机器学习方法在气动特性建模中的应用

1、机器学习方法在气动特性建模中的应用摘 要：气动数据建模是飞行性能仿真评估的基础气动特性建模主要有机理建模方法和“黑箱”建模方法本文 对“黑箱”建模的三类机器学习方法一分类与回归树方法、浅层学习方法和深度学习方法，进行了算法说明与分 析应用。将分类与回归树方法、浅层学习方法中的Kriging建模方法、R2F神经网络方法及SVM支持向量机方法 分别应用于火箭气动特性建模、三角翼大迎角非定常气动特性建模、气动热试验数据融合，对这几类建模方法的优 势和不足进行了比较分析同时，将流动条件参数组成向量，再映射为图像，与翼型图像构成“合成图像”，建立了 基于翼型几何图像、来流马赫数、迎角的翼型气动特性深度神

2、经网络模型，得到了比较好的预测效果，拓展了气动 特性深度学习建模方法的使用范围关键词：气动特性建模；机器学习；分类与回归树；浅层学习；深度学习App li cat i ons of mach i ne learn i ng for aerodynam i c character i st i cs model i ngAbstract: Mathematical modeling of aerodynamic data plays an important role in the performance evaluation of a flight vehicle. There are two

3、 kinds of aerodynamc characteristics modeling methods， 1. e.， the rational modeling method based on physical mechanism and the “blackbox modeiing methods. In this paper， three types of & black-box modeiing methods including the classification and regress i on tree method (CART)， the shallow learn i

4、ng method， and the deep learning method are investigated. The CART method and three shallow learning methods ;ncludng Krgng method，radal bass functon ( R2F) neural network method，and support vector machnes(SVM) method are appled to the aerodynamc data model;ng of rocket， the unsteady aerodynamc char

5、acterstcs model;ng for delta wng wth large angle of attack，the aerodynamc heat data fusion of wind tunne l test and CFD. The advantage and shortage of these modeiing methods are compared. A deep learning neural network model of airfolls aerodynamc coeffcents ;s bult.It cons;ders the ;nfluence of arf

6、ol pcture and flow parameters such as Mach number，angle of attack on the prediction results at the same time through a “synthetic picture. It couAd significanty expand the appied range of the deep Aearning modeing method in aerodynamic research fieAd.Keywords: aerodynamic character i st i cs mode i

7、i ng ; mach i ne learning； CART； shallow learnng* deep learnng气动数据建模是飞行器飞行性能仿真评估的基 础对于飞机、导弹等飞行器，其常规飞行包线内的 气动特性通常是马赫数、总迎角、滚转角及三个等效 舵偏角的六维函数，如果要通过计算和风洞试验手段来得到整个飞行包线范围内的气动特性，需要的试验 和计算量十分巨大当迎角比较小时，可以进行简 化，建立以线化空气动力系数（导数）为基础的数学模 型来得到不同马赫数、不同迎角、不同舵偏角下的气 动特性而现代飞行器的机动性越来越大，迎角和舵 偏角变化范围更宽，舵与舵之间会存在较强的干扰， 此时不能再

8、沿用线性导数模型，需要根据典型试验结 果，如风洞试验或高精度的数值计算结果，来建立起 多变量非线性的气动特性数学模型如果进一步考 虑流动非定常效应，数学模型中还需进一步考虑角速 率、迎角变化率等影响，参数空间将进一步增大即 * = /#=（ ,a , - , G !* !L , t G L ,a ,.）。式 中，*表示飞行器的六分量气动系数,为马赫 数,0、-为迎角和侧滑角.S*.Sl分别为滚转、偏 航、俯仰舵偏M* 分别为滚转、偏航、俯仰 角速率飞行器的气动特性建模主要有两大类方法：一类 是基于机理建模的方法,如多项式模型、基于几何对 称关系的三角函数模型、微分/积分方程模型等,比较 典型的

9、例子是大迎角非定常气动力的微分方程模 型CF 另一类方法是基于人工智能的黑箱建模方 法,如决策树方法、BP神经网络、RBF神经网络建模 方法、模糊逻辑建模方法、Kriging方法及高斯过程法 等811,其基本思想是建立决策树、神经网络等输入- 输出之间的映射模型,通过训练样本数据的学习，对 模型的结构、权值参数进行调整,使其对数据具有最 佳的拟合及预测效果,因而该方法也通常称为机器学 习方法。相比较而言,基于机器学习的建模方法对非 线性数据的拟合能力通常优于机理建模方法，但泛化 能力较弱，而机理建模方法中的模型各项都有一定的 物理意义,具有较好的普适性。近年来,深度学习方 法研究取得了重大进展

