2023届新高考数学之圆锥曲线综合讲义第1讲 轨迹问题含答案

1、2023届新高考数学之圆锥曲线综合讲义第1讲 轨迹问题一选择题（共12小题）1方程所表示的曲线是A一个圆B两个圆C半个圆D两个半圆2方程表示的曲线为A两个半圆B一个圆C半个圆D两个圆3在数学中有这样形状的曲线：关于这种曲线，有以下结论：曲线恰好经过9个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；曲线上任意两点之间的距离都不超过2；曲线所围成的“花瓣”形状区域的面积大于5其中正确的结论有ABCD4双纽线最早于1694年被瑞士数学家雅各布伯努利用来描述他所发现的曲线在平面直角坐标系中，把到定点，距离之积等于的点的轨迹称为双纽线、已知点，是双纽线上一点，下列说法中正确的有双纽线经过原点；双纽线关于原点中心对称

2、；双纽线上满足的点有两个ABCD5双纽线最早于1694年被瑞士数学家雅各布伯努利用来描述他所发现的曲线在平面直角坐标系中，把到定点，距离之积等于的点的轨迹称为双纽线已知点，是双纽线上一点，下列说法中正确的有双纽线关于原点中心对称；双纽线上满足的点有两个；的最大值为ABCD6如图，设点和为抛物线上除原点以外的两个动点，已知，则点的轨迹方程为A（原点除外）B（原点除外）C（原点除外）D（原点除外）7如果把一个平面区域内两点间的距离的最大值称为此区域的直径，那么曲线围成的平面区域的直径为AB3CD48由曲线围成的图形面积为ABCD9如图，平面直角坐标系中，曲线（实线部分）的方程可以是AB CD 10

3、已知点集，则平面直角坐标系中区域的面积是A1BCD11数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，例如：四叶草曲线就是其中一种，其方程为给出下列四个结论：曲线有四条对称轴；曲线上的点到原点的最大距离为；曲线第一象限上任意一点作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的矩形面积最大值为；四叶草面积小于其中，所有正确结论的序号是ABCD12曲线为：到两定点、距离乘积为常数16的动点的轨迹以下结论正确的个数为（1）曲线一定经过原点；（2）曲线关于轴、轴对称；（3）的面积不大于8；（4）曲线在一个面积为64的矩形范围内A1B2C3D4二多选题（共2小题）13数学中的很多符号具有简洁、对称的美感，是形成一些常见的漂亮图案

4、的基石，也是许多艺术家设计作品的主要几何元素如我们熟悉的符号，我们把形状类似的曲线称为“曲线”经研究发现，在平面直角坐标系中，到定点，距离之积等于的点的轨迹是“曲线”若点，是轨迹上一点，则下列说法中正确的有A曲线关于原点中心对称B的取值范围是，C曲线上有且仅有一个点满足D的最大值为14在平面直角坐标系中，为曲线上一点，则A曲线关于原点对称BC曲线围成的区域面积小于18D到点的最近距离为三填空题（共6小题）15数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线就是其中之一（如图），给出下列三个结论：曲线恰好经过4个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；曲线上任意一点到原点的距离都不超过曲线所围成的“花形”区

5、域的面积小于4其中，所有正确结论的序号是16数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线就是其中之一（如图），给出下列三个结论：曲线恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；曲线上任意一点到原点的距离都不超过；曲线所围成的“心形”区域的面积小于3其中，所有正确结论的序号是17数学中的数形结合，也可以组成世间万物的绚丽画面一些优美的曲线是数学形象美、对称美、和谐美的结合产物，曲线恰好是四叶玫瑰线给出下列结论：曲线经过5个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；曲线上任意一点到坐标原点的距离都不超过2；曲线围成区域的面积大于；方程表示的曲线在第二象限和第四象限其中正确结论的序号是18曲线是平面内到定点

