法：注意：常常如下取：PdxQdydF(x,y)，贝UFyx【方法一】线积分法：注意：常常如下取：F(x,y)(x,y)P(x,y)dxQ(x,y)dyC(x0,y0)TOC o 1-5 h zF(x,y)HUP(x,y)dxHUP(x,y)dyCx00y0F(x,y)xP(x,y)dxyP(x,y)dyCx0y0 x0【方法二】偏导数法：由FPF(x,y)(x,y)dxA(y)，两边求导，由IFQ，积分求出A(y)xx0y进一步求出F(x,y).【方法三】凑微分法：利用凑微分，把PdxQdydF(x,y)F(x,y).空间曲线积分|P(x,y,z)dxQ(x,y,z)dyR(x,y,z

11、)dz的计算()直接法(参数方程法)：xx(t)设曲线L的方程为Sy(t)，t,周，则IP(dxQdyRdzzz(t)LPx(t),y(t),z(t)x(t)Qx(t),y(t),z(t)y(t)Rx(t),y(t),z(t)z(t)dt(2)间接法利用斯托克斯公式.斯托克斯公式：设为分段光滑的空间有向闭曲线，.是以.为边界的分片光滑的有向曲面，的正向与的侧符合右手规则，函数P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)在包含曲面在内的一个空间区域内具有一阶连续偏导数，则有公式PdxQdyRdzL数，则有公式PdxQdyRdzL.暮|dydz胃称Idzdx!晟Idxdy为了便于记忆，斯托

12、克斯公式常写成如下形式:dydzdzdxdxdyPdxQdyRdziyQR注意：斯托克斯公式的作用：把空间曲线积分与曲面积分的相互转化.使用公式的关键是：有L后如何选取相应的曲面，可以选曲面，也可以选平面，一般选平面方便4.两类曲面积分的关系IPdxQdytPcosQcos)ds其中cos-cos是有向曲线L的切线的方向余弦值得注意的是，曲线积分给出的往往是的法线方向，因此在计算中必须将法线的方向余弦转化为切线的方向余弦【题型二】第二类曲线积分的计算【例】求/y2dxxdy，其中L是抛物线y.x2从A(1,1)到B(,1)，再沿直线到C(0,2)所形成的曲线【解答】：【例】求I岩，其中L是A(

13、0,)到B(1,0)，再到C(0,1)的折线段中|y|【解答】：【例】求I43exmy)dx(3y2exm)dy，其中L是A(1,0)B(2,1)的直线再沿半圆周到c6的曲线【解答】：【例】求I(cosexex.inex痴xy)dxcosex.dy其中c是圆周(x2)2cxy(y2)22沿A(1,1)到B(3,3)的一段弧【解答】：【例】求线积分I93dx.(3xx3)dy的最大值，其中C是x2y2R2(R0)的正向C【解答】：【例】计算线积分ixd,其中l为LX2y2()圆周(X1)2(y1)21的正向；()菱形边界Xy1的正向【解答】：【例】计算i.(xy)d(xy)d,其中c是由)沿曲线

14、y.3x到cX2y2B()的一段弧【解答】：【例】求Ixy)d(xy)d，其中曲线c是从4-0)沿y.Hx28到cx2y2B(2,0)的弧段【解答】：【例】已知曲线积分i出yda(常数)，其中2)可导，且i,L是绕原点(00)一周的任意正向闭曲线，试求*x)及A【解答】：【例10】曲线yx(tx)(t0)与x轴的两个交点分别为0(0,0)及A(t,0)，又曲线在点A的切线交y轴于B，弧AB是从A到B的直线段，求t的值，使得I(t)(sinyy1)dxx1cosyBn(x1)dy为最小.【解答】：弧ABx为最小.【解答】：【例1设C为分段光滑简单闭曲线，:为曲线C的外法线方向，D为C所围成的闭区