10、,该方法也是机器学习方法, 目前已在流体力学和气动特性建模中得到了初步应 用120为加以区分,BP神经网络、RBF神经网络建 模方法、Krigmg方法等通常称为浅层学习方法。本 文采用三类建模方法一一分类与回归树方法、浅层学 习方法和深度学习方法,对典型案例的气动数据进行 了建模计算，并对这几类建模方法的优势和不足进行 了比较分析。1分类与回归树方法1.1 基本思想分类与 回归树（Classification and Regression Tree Method , CART）方法是一种决策树方法,也是 一种非常有趣并且十分有效的非参数分类和回归方 法,是以实例为基础,利用已知的多变量数据构建

11、预 测准则，再根据其他变量值进行预测的方法E。该 方法采用了与传统统计学完全不同的二叉决策树的 形式来构建预测准则，其决策树的主要结构如图1所 示,其基本思想是根据样本各变量值X,与阈值4 的比较进行分化，构建起二叉树，树的叶子结点+1 代表的就是预测值，其中，分化的优劣及阈值41的 选取由它产生的子结点值的离散程度来确定。决策 树的最终构建包含两个过程：建树和剪枝。建树就是 通过部分的训练样本数据建立起决策树，直到每一个 叶子结点都对应样本点为止。剪枝的过程则是通过 剩余的训练样本数据,对已经构建的决策树进行结点 的增减,使得决策树在分类性能上能够达到最优。该 方法目前在航空科学研究领域已得

12、到了应用st。图1 CART方法中的决策树示例Fig.1 Decision tree in CART method1.2火箭气动特性建模算例考虑如图2所示的轴对称火箭,采用DATCOM 软件1E（，计算马赫数=（1.5、总迎角a = 6情况下三 个舵面都偏转时的轴向力，作为实测数据进行建模。 数据共有216组舵面组合,对应滚转舵偏工（0, 5, 10；偏航舵偏* （ 15,10,5,0 ,5, 10, 15,20；俯仰舵偏l （ 20 , 15 , 10 , 5 ,0 , 5 ,10 ,15 ,20的全组合。同时由于每组舵面组合取 了 8 个不同的滚转角 6 = 135, 45 ,0 ,22.

13、5 , 45 ,67.5 ,90 ,180o 因而共计 216 ） 8 （ 1728 个状 态数据点。文献17中基于均匀性原则从1728组数 据中选出50个状态点作为训练样本点,采用正交最 小二乘法（OLS）进行建模,对其余1678个状态点进 行预测，得到了比较好的结果。对这一算例考虑CART建模方法,首先分析了 训练样本数对建模效果的影响。图3中给出了不同 训练样本数情况下CART模型对所有1728组样本 的预测结果,可以看到，随着训练样本点的增加，预测 结果的均方差逐步减小。图4中的CART”给出了 训练样本数为250时建立的CART模型对一组舵偏 组合状态的预测结果 及其与正交最小二乘建

14、模结果 的比较。从图4中可以看到该建模方法是可行的。图2典型轴对称火箭Fig.2 Typical axisymmetric rocket图3训练样本数对预测均方差影响Fig. 3 Influence of training samples number on modelling result-135 -90 -45 0 45 90 135 180M)图建模预测结果对比Fig. Comparison of model pred iction results2浅层学习建模方法2.1 RBF神经网络建模方法在函数逼近领域，早先最普遍采用的神经网络是 BP网络，它是一种是多层前馈神经网络,因网络训练

15、采用误差反向传播(Back-Propagation, BP)学习算法 而得名$近年来，随着径向基函数(Radial Basis Function,RBF)神经网络的提出和发展,为函数逼近 提供了一种更有效的方法，它在逼近能力、分类能力、 学习速度等方面均优于BP网络180RBF网络是一种三层前向神经网络：输入层由 信号源节点组成；第二层为隐层，隐单元的个数由所 描述的问题而定，隐层采用径向基函数作为网络的激 励函数；第三层为输出层，采用线性激励函数$设一多输入多输出的RBF网络有5个输入节 点、个隐层节点、”个输出节点。RBF网络的输出为：= +w,kR, (x)(1)B-l式中，x为输入向量