6、的距离与到定直线的距离之和为3的动点的轨迹则曲线与轴交点的坐标是；又已知点，为常数），那么的最小值（a）19已知点，动点满足且，则点的轨迹方程为20在平面直角坐标系中，抛物线上异于坐标原点的两不同动点、满足（如图所示）则得重心（即三角形三条中线的交点）的轨迹方程为；四解答题（共5小题）21如图，直线和相交于点，点以，为端点的曲线段上的任一点到的距离与到点的距离相等若为锐角三角形，且建立适当的坐标系，求曲线段的方程22已知双曲线的左、右顶点分别为、，点，是双曲线上不同的两个动点求直线与交点的轨迹的方程23设圆与两圆，中的一个内切，另一个外切，求圆心的轨迹的方程24已知椭圆的左、右焦点分别是，是椭

7、圆外的动点，满足点是线段与该椭圆的交点，点在线段上，并且满足，（）设为点的横坐标，证明；（）求点的轨迹的方程；（）试问：在点的轨迹上，是否存在点，使的面积，求的正切值；若不存在，请说明理由第1讲 轨迹问题一选择题（共12小题） 1方程所表示的曲线是A一个圆B两个圆C半个圆D两个半圆【解答】解：将方程化简，得，其中，因此方程表示以为圆心，半径的圆故选：2方程表示的曲线为A两个半圆B一个圆C半个圆D两个圆【解答】解：两边平方整理得：，化简得，由得，即或，当时，方程为，表示圆心为且半径为1的圆的右半圆；当时，方程为，表示圆心为且半径为1的圆的左半圆综上所述，得方程表示的曲线为两个半圆故选：3在数学中

8、有这样形状的曲线：关于这种曲线，有以下结论：曲线恰好经过9个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；曲线上任意两点之间的距离都不超过2；曲线所围成的“花瓣”形状区域的面积大于5其中正确的结论有ABCD【解答】解：曲线经过的整点有，恰有9个点，即正确；点和均在曲线上，而这两点间的距离为，即错误；由于图形是对称的，所以只需考虑第一象限内的部分即可此时有，整理得，是以为圆心，为半径的圆，作出曲线在第一象限的图形如图所示，面积，故曲线的面积为，即正确故选：4双纽线最早于1694年被瑞士数学家雅各布伯努利用来描述他所发现的曲线在平面直角坐标系中，把到定点，距离之积等于的点的轨迹称为双纽线、已知点，是双纽线上一

9、点，下列说法中正确的有双纽线经过原点；双纽线关于原点中心对称；双纽线上满足的点有两个ABCD【解答】解；根据双纽线的定义可得，将，代入，符合方程，所以正确；用替换方程中的，原方程不变，所以双纽线关于原点中心对称，正确；根据三角形的等面积法可知，即，亦即，正确；若双纽线上点满足，则点在轴上，即，代入方程，解得，所以这样的点只有一个，错误故选：5双纽线最早于1694年被瑞士数学家雅各布伯努利用来描述他所发现的曲线在平面直角坐标系中，把到定点，距离之积等于的点的轨迹称为双纽线已知点，是双纽线上一点，下列说法中正确的有双纽线关于原点中心对称；双纽线上满足的点有两个；的最大值为ABCD【解答】解：根据双

10、纽线的定义可得，用替换方程中的，原方程不变，所以双纽线关于原点中心对称，正确；根据三角形的等面积法可知，即，亦即，正确；若双纽线上点满足，则点在轴上，即，代入方程，解得，所以这样的点只有一个，错误；因为，所以由余弦定理可得，所以的最大值为，正确故选：6如图，设点和为抛物线上除原点以外的两个动点，已知，则点的轨迹方程为A（原点除外）B（原点除外）C（原点除外）D（原点除外）【解答】解：设，直线的方程为，由得，联立和消去得，所以，所以，由得，所以，所以，所以，把代入得，故选：7如果把一个平面区域内两点间的距离的最大值称为此区域的直径，那么曲线围成的平面区域的直径为AB3CD4【解答】解：曲线围成的

11、平面区域，关于，轴对称，设曲线上的点，可得所以曲线围成的平面区域的直径为：3故选：8由曲线围成的图形面积为ABCD【解答】解：根据对称性，曲线围成的图形面积等于在第一象限围成面积的4倍，当且时等价为，即，即，圆心，半径，则的面积，的面积，在第一象限部分的面积，则四个象限的面积为，故选：9如图，平面直角坐标系中，曲线（实线部分）的方程可以是AB CD 【解答】解：如图曲线表示折线段的一部分和双曲线，选项等价于或，表示折线的全部和双曲线，故错误；选项等价于，或，表示折线的全部，故错误；选项等价于或，表示折线在双曲线的外部（包括有原点）的一部分，表示双曲线，符合题中图象，故正确；选项等价于或，表示表

