《导数及其应用》章末复习

1、PAGE20本章回顾一、思维导图1变化率与导数平均变化率导数（瞬时变化率）导函数定义2导数的计算基本初等函数的导数公式复合函数求导法则导数的计算导数的四则运算法则几个常见函数的导数导数的运算法则导数公式3导数在研究函数中的应用平均变化率导数（瞬时变化率）导函数定义基本初等函数的导数公式复合函数求导法则导数的计算导数的四则运算法则几个常见函数的导数导数的运算法则导数公式函数的最大（小）值几何意义导数的应用瞬时速度函数的极大（小）值函数的单调性生活中的优化问题用导数解决优化问题的步骤解决优化问题的基本思路定积分的性质定积分的概念定积分的计算定积分的几何意义曲边梯形的面积汽车行驶的路程6微积分基本定

2、理定积分的取值微积分基本定理应用定理计算简单的定积分分别用，定积分的取值微积分基本定理应用定理计算简单的定积分分别用，表示变速直线运动物体的位移物理中的应用几何中的应用平面图形的面积计算定积分的简单应用变速直线运动的路程变力做功（一）选择题1函数在处取得极值，则A2B3C4D5答案：D解析：略点拨：利用导数研究函数的极值2cos的导数为A2cos2sinB2cos2sinC2cos2sinDcos2sin答案：A解析：略点拨：导数乘法与除法运算3设曲线yaln1在点0，0处的切线方程为y2，则aA0B1C2D3答案：D解析：因为yaeqf1,1，所以a12，解得a3点拨：导数的几何意义，导数的

3、加法与减法运算at21作直线运动，若汽车在t2时的瞬时速度为12，则aAeqf1,2Beqf1,3C2D3答案：D解析：略点拨：实际问题中导数的意义5已知函数f3a21在，上是单调函数，则实数a的取值范围是A，eqr3eqr3，Beqr3，eqr3C，eqr3eqr3，Deqr3，eqr3答案：D解析：f322a1，f在，上是单调函数，且f的图象是开口向下的抛物线，f0恒成立，4a2120，eqr3aeqr3点拨：利用导数研究函数的单调性；数学思想：数形结合6设函数f在定义域内可导，yf的图象如下图所示，则导函数yf的图象可能是答案：A解析：略点拨：利用导数的正负与函数的单调性的关系求解7已知

4、为正实数，函数在上的最大值为，则在上的最小值为（）ABCD答案：A解析：，因为为正实数，所以当时，即在上是增函数，故，从而易知当时，即在上是增函数，则在上的最小值为点拨：利用导数求函数在闭区间上的最值8若关于的方程33m0在0,2上有根，则实数m的取值范围是A2,2B0,2C2,0D，22，答案：A解析：令f33m，则f323311，显然当1时，f0，f单调递增，当11时，feqf1,2，则满足2f1的的集合为A|11B|1C|1D|1答案：B解析：令g2f1，由于feqf1,2，所以g2f10，故g为单调增函数，而f11，于是g12f1110，所以当1时，g0，即2f点拨：导数在函数最大值、

5、最小值中的应用10设函数的定义域为R，是的极大值点,以下结论一定正确的是（）AB是的极小值点C是的极小值点D是的极小值点答案：D解析：略点拨：结合函数图像的对称性与极值的判断方法可得11已知函数feqfa,ln，g325，若对任意的1，2eqblcrcavs4alco1f1,2，2，都有f1g22成立，则a的取值范围是A0，B1，C，0D，1答案：B解析：由于g325，故g32232，所以函数g在eqblcrcavs4alco1f1,2，f2,3上单调递减，在eqblcrcavs4alco1f2,3，2上单调递增，geqblcrcavs4alco1f1,2eqf1,8eqf1,45eqf41,

6、8，g28451由于对1，2eqblcrcavs4alco1f1,2，2，f1g22恒成立，于是fg2ma，即eqblcrcavs4alco1f1,2，2时，f1恒成立，即eqfa,ln1，在eqblcrcavs4alco1f1,2，2上恒成立，a2ln在eqblcrcavs4alco1f1,2，2上恒成立，令h2ln，则h12ln，而h32ln，eqblcrcavs4alco1f1,2，2时，h0，1,2时，h0，故hh11，解得a1点拨：导数在研究函数最大值、最小值中的应用12已知函数f32b2c1有两个极值点、，且2，1，1,2，则f1的取值范围是Aeqf3,2，3Beqf3,2，6C3

7、,12Deqf3,2，12答案：C解析：f324bc，依题意知，方程f0有两个根1、2，且12，1，21,2，等价于f20，f10，f10，f20由此得b，c满足的约束条件为eqblcrcavs4alco1128bc0，,34bc0，,34bc0，,128bc0满足这些条件的点b，c的区域为图中阴影部分由题设知f12bc，令2bc，当直线2bc经过点0，3时，最小，2bc经过点C0，12时，最大，最大值为12点拨：利用导数研究函数的极值，线性规划（二）填空题13_答案：解析：略点拨：微积分基本定理14对正整数n，设曲线yn1在2处的切线与y轴交点的纵坐标为，则数列的前n项和是_答案：解析：因为