16、;为输出层第k个输出，$ 1,2,*6；wb$为第j个隐节点与第k个输出节点的连 接权值Rb为第j个径向基函数，通常采用高斯函数()(II x-c, % 2)()R, (x) = exp()(C).B式中c,为第j个径向基函数的中心为与第j个径 向基函数宽度相关的变量)II - II为L2范数，表示x 与c,的欧拉距离。径向基函数的输出位于区间(0 ,1) 内，输入与中心向量的距离越近，则基函数的输出越 大。对于给定的输入x，只有靠近中心部分才被激活。 2.2 Kriging建模方法Kriging模型是从采矿和地理统计学应用中发展 起来的一种响应面函数模型，是在已知近似函数的基 础上添加了局部

17、的扰动来拟合样本点&1D$该方法 实际上是高斯过程建模方法(Gaussian Process, GP) 的特例$高斯过程定义为一系列随机变量的集合，且 其中任意两个随机变量间都满足联合高斯分布$高 斯过程建模方法核心思想是将训练样本视为高斯随 机过程，当系统有新输入时，高斯过程方法对输出的 预测值是一个符合高斯分布的随机变量$高斯过程 建模需要确定均值函数、协方差函数中的未知参数, 这些未知参数被统称为超参数，通常基于贝叶斯原理 来确定&20$Kngrng建模的具体方法如下19：设训练样本的 自变量x为；维向量,个样本输出构成的输出向 量为y,则其近似函数模型为：；-+ rZ(x)RT (;

18、#-)(3)其中；为；，维列向量，/是；，维列向量，其元素值 都是1 !而rT(x) = &R(x x1) , R(x ,x2) , . , R(x x;9 )T ；R(x1 ,xB ) = exp & +%$ xk x$ |2(4)k = 1这里，x的上标表示样本点序号,下标表示矢量的分 量R(x1,xB)是任意两个样本点x1和xB的互相关 函数；参数$即为超参数$由式(3)可得出-的估计值为： TOC o 1-5 h z -=(/T51 #)1 / T51 !(5)方差的估计值/为:.&(；#-)T51(6)而参数$的最大似然估计则由下式给出：max 5(%k) = - n9 ln ( .

19、2) + ln | 5 | (7)%ko2其中，/和5 |都是k的函数，因此式(7)的求解又 是一个无约束非线性优化问题$ 旦k求出，式(3) 中的Kriging模型也就建立起来了 $用于预测自变量为=pre的输出时:(nsi.*pre =- + rZ(Xpre)RT (； f-) 式中,T(Xpre)利用式(nsi.为提高Krigmg模型的泛化能力，可通过交叉校 验的方法来对模型中的超参数进行优化。交叉校验 的基本思想是从所有样本点中依次选取不同的样本 点进行建模后，对剩余样本点进行预测，计算其均方 预测误差。然后基于均方预测误差最小化的原则对 超参数出进行优化,以舍一交叉校验为例，其均方预

20、 测误差如下式(9)。min E(%$) = + edF21 =* y (x!)(9)其中表示建模数据不包含(x!,y!)时,利用其 余；1个样本点建模结果对=的预测误差。 2.3支持向量机SVM方法支持向量机(Support Vector Machines , SVM) 是在统计学习理论的基础上发展起来的新型算法,由 V. Vapnik等在20世纪90年代提出，建立在严密的 统计学理论基础上，引入了结构风险最小化原则，具 有较好的泛化能力。该模型的基本思想是在线性可 分情况下构建最优分类超平面,获得支持向量,然后 以支持向量的核展开表示模型,从而达到模型的稀疏 表示。对于非线性问题,则是将原

21、问题映射到一个高 维特征空间,然后在特征空问中进行线性运算21-22。 最小二乘支持向量机(Least Square SVM )是标准 SVM的一个变形,是将标准支持向量机算法中的不 等式约束化为等式约束得到的。由此，求解二次优化 问题转化成解一次线性方程组，使收敛速度更快，计 算的复杂性降低。具体算法为：给定N个训练样本=,*,其中X, / 为； 维的训练样本输入y / R为训练样本输出。其目 标函数为：(8(8)min J (? ) = -wTw + )22 1= 1s.t. *,(wZg(=) +，) =1 +1 ,1 = 1, ,N( 10) 式中?为/维权重矢量g(=)是将X从输入空

