复数项级数以及幂级数

1、复数项级数和幂级数第1页，共26页，2022年，5月20日，6点23分，星期四14-1 复数项级数和幂级数一、复数列的收敛性及其判别法二、复数项级数的收敛性及其判别法三、幂级数及其收敛半径四、幂级数的运算性质第2页，共26页，2022年，5月20日，6点23分，星期四2一、复数项级数复数列即有序的复数集称 收敛于 ，若记作1. 复数列第3页，共26页，2022年，5月20日，6点23分，星期四3复数列收敛与实数列收敛的关系定理此定理说明: 可将复数列的收敛性转化为判别两个实数列的收敛性. 复数列的充要条件是收敛于a第4页，共26页，2022年，5月20日，6点23分，星期四41.复数项级数表达

2、式称为复数项级数.前 n 项的和称为级数的前 n 项部分和.2. 复数项级数的收敛性及其判别法设 为一复数列，第5页，共26页，2022年，5月20日，6点23分，星期四52. 级数收敛与发散的概念说明：与实数项级数相同, 判别复数项级数敛散性的基本方法是:第6页，共26页，2022年，5月20日，6点23分，星期四63.复数项级数与实数项级数收敛的关系证因定理2说明 复数项级数的收敛问题两个实数项级数的收敛问题第7页，共26页，2022年，5月20日，6点23分，星期四7级数收敛的必要条件（定理3） 第8页，共26页，2022年，5月20日，6点23分，星期四8非绝对收敛的收敛级数称为条件收

3、敛级数.如果 收敛, 那末称级数 为绝对收敛.类似于实数级数，引入绝对收敛概念第9页，共26页，2022年，5月20日，6点23分，星期四9绝对收敛级数的性质(定理4) 且有不等式 成立.第10页，共26页，2022年，5月20日，6点23分，星期四10而解 是否收敛？例1 数列第11页，共26页，2022年，5月20日，6点23分，星期四11例2故原级数收敛, 且为绝对收敛.因为所以由正项级数的比值判别法知:解第12页，共26页，2022年，5月20日，6点23分，星期四12故原级数收敛.所以原级数非绝对收敛.例3解第13页，共26页，2022年，5月20日，6点23分，星期四131.幂级数

4、的概念称为复变函数项级数。 称为该级数前n项的部分和.级数前n项的和三.幂级数及其收敛半径第14页，共26页，2022年，5月20日，6点23分，星期四14称为该级数在区域D上的和函数.如果级数在D内处处收敛, 那末它的和一定第15页，共26页，2022年，5月20日，6点23分，星期四15例 求幂级数的收敛范围与和函数.第16页，共26页，2022年，5月20日，6点23分，星期四16函数项级数的特殊情形或这种级数称为幂级数.第17页，共26页，2022年，5月20日，6点23分，星期四172.幂级数的敛散性Abel(阿贝尔)定理如果级数在收敛,那末对的级数必绝对收敛,如果在级数发散, 那末

5、对满足的级数必发散.满足第18页，共26页，2022年，5月20日，6点23分，星期四18收敛半径的计算方法方法1（比值法）那末收敛半径即即第19页，共26页，2022年，5月20日，6点23分，星期四19方法2 （根值法）那末收敛半径即即第20页，共26页，2022年，5月20日，6点23分，星期四20解例 试求幂级数的收敛半径.第21页，共26页，2022年，5月20日，6点23分，星期四214.幂级数的运算性质第22页，共26页，2022年，5月20日，6点23分，星期四22定理4 设幂级数的收敛半径为则在收敛圆 内解析.(1) 它的和函数(2)(3)第23页，共26页，2022年，5月20日，6点23分，星期四23例 把函数表成形如的幂级数, 其中是不相等的复常数 .解把函数写成如下的形式:代数变形 , 使其分母中出现凑出第24页，共26页，2022年，5月20日，6点23分，星期四24级数收敛,