12、示折线在双曲线的外部（包括有原点）的一部分，表示双曲线在轴下方的一部分，故错误故选：10已知点集，则平面直角坐标系中区域的面积是A1BCD【解答】解：当时，只需要满足，即可；当时，对不等式两边平方整理得到，所以区域如下图易知其面积为故选：11数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，例如：四叶草曲线就是其中一种，其方程为给出下列四个结论：曲线有四条对称轴；曲线上的点到原点的最大距离为；曲线第一象限上任意一点作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的矩形面积最大值为；四叶草面积小于其中，所有正确结论的序号是ABCD【解答】解：四叶草曲线方程为，将换为，不变，可得方程不变，则曲线关于轴对称；将换为，不变，可得方

13、程不变，则曲线关于轴对称；将换为，换为，可得方程不变，则曲线关于直线对称；将换为，换为，可得方程不变，则曲线关于直线对称；曲线有四条对称轴，故正确；由与联立，可得或，即有曲线上的点到原点的最大距离为，故错误；设曲线第一象限上任意一点为，可得围成的矩形面积为，由，则，即，当且仅当取得最大值，故正确；易得四叶草曲线在以原点为圆心，为半径的圆内，故四叶草面积小于，则正确故选：12曲线为：到两定点、距离乘积为常数16的动点的轨迹以下结论正确的个数为（1）曲线一定经过原点；（2）曲线关于轴、轴对称；（3）的面积不大于8；（4）曲线在一个面积为64的矩形范围内A1B2C3D4【解答】解：设，则，对于（1）

14、，原点代入方程，得，即方程不成立，则曲线一定经过原点，命题错误；对于（2），以代替，代替，方程成立，方程也成立，即曲线关于、轴对称，命题正确；对于（3），的最大面积为，命题正确；对于（4），令，可得，根据距离乘积为16可以得出的取值只可能在到之间；同理的取值只可能在到之间；所以曲线在一个面积为的矩形范围内，命题错误综上，正确的命题有（2）（3），共2个故选：二多选题（共2小题）13数学中的很多符号具有简洁、对称的美感，是形成一些常见的漂亮图案的基石，也是许多艺术家设计作品的主要几何元素如我们熟悉的符号，我们把形状类似的曲线称为“曲线”经研究发现，在平面直角坐标系中，到定点，距离之积等于的点的轨

15、迹是“曲线”若点，是轨迹上一点，则下列说法中正确的有A曲线关于原点中心对称B的取值范围是，C曲线上有且仅有一个点满足D的最大值为【解答】解：在平面直角坐标系中，到定点，距离之积等于的点的轨迹是“曲线”故点，满足，点，代入，得到，故正确；对于：设轴上范围的最大值为，所以，解得，故的范围为故错误；对于：若，则点在的垂直平分线上，即，设点，所以，所以，即仅原点满足，故正确；对于，化简得，根据，得到，所以的最大值为，的最大值为，故错误故选：14在平面直角坐标系中，为曲线上一点，则A曲线关于原点对称BC曲线围成的区域面积小于18D到点的最近距离为【解答】解：当，时，曲线的方程为，去掉绝对值化简可得，将的

16、中心平移到位于第一象限的部分，因为点，都在曲线上，所以曲线的图象关于轴、轴和坐标原点对称，作出图象如图所示，由图可知曲线关于原点对称，故选项正确；令中的，解得，向右平移一个单位可得到横坐标为3，根据对称性可知，故选项错误；令中的，解得，向上平移个单位可得纵坐标的最大值为，曲线第一象限的部分被包围在矩形内，矩形面积为，所以曲线围成的区域面积小于，故选项正确；令中的，可得，所以到点的最近距离为，故选项正确故选：三填空题（共6小题）15数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线就是其中之一（如图），给出下列三个结论：曲线恰好经过4个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；曲线上任意一点到原点的距离都不超过