22、间映 射到特征空间的函数+是X,的松弛系数，,为偏置 项,)是边际系数。将上述目标函数增广为拉格朗日函数形式后,对 各变量求偏导并令其偏导数为0，可将求解的优化问 题转化为求解如下线性方程组，即：_0 I 丁 一I Z O +1( 11 )?)( 11 )其中，I = 1,1 ,，1T ； = *i ,*2 ,N (= 也1,以2,，以NJ为单位矩阵;O为核函数矩阵，矩 阵元素 ,=/(=,),/(,)为满足Mercer条件的 对称正定核函数,通常取为:/(= =)=exp( | = I2/)为核半径。由式(11)解出,和(后,LS-SVM的回归函数为：N* (=) = + o/(= , =

23、) +b1 = 1(12)上述模型中有两个超参数正则化参数)和 核半径，需要通过交叉校验等方法来确定23$ (12)2.4.1火箭气动特性建模沿用1.2节中的算例，将基于均匀性原则选取的 50个状态点作为训练样本点,采用Kriging建模方法 进行建模,对其余1678个状态点进行预测，预测的均 方误差为0.1924。进一步针对50个建模样本采用舍 一交叉校验方法来优化超参数,对其余1678个状态 点进行预测，可得出均方误差为0.1219。图5中给出 了两组典型舵偏状态下的建模预测结果对比。其中 “Kriging表示标准Kriging模型建模结果，“Kriging (with CV)”表示通过交

24、叉校验方法优化超参数后的 建模结果。可以看到，对这一气动建模问题能采用 Kriging模型进行建模,且通过交叉校验可提高模型 的泛化能力45 90 135 180Exp.KrigingKriging(with CV)图45 90 135 180Exp.KrigingKriging(with CV)图5 Kriging模型建模预测结果Fig. 5 Prediction results of Kriging model45 90 135 1802.4.2:三角翼大迎角非定常气动特性建模2.4.2以NASA阿姆斯研究中心7 ftX10 ft低速风洞中开展的展弦比A(2尖前缘三角翼俯仰振荡动态试 验!

25、2*为研究对象#迎角变化历程为：a 2) = 45 + 45sin(2)(13)2是无量纲时间,2( t (V/c )减缩频率k =0.01、 0. 02*0.03*0.04o俯仰力矩参考轴在77 !bA处#分 别采用Kriging模型、RBF神经网络模型和SVM支 持向量机模型进行建模，模型的输入都取为迎角的时 间历程：a2)、a2 I)、a2 16)、a2 24)、a2 32),输出为2时刻的纵向气动系数#首先用静态试验数据和减缩频率$(0.01、0.03、 频率下的不同气动系数训练结果与试验数据的比较 示于图6,图中“Kriging”对应Kriging模型，“RBF” 对应RBF神经网络

26、模型，“SVM”对应SVM支持向 量机模型，Exp.对应风洞试验数据#由图6可见， 训练结果与试验数据拟合得较好#再用训练后的模型参数预测缩减频率k =0.02 的工况#不同模型的预测结果与试验数据比较示于 图7,具体的预测误差值示于表1#从图表中看出，预 测结果与试验数据也符合较好#其中，由于SVM进 行了交叉校验，一定程度上提升了模型的泛化能力,0.04的大振幅振动试验数据训练Kriging模型、RBF 使得SVM的预测结果略优于Kriging模型和RBF神经网络模型和SVM支持向量机模型(a) k = 0.01，阻力系数建模结果不同减缩神经网络模型(b) k=0.03,升力系数建模结果(

27、c) k=0.04，俯仰力矩系数建模结果0.60.40.2L=0.02 口 Exp.Kriging RBF SVM0 10 20 30 40 50 60 70 80 90/()(0.60.40.2L=0.02 口 Exp.Kriging RBF SVM0 10 20 30 40 50 60 70 80 90/()(a) k = 0.02，阻力系数预测结果图6建模结果对比Fig. 6 Comparison of modeling results(b) k=0.02，升力系数预测结果图7预测结果对比Fig. 7 Comparison of model prediction results0 10