15、域，u(x,y)在D上具有连续二阶偏导数，证明：tudismHuu)dxdyc*iy2【解答】：【例】求Iy2.)dx(z2x2)dy(x2y2)dz，其中c为八分之一球面:cx2y2z21,X0,y0,z0的边界线，从球心看cC为逆时针方向【解答】：【例】求Iydxzdyxdz，其中C：:2y2z2R2，C的方向是由zCzR轴正向看去(即人眼与x轴正向一致)是逆时针【解答】：二、曲面积分.第一类曲面积分(对面积的曲面积分)()【定义】设曲面是光滑的，函数/(九乂幻在上有界，把任意分成八小块邓(邓同时也表示第i小块曲面的面积)，对邓上任取一点(.)作乘积/(,)”12.,n)并作和,如果当各小

16、块曲面的直径的最大值.()时，这和式iiii的极限存在，则称此极限值为Q,z)在上或对面积的曲面积分，记为Mx,y,z)dSBlimBf(,).0其中内,z)称为被积函数：称为积分曲甯.()性质性质第一类曲面积分与曲面的侧的方向无关，即%,j,z)dS.fix,j,z)dS-性质P(x,y,z)g(x,y,z)dSMx,y,z)dSP，%z)dS-性质3y,z)dS左Mx,y,z)dS性质4j,z)dSJ,z)dS%,J,z)dS-性质5：帚称性)2若关于w平面对称，“羽乂刀关于变量工有奇偶性，则有2H羽y,Z)dS,f(x,y，,)f(x,y,z)f(x,y,z)dS0I0,f(x,y,，)

17、f(x,y,z)其中.是.在xy平面上方部分.若关于xz平面对称，f(x,y,z)关于变量y有奇偶性，则有2nx,y,Z)dS,f(x,吗,Z)f(x,y,Z)f(x,y,z)dS0I0,f(x,吗,z)f(x,y,z)其中是在xoz平面右方部分.若关于yoz平面对称，f(x,y,z)关于变量x有奇偶性，则有Hx,y,z)dS,f(Bx,y,z)f(x,y,z)f(x,y,z)dS0|0,f(Br,y,z)町(x,y,z)其中是在yoz平面前方部分.(关于积分变量的对称性)：若在曲面.的方程中，某两个变量对调以后，方程不变，则在曲面积分中被积函数中的这两个变量对调后的两个曲面积分的值相等.(3

18、)计算方法直接计算法(化为二重积分法)(a)设曲面:zz(x,y)在xoy平面上的投影区域为D，f(x,y,z)在上连续,xyzz(x,y)在D上有一阶连续偏导数，则有xyHx,y,z)dSHx,y,z(x,y)1z2(x,y)z2(x,y)dxdy.xyDb设曲面yy(x,z)在xoz平面上的投影区域为D，f(x,y,z)在上连续,xzyy(x,z)在D上有一阶连续偏导数，则有xzHx,y,z)dSHx,y(x,z),z-.,1y2(x,z)y2(x,z)dxdz.*xzD(c)设曲面,x、x(y,z)在yoz平面上的投影区域为D，f(x,y,z)在上连续,yzxx(y,z)在D上有一阶连续

19、偏导数，则有yznx,y,z)dSnx(y,z),y,z)J1x2(y,z)x2(y,z)dydz.yzD利用对称性(积分曲面的对称性和被积函数的对称性)计算【题型三】第一类曲面积分的计算【例】求I飞xbyczd)2dS，其中是球面：x2y2z2R2【解答】：【例】求Iz2X生）dS，其中是平面：上一1在第一卦限的部3234分.【解答】：【例】求I“dS，其中是柱面X2y2R2被X0,y-0,z0,z1所截得的在第一卦限的部分【解答】：【例】求I4X2y3z4)2dS，其中是正八面体xyz1的全表面【解答】：【例】球面X2.w.z2.25被曲面z.13X2y2分为三部分，试求这三部分曲面的面积