8、yn1，所以yn11nnn11nf2n2n12nn22n2处点的纵坐标为y2nn22n12令0得，yn12n，所以ann12n，于是数列eqblcrcavs4alco1fan,n1的前n项和为点拨：导数的几何意义，等比数列求和公式15如图阴影部分是由曲线yeqf1,、y2与直线2、y0围成，则其面积为_答案：eqf2,3ln2解析：由eqblcrcavs4alco1y2，,yf1,，得交点A1,1由eqblcrcavs4alco12,yf1,得交点Beqblcrcavs4alco12，f1,2故所求面积点拨：定积分在求面积中的应用16定义：曲线C上的点到直线的距离的最小值称为曲线C到直线的距离

9、，已知曲线到直线的距离等于曲线到直线的距离，则实数_答案：解析：曲线C2：2y42=2到直线l:y=的距离为，曲线C1：y=2a对应函数的导数为，令得，所以C1：y=2a上的点到到直线的距离应为，所以，答案得或（舍去）点拨：导数的几何意义，导数在函数最大值、最小值中的应用（三）解答题17已知函数f3a2b5，若曲线f在点1，f1处的切线斜率为3，且eqf2,3时，yf有极值（1）求函数f的答案析式；（2）求函数f在4,1上的最大值和最小值答案：见解析解析：f322ab，（1）由题意得，答案得eqblcrcavs4alco1a2，,b4经检验得eqf2,3时，yf有极小值，所以f32245（2）

10、由（1）知，f3244232令f0，得12，2eqf2,3，f，f的值随的变化情况如下表：44，222，eqf2,3eqf2,3eqf2,3，11f00f单调递增极大值单调递减极小值单调递增函数值1113eqf95,274因为feqf2,3eqf95,27，f213，f411，f14，所以f在4,1上的最大值为13，最小值为11点拨：利用导数研究函数的极值，利用导数求函数闭区间上的最值18已知a，bR，函数fa2ln，gb245，且曲线yf与曲线yg在1处有相同的切线（1）求a，b的值；（2）证明：当时，曲线yf恒在曲线yg的下方答案：见解析解析：（1）因为aln1eqf2,，2b4，所以a2

11、，2b4，又因为曲线yf与曲线yg在点1，0处有相同的切线，所以f10g1b45，即b1，a224，答案得a4，b1（2）要使得当时，曲线yf恒在曲线yg的下方，即需证f0；当1，0，所以F在0，1上单调递增，在1，上单调递减，即当1时，F取得最大值F10，当时，FF10，即fg，所以当时，曲线yf恒在曲线yg的下方点拨：导数的几何意义，导数在研究函数最大值、最小值中的应用19甲方是一农场，乙方是一工厂由于乙方生产需占用甲方的资源，因此甲方有权向乙方索赔以弥补经济损失并获得一定净收入，在乙方不赔付甲方的情况下，乙方的年利润元与年产量t吨满足函数关系2000eqrt若乙方每生产一吨产品必须赔付甲

12、方S元以下称S为赔付价格（1）将乙方的年利润w元表示为年产量t吨的函数，并求出乙方获得最大利润的年产量；（2）甲方每年受乙方生产影响的经济损失金额y元，在乙方按照获得最大利润的产量进行生产的前提下，甲方要在索赔中获得最大净收入，应向乙方要求的赔付价格S是多少答案：见解析解析：（1）因为赔付价格为S元/吨，所以乙方的实际年利润为：w2000eqrtSt由weqf1000,rtSeqf1000Srt,rt，令w0得当tt0时，w0；当tt0时，w0，所以tt0时，w取得最大值因此乙方取得最大年利润的年产量吨（2）设甲方净收入为v元，则vSt将代入上式，得到甲方净收入v与赔付价格S之间的函数关系式v

13、eqf10002,Seqf210003,S4又veqf10002,S2eqf810003,S5，令v0，得S20时，v0；当S20时，v0，所以S20时，v取得最大值因此甲方向乙方要求赔付价格S20元/吨时，获得最大净收入点拨：导数在实际问题中的应用，导数在研究函数的最大值、最小值中的应用20已知函数，（1）当a0时，在1，上恒成立，求实数m的取值范围；（2）当m2时，若函数在区间1,3上恰有两个不同零点，求实数的取值范围答案：见解析解析：（1）由fh，得在1，上恒成立令geqf,ln，则geqfln1,ln2，当1，e时，g0；当e，时，g0，所以g在1，e上递减，在e，上递增故当e时，g的

14、最小值为gee所以综上：m的取值范围是，e（2）由已知可得2lna函数在1,3上恰有两个不同零点，相当于函数2ln与直线ya有两个不同的交点1eqf2,eqf2,，当1,2时，0，递减，当2,3时，0，递增又11，222ln2，332ln3，要使直线ya与函数2ln有两个交点，则22ln2a32ln3即实数a的取值范围是22ln2,32ln3点拨：利用导数研究函数的极值，导数在研究函数的最大值、最小值中的应用21设函数（1）若，求的单调区间；（2）当时，求的取值范围答案：见解析解析：（1）当时，当时，；当时，故在单调递减，在上单调递增（2），则，由于，所以分以下两类讨论当时，即时，时，从而在上单调递增，又，所以在上恒成立，故在上单调递增，又，所以在上恒成立故满足题意；当时，即时，令，可答案得：，于是时，在单调递减，故时，于是在上单调递减，从而时，这与在上恒成立矛盾综上所述：点拨：导数在研究函数的最大值、最小值中的应用，导数的综合应用2