28、20 30 40 50 60 70 80 902.22.01.81.61.41.21.00.80.60.40.2(c) k=0.02，俯仰力矩系数预测结果2.4.3气动热试验数据融合以某飞行器的表面热流数据为例，对数值计算获 得的连续分布热环境和风洞试验点热流值进行融合# 要求融合后的结果在风洞试验点位置处同测量结果 一致，对CFD数值仿真网格点处的值进行适当的修 正，融合后的结果能够在整体上体现试验结果的数据 特性#图8是所有气动热数据样本点的位置，其中 32 922个蓝色点为CFD网格点，计算数据如图9所 示，118红色点位置为风洞试验测量点，试验数据如 图10示#表1 ! = 0.02工

29、况的不同模型预测误差Table 1 Comparison of predction error fordifferent model for ! = 0.02 caseKrigingRBFSVMC：0.99575640.99721900.99808100.99393440.99214080.99618280.98935960.98911060.9918128图8数据采集点Fig.8 Data sampling points图9数值计算数据Fig.9 Data of CFD图10风洞试验数据Fig. 10 Wind tunnel test data数据融合过程中需要建立风洞试验数据和CFD 计算

30、数据的差量模型，并使用差量模型对CFD网格 点处的值进行修正。由于Kriging模型具有准确拟 合建模数据点的特性，因此被用于建立差量模型。另 外，由于风洞试验点位置与CFD网格点并非完全对 应，因此对每个风洞试验点，选取附近的CFD数据点 利用RBF方法进行插值图8数据采集点Fig.8 Data sampling points图9数值计算数据Fig.9 Data of CFD图10风洞试验数据Fig. 10 Wind tunnel test data由此可得气动热数据融合方法：(1)针对每一个 风洞试验点，若有与之对应的CFD数据点，则直接使 用，否则，选取附近少量CFD数据，使用RBF方法

31、建 立插值模型，并计算相应的值& (2)计算风洞试验数 据和CFD计算数据的差量，并使用Kriging方法建 立差量模型；(3)使用Kriging模型对所有的CFD数 据点进行修正，得到融合结果。为了验证本文所提方法的有效性，随机选取10% 的风洞试验数据作为预测验证数据，其余90%的数据 作为样本数据与CFD计算数据一起构建融合模型。 实验进行了两次，图11(a)和图11(b)的红色点是两次 实验随机选取的10%风洞试验数据在空间的分布情 况。图12(a)和图12(b)是验证结果对比，其中横坐标 表示用于验证的风洞试验数据的真实值，纵坐标表示 在这些验证位置通过融合模型计算得到的预测值。第

32、一次和第二次实验验证的均方根误差分别为0.047I2 和0.02762。由图12和均方根误差可知预测数据与验 证数据基本一致,说明模型达到了数据融合的目的。(a)第一次实验(b)第二次实验图11两次实验验证数据分布图Fig. 11 The positions of validation data for two experimental cases图12 预测数据与验证数据对比Fig. 12 Comparison of validation data and prediction2.5建模方法对比分析通过上述机器学习模型算例分析，可以看到，几 种方法都能对气动数据进行较好的建模。但几种模 型也

33、有各自的特点和优缺点，如表2所示。Kriging建模方法可对训练样本完全拟合, RBF神经网络方法和SVM支持向量机方法则不要 求训练样本完全拟合。Kriging建模方法、RBF神经网络方法和 SVM支持向量机方法都可以通过交叉校验优化超参 数来提高模型的泛化能力。对Kriging模型而言，超 参数是出；对RBF模型而言，超参数是隐层节点数； 对SVM模型而言，超参数是和摭CART方法则 对训练样本量有较高要求，建模结果的精度和模型的 泛化能力随训练样本数增加而提高。Kriging方法、RBF神经网络方法和SVM支 持向量机方法都需要对样本数据进行大量的矩阵运 算，但RBF神经网络方法的矩阵维

34、数取决于隐层节点 数，而Kriging方法和SVM支持向量机方法的矩阵维 数取决于样本点数，当样本点数较多时，矩阵运算的计 算资源要求会增加，计算效率和计算精度会下降。因 此,Kriging方法和SVM支持向量机方法中的建模样 本点数不宜过多，在普通个人微机上一般不超过2000 个样本点，具体数量视微机性能而定，而RBF神经网 络方法则对样本点数无特殊限制。CART建模方法中 没有矩阵运算，且样本点越多，建模效果越好，但随着 样本点的增加，逻辑判断运算量较大。表2几种建模方法比较Table 2 Comparison of modeling methods建模方法样本点拟合情况泛化能力计算量对样