20、之比.【解答】：第二类曲面积分(对坐标的曲面积分)()【定义】设为光滑的有向曲面，P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)在上有界，则U|x,y,z)dydzQ(x,y,z)dxdzR(x,y,z)dxdylimP(,)Q(,)R(,)|0iiiyziiixziiixy其中,分别表示第i个小有向曲面更在坐标面yz,xoz,xoy上的1fyzxzxyI投影性质性质UtttydzQdxdzRdxdyUdydzQdxdzRdxdyUUdydzQdxdzRdxdyUdydzQdxdzRdxdy-性质UdydzQdxdzRdxdyIlMUdydzQdxdzRdxdy这里.:表示曲面的两侧(如

21、一表示外侧，表示内侧)两类曲面积分之间的关系UdydzQdxdzRdxdyHPcosQcosRcos-dS.其中cos,cos.cos为曲面上点(x,y,z)处法线的方向余弦.计算方法直接计算法(化为投影的二重积分)设光滑曲面.：zz(x,y)，与平行于z轴的直线至多交于一点，它在xOy面上的投影区域为d，则.xy【计算步骤】一投：把向BR【计算步骤】一投：把向BR|x,y,z)dxdy!BRx,y,z(x,y)dxdyDyzxOy面投影得到投影区域d二代：把被积函数中的R(x,y,z)中的z用I，xyz(x,y)代入，三定号：确定投影的正负号，确定方法是：若.的法向量场与z轴正向的夹角(n人

22、z)为锐角时取“+”号，若(naz)为钝角时取“-号.U(x,y,z)dydz，”x,y,z)dxdz的计算于此完全相同.向量点积黑(投影轮换法)xy设光滑曲面:zz(x,y)，它在xOy面上的投影区域为d，P,Q,R在上连续,xy函数z(x,y)在d上的一阶偏导数连续，则xyHUtydzQdxdzRdxdy一一一WX,j,z(x,j)(lZ)Qx,j,z(x,j)(lZ)Rx,j,z(x,j)dxdyXlj正负号的确定方法同前间接法(利用高斯公式)高斯定理：设空间闭区域.由分片光滑的闭曲面.围成，函数P(xyh、(x,J,z)Q(x,j,z)、R(x,j,z)在上具有一阶连续偏导数，则有公式

23、UdjdzQdzdxRdxdj曹看.或1HBcos.QcosRcosHdS|HQv这里是:的整个边界曲面的外侧，：oscos.cos是上点(xyz)处的法向量cos,coscosx,j,z的方向余弦.高斯公式的使用条件：(i)P,Q,r,E，垩，我在上连续；xlj.是封闭曲面；.取外侧.高斯公式的作用：把第二类曲面积分和三重积分相互转化.3.通量与散度设有向量场ffffA(x,j,z)P(x,j,z)iQ(x,j,z)jR(x,j,z)k,其中函数p、Q、R有一阶连续偏导数，.是场内的一片有向曲面，方。是曲面.的单位法向量.则沿曲面.的第二类曲面积分mbSHlk。dSmltPljdzQdzdx

24、Rdxdj称为向量场A通过曲面流向指定侧的通量.而1P忠1Rxlj称为向量场A的散度，记为divA，即divA里4.环流量与旋度设向量场A(x,y,z)P(x,y,z)iQ(x,y,z)jR(x,y,z)k,则沿场,中某一封闭的有向曲线C上的曲线积分PdxQdyRdz称为向量场,沿曲线C按所取方向的环流量.而向量函数称为向量场a的旋度，记为rotAA，即A餐畤卜。咱!唱唱1.旋度也可以写成如下便于记忆的形式:jjrotAxyPQzR【题型四】第二类曲面积分的计算z；X2y2,z1,z2所围成的闭曲面【例】求z；X2y2,z1,z2所围成的闭曲面X2y2外1J【解答】：【例】求/#dydzz2d