17、曲线所围成的“花形”区域的面积小于4其中，所有正确结论的序号是【解答】解：令，方程化为：，解得，可得点；令，方程化为：，解得，可得点；令，方程化为：，解得，可得点由此可得：曲线恰好经过8个整点，因此不正确，方程化为：，曲线上任意一点到原点的距离，即曲线上任意一点到原点的距离都不超过，可知正确由四个点作为正方形的顶点，可得正方形的面积为4，曲线所围成的“花形”区域的面积大于4其中，所有正确结论的序号是故答案为：16数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线就是其中之一（如图），给出下列三个结论：曲线恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；曲线上任意一点到原点的距离都不超过；曲线所围成的“心

18、形”区域的面积小于3其中，所有正确结论的序号是【解答】解：根据题意，曲线，用替换曲线方程中的，方程不变，所以曲线关于轴对称，对于，当时，即为，可得，所以曲线经过点，再根据对称性可知，曲线还经过点，故曲线恰好经过6个整点，正确；对于，由上可知，当时，即曲线右侧部分的点到原点的距离都不超过，再根据对称性可知，曲线上的所有点到原点的距离都不超过，正确；对于，因为在轴上方，图形面积大于四点，围成的矩形面积，在轴下方，图形面积大于三点，围成的等腰直角三角形的面积，所以曲线所围成的“心形”区域的面积大于3，错误故答案为：17数学中的数形结合，也可以组成世间万物的绚丽画面一些优美的曲线是数学形象美、对称美、

19、和谐美的结合产物，曲线恰好是四叶玫瑰线给出下列结论：曲线经过5个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；曲线上任意一点到坐标原点的距离都不超过2；曲线围成区域的面积大于；方程表示的曲线在第二象限和第四象限其中正确结论的序号是【解答】解：，（当且仅当时取等号），则正确；将和联立，解得，即圆与曲线相切于点，则和都错误；由，得方程表示的曲线在第二象限和第四象限，故正确故答案为：18曲线是平面内到定点的距离与到定直线的距离之和为3的动点的轨迹则曲线与轴交点的坐标是；又已知点，为常数），那么的最小值（a）【解答】解：（1）设动点，由题意可得，当时，无轨迹；当时，化为，化为，与轴无交点；当时，化为，化为，令，解

20、得综上可知：曲线与轴的交点为；（2）由（1）可知：如图所示，令，则，或，解得或1当或时，（a）；当时，当直线与相交时的交点满足取得最小值，此抛物线的准线为，直线与准线的交点，此时（a）；当时，当直线与相交时的交点满足取得最小值，此抛物线的准线为，直线与准线的交点，此时（a）综上可知：（a）19已知点，动点满足且，则点的轨迹方程为【解答】解：由，则，所以，而在三角形中，所以可得，而，所以可得，所以为定值且大于，所以可得的轨迹为椭圆，且长轴长，焦距，焦点在轴上，中心在原点的椭圆，即，所以，所以的轨迹方程为：，故答案为：20在平面直角坐标系中，抛物线上异于坐标原点的两不同动点、满足（如图所示）则得重

21、心（即三角形三条中线的交点）的轨迹方程为；【解答】解：显然直线的斜率存在，记为，的方程记为：，将直线方程代入得：，则有：，又，；，得：且，代入验证，满足；故；设的重心为，则，由两式消去参数得：的轨迹方程为故答案为：四解答题（共5小题）21如图，直线和相交于点，点以，为端点的曲线段上的任一点到的距离与到点的距离相等若为锐角三角形，且建立适当的坐标系，求曲线段的方程【解答】解：法一：如图建立坐标系，以为轴，的垂直平分线为轴，点为坐标原点依题意知：曲线段是以点为焦点，以为准线的抛物线的一段，其中，分别为的端点设曲线段的方程为，其中，分别为，的横坐标，所以，由，得，由，两式联立解得再将其代入式并由解得

22、因为是锐角三角形，所以，故舍去所以，由点在曲线段上，得综上得曲线段的方程为解法二：如图建立坐标系，分别以、为、轴，为坐标原点作，垂足分别为、设，、，、，依题意有，由于为锐角三角形，故有设点是曲线段上任一点，则由题意知属于集合，故曲线段的方程为，22已知双曲线的左、右顶点分别为、，点，是双曲线上不同的两个动点求直线与交点的轨迹的方程【解答】解：由题设知，直线的斜率为，直线的方程为，同理可得直线的方程为将两式相乘，得点，在双曲线上，可得，将代入，得，整理得，即为轨迹的方程点、不重合，且它们不与、重合，轨迹的方程为23设圆与两圆，中的一个内切，另一个外切，求圆心的轨迹的方程【解答】解：（1）两圆的半