35、本点数要求RBF神经网络模型不要求完全拟合可通过交叉校验 优化超参数提高有矩阵求逆运算，矩阵维数取决于 隐层节点数对样本点数无特殊限制Kriging 模型完全拟合可通过交叉校验有矩阵求逆运算，矩阵维数为样本样本点数不宜过多，影响优化超参数提高点数矩阵求逆SVM支持向量机模型不完全拟合可通过交叉校验有矩阵求逆运算，矩阵维数与样本样本点数不宜过多，影响优化超参数提高点数相当矩阵求逆CART模型不完全拟合与样本相关无矩阵求逆运算，但逻辑判断运算 较多样本点越多，模型表现越好3气动特性建模的深度学习方法前面的浅层学习方法存在两方面问题，一是需要 人为提取输入特征参数，二是泛化能力有所不足。深 度神经网

36、络通过增加隐层层数，一方面使得模型能更 有效地表征非线性函数的丰富特征；另一方面则通过 层与层之间的无监督学习，实现特征的逐级提取，可 较好地克服浅层学习方法存在的不足。但是，随着网 络层数的增加，如果采用传统的神经网络训练方法会 出现三个问题，一是梯度消失现象；二是优化易于 陷入局部最优值；三是如果网络全连接的话，会带来 网络权值参数数目的几何增长。因此，在深度神经网 络训练方法中，使用自下而上非监督学习与自上而下 监督学习结合的方法，对训练数据特征提取后再进行 网络权值调整，解决了梯度消失和陷入局部最优的 问题；同时基于局部感知和权值共享，则大幅减少了 待优化网络权值数)22句。近年来，随

37、着计算资源的增强和大数据的兴起! 以深度神经网络为代表的深度学习方法在图像与语 音识别、语义理解、智能控制等方面得到了广泛应用! 并逐步与空气动力学研究结合)2?33*。文献)33将深 度神经网络模型用于气动特性建模，基于CNN模型对 翼型气动系数进行了预测，但该方法只能处理给定马 赫数和迎角的情况,没有将流动条件作为输入，限制了 其使用范围。为了在输入中引入流动条件，文献34 中利用迎角度数对翼型图像进行旋转，利用马赫数对 图像颜色进行改变，构造了一幅人工图像，作为预测模 型的输入。本节提出另一种方法，将流动条件参数组 成一个向量，认为该向量是一幅分辨率为1)；#的图 像，其中；#为流动条件

38、的参数个数。通过双三次插 值，将该向量的分辨率调整为同翼型图像一致，与翼型 图像一起构成合成图像，即2个二维矩阵，作为预测 模型的输入。同时，由于翼型图像与流动参数向量对 应图像的特征丰富程度不同，选用如图13所示的有向 无环图(Directed Acyclic Graph, DAG)深度神经网 络3,该网络结构在卷积层1后分为两个支路，能较 好地处理图像特征相差较大的情况，提高预测精 度。其训练和测试方法与常规CNN预测模型类 似。具体的网络参数设置：图像分辨率为85 X85；卷 积层1选取卷积核大小为8X8,卷积核数量为40,步 长为1;卷积层2选取卷积核大小为5X5,卷积核数 量为80,

39、步长为1；卷积层3选取卷积核大小为5X5, 卷积核数量为120,步长为2；卷积层4选取卷积核大 小为2X2,卷积核数量为120,步长为2；所有卷积层所用到的非线性激励函数均选取为ReLU函数；池 化区域大小为2X2,步长为2,即相邻池化区域不重 叠，选择的池化方法为最大池化法#图13 图13 DAG模型结构Fig. 13 Model structure of DAG network数算例中用到的翼型为NACA0012翼型叠加扰动 函数后的变形体，共300个；流动条件中迎角取值为 2。、6。、9。、12。和15,马赫数取值为0.1、0.3和0.6,雷 诺数固定为6.5X106；翼型形状和流动条件任意组 合，共构成翼型数据样本4200组#图14中给出了随 机选取的8个翼型图像#图15给出了 3个迎角和马 赫数组成的向量6,0.3&、9,0.6&、12,0. 1乘以放大 倍数后变为102,127.5、153,255、204,42.5,视为 三张图片将分辨率调整为85X85后的图像。图1任意8个翼型图像(翼型厚度放大10倍)Fig. 14 Eight random selected airfoils (thickness amplified 10