多元函数极值与其求法

1、关于多元函数的极值及其求法第1页，共23页，2022年，5月20日，19点35分，星期三一、多元函数的极值和最值1、二元函数极值的定义第2页，共23页，2022年，5月20日，19点35分，星期三例1例例(3)(2)(1)第3页，共23页，2022年，5月20日，19点35分，星期三2、多元函数取得极值的条件证第4页，共23页，2022年，5月20日，19点35分，星期三第5页，共23页，2022年，5月20日，19点35分，星期三仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的点，均称为函数的驻点.驻点偏导数存在的极值点问题：如何判定一个驻点是否为极值点？注意：第6页，共23页，2022年，5月20

2、日，19点35分，星期三第7页，共23页，2022年，5月20日，19点35分，星期三第8页，共23页，2022年，5月20日，19点35分，星期三例4 求函数的极值。解求解方程组：得驻点因此，驻点第9页，共23页，2022年，5月20日，19点35分，星期三因此，驻点因此，驻点第10页，共23页，2022年，5月20日，19点35分，星期三与一元函数类似，可能的极值点除了驻点之外，偏导数不存在的点也可能是极值点。例如，显然函数不存在。第11页，共23页，2022年，5月20日，19点35分，星期三求最值的一般方法： 将函数在 D 内的所有驻点处的函数值及在 D 的边界上的最大值和最小值相互比

3、较，其中 最大者即为最大值，最小者即为最小值.与一元函数相类似，我们可以利用函数的极值来求函数的最大值和最小值.3、多元函数的最值第12页，共23页，2022年，5月20日，19点35分，星期三解令第13页，共23页，2022年，5月20日，19点35分，星期三无条件极值：对自变量除了限制在定义域内外， 并无其他条件.第14页，共23页，2022年，5月20日，19点35分，星期三实例：小王有 200 元钱，他决定用来购买两种急 需物品：计算机磁盘和录音磁带，设他购 买 x 张磁盘， y 盒录音磁带达到最佳效果， 效果函数为 U(x, y) = lnx+lny 设每张磁 盘 8 元，每盒磁带

4、10 元，问他如何分配这 200 元以达到最佳效果问题的实质：求 在条件 下的极值点三、条件极值拉格朗日乘数法第15页，共23页，2022年，5月20日，19点35分，星期三条件极值：对自变量有附加条件的极值第16页，共23页，2022年，5月20日，19点35分，星期三求解方程组解出 x, y, z, t 即得可能极值点的坐标.第17页，共23页，2022年，5月20日，19点35分，星期三解则例6 求表面积为 a2 而体积为最大的长方体的体积. 设长方体的长、宽、高为 x , y，z. 体积为 V .则问题就是条件求函数的最大值.令下，第18页，共23页，2022年，5月20日，19点35

5、分，星期三则令即由(2), (1)及(3), (2)得第19页，共23页，2022年，5月20日，19点35分，星期三由(2), (1)及(3), (2)得于是，代入条件，得解得这是唯一可能的极值点。因为由问题本身可知，所以，最大值就在此点处取得。故，最大值最大值一定存在，第20页，共23页，2022年，5月20日，19点35分，星期三解则由 (1)，(2) 得由 (1)，(3) 得第21页，共23页，2022年，5月20日，19点35分，星期三将 (5)，(6) 代入 (4)： 于是，得这是唯一可能的极值点。因为由问题本身可知，最大值一定存在，所以，最大值就在这个可能的极值点处取得。故，最大值第