23、径都为2，两圆心为，、，由题意得：或，可知圆心的轨迹是以原点为中心，焦点在轴上，且实轴为4，焦距为的双曲线，因此，则，所以轨迹的方程为24已知椭圆的左、右焦点分别是，是椭圆外的动点，满足点是线段与该椭圆的交点，点在线段上，并且满足，（）设为点的横坐标，证明；（）求点的轨迹的方程；（）试问：在点的轨迹上，是否存在点，使的面积，求的正切值；若不存在，请说明理由【解答】（）证明：设点的坐标为记，则由；（）解：设点的坐标为当时，点和点在轨迹上当时，由，得又，所以为线段的中点在中，所以有综上所述，点的轨迹的方程是；（）结论：在点的轨迹上，存在点使的面积，此时的正切值为2理由如下：上存在点，使的充要条件是

24、，显然，存在点，使；不妨取，则，又，第2讲 点差法一解答题（共9小题） 1过椭圆内一点引一条弦，使弦被点平分，求这条弦所在直线的方程2已知中心在原点，一焦点为的椭圆被直线截得的弦的中点横坐标为，求此椭圆的方程3已知曲线，试确定的取值范围，使得对于直线，曲线上总有不同两点关于该直线对称4已知椭圆过点，且与椭圆有相同的焦点（1）求椭圆的标准方程；（2）若椭圆上存在、两点关于直线对称，求实数的取值范围5在中，是、的等差中项，且，（1）求顶点的轨迹的方程；（2）若上存在两点关于直线对称，求实数的取值范围6已知双曲线，经过点能否作一条直线，使直线与双曲线交于、，且是线段的中点，若存在这样的直线，求出它的

25、方程；若不存在，说明理由7已知椭圆的一个顶点为，离心率为（1）求椭圆的方程；（2）经过点能否作一条直线，使直线与椭圆交于，两点，且使得是线段的中点，若存在，求出它的方程；若不存在，说明理由8已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，点，在上（）求的方程；（）直线不过原点且不平行于坐标轴，与有两个交点，线段的中点为，证明：的斜率与直线的斜率的乘积为定值9已知椭圆的离心率是，直线被椭圆截得的线段长为（）求椭圆的方程；（）若椭圆两个不同的点，关于直线对称，求实数的取值范围第2讲 点差法一解答题（共9小题） 1过椭圆内一点引一条弦，使弦被点平分，求这条弦所在直线的方程【解答】解：设直线与椭圆的交点为，、，

26、为的中点，又、两点在椭圆上，则，两式相减得于是，即，故所求直线的方程为，即2已知中心在原点，一焦点为的椭圆被直线截得的弦的中点横坐标为，求此椭圆的方程【解答】解：椭圆被直线截得的弦的中点横坐标为，可得宗坐标为，可得中点设椭圆标准方程为：设直线与椭圆相交于点，则，相减可得：，又，又，联立解得，椭圆的标准方程为：3已知曲线，试确定的取值范围，使得对于直线，曲线上总有不同两点关于该直线对称【解答】解：设椭圆上关于直线对称的点，则根据对称性可知线段被直线垂直平分可得直线的斜率，直线与椭圆有两个交点，且的中点，在直线，故可设直线 的方程为，联立方程组，整理可得，代入，的范围就是，4已知椭圆过点，且与椭圆有相同的焦点（1）求椭圆的标准方程；（2）若椭圆上存在、两点关于直线对称，求实数的取值范围【解答】解：（1）由椭圆，可得，可得焦点设椭圆的标准方程为，则，解得，椭圆的标准方程为（2）设直线的方程为：，线段的中点，联立，化为：，化为：，解得，代入可得实数的取值范围是5在中，是、的等差中项，且，（1）求顶点的轨迹的方程；（2）若上存在两点关于直线对称，求实数的取值范围【解答】解：（1）由题意，顶点的轨迹是以，为焦点的椭圆（除去，共线），且，顶点的轨