2016年普通高等学校招生全国统一考试理科数(天津卷)

1、2016年普通高等学校招生全国统一考试天津理科数学1.(2016天津,理1)已知集合A=1,2,3,4,B=y|y=3x-2,xA,则AB=() A.1B.4C.1,3D.1,4答案D由题意知集合B=1,4,7,10,则AB=1,4.故选D.2.(2016天津,理2)设变量x,y满足约束条件x-y+20,2x+3y-60A.-4B.6C.10D.17答案B如图,作出变量x,y满足约束条件表示的可行域,为三角形ABC及其内部,点A,B,C的坐标依次为(0,2),(3,0),(1,3).由图可知,将z=2x+5y变形为y=-25x+z5,可知当y=-25x+z5经过点B时,z取最小值63.(201

2、6天津,理3)在ABC中,若AB=13,BC=3,C=120,则AC=()A.1B.2C.3D.4答案A由余弦定理得13=9+AC2+3ACAC=1.故选A.4.(2016天津,理4)阅读下边的程序框图,运行相应的程序,则输出S的值为()A.2B.4C.6D.8答案B依次循环:S=8,n=2;S=2,n=3;S=4,n=4,满足条件,结束循环,输出S=4.故选B.5.(2016天津,理5)设an是首项为正数的等比数列,公比为q,则“q0”是“对任意的正整数n,a2n-1+a2n0”的()A.充要条件B.充分而不必要条件C.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件答案C由题意,得a2n-1+a2

3、n0a1(q2n-2+q2n-1)0q2(n-1)(q+1)0q(-,-1),因此,q0是对任意的正整数n,a2n-1+a2n0),以原点为圆心,双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A,B,C,D四点,四边形ABCD的面积为A.x24-3y24C.x24-y24=答案D根据对称性,不妨设点A在第一象限,其坐标为(x,y),于是有x2+y2=4y=b2xx=4b27.(2016天津,理7)已知ABC是边长为1的等边三角形,点D,E分别是边AB,BC的中点,连接DE并延长到点F,使得DE=2EF,则AFBC的值为(A.-58B.18C.14答案B设BA=a,BC=b,则DE=12

4、AC=12(b-a),DF=32DE=34(b-a),AF=AD+DF=-12a+34(b-a)=-54a8.(2016天津,理8)已知函数f(x)=x2+(4a-3)x+3a,x0,A.0,23C.13,2答案C由函数f(x)在R上单调递减,可得0a1,3-4a当x0时,由f(x)=0得x0=1a-1又a13,1a-12,即x0如图,作出y=|loga(x+1)+1|(x0)的图象,由图知当x0时,方程|f(x)|=2-x只有一解.当x0时,解得a1又a13,34,方程有一负根x0和一零根,则有x00=3a-2=0,解得a=23此时x0+0=2-4a=-230,符合题意方程有一正根x1和一负

5、根x2,则有x1x2=3a-20,解得af(-2),则a的取值范围是.答案1解析由题意知函数f(x)在区间(0,+)上单调递减,又f(x)是偶函数,则不等式f(2|a-1|)f(-2)可化为f(2|a-1|)f(2),则2|a-1|2,|a-1|12,解得12a0)的焦点为F,准线为l.过抛物线上一点A作l的垂线,垂足为B.设C72p,0,AF与BC相交于点E.若|CF|=2|AF|,且答案6解析由题意知抛物线的普通方程为y2=2px,焦点为Fp2,0,|CF|=72p-p2=3p,又|CF|=2|AF|,则|AF|=32p.由抛物线的定义得|AB|=32p,所以xA=p,由CFAB,得EFE

6、A=CFAB,即EFEA=CFAF=2,所以SCEF=2SCEA=62,SACF=SAEC+SCFE=92.所以123p2p=92,解得p=15.(2016天津,理15)已知函数f(x)=4tan xsin2-x(1)求f(x)的定义域与最小正周期;(2)讨论f(x)在区间-4解(1)f(x)的定义域为xxf(x)=4tan xcos xcosx=4sin xcosx=4sin x1=2sin xcos x+23sin2x-3=sin 2x+3(1-cos 2x)-3=sin 2x-3cos 2x=2sin2x所以,f(x)的最小正周期T=22=(2)令z=2x-3,函数y=2sin z的单调

7、递增区间是-2+2k,2+2k,kZ.由-2+2k2x-32+2k,得-12+kx512+k,kZ.设A=-4,4,B=x-16.(2016天津,理16)某小组共10人,利用假期参加义工活动,已知参加义工活动次数为1,2,3的人数分别为3,3,4,现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会.(1)设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”,求事件A发生的概率;(2)设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值,求随机变量X的分布列和数学期望.解(1)由已知,有P(A)=C3所以,事件A发生的概率为13(2)随机变量X的所有可能取值为0,1,2.P(X=0)=C3P(X=1)=C3P

8、(X=2)=C3所以,随机变量X的分布列为X012P474随机变量X的数学期望E(X)=0415+1715+241517.(2016天津,理17)如图,正方形ABCD的中心为O,四边形OBEF为矩形,平面OBEF平面ABCD,点G为AB的中点,AB=BE=2.(1)求证:EG平面ADF;(2)求二面角O-EF-C的正弦值;(3)设H为线段AF上的点,且AH=23HF,求直线BH和平面CEF所成角的正弦值解依题意,OF平面ABCD,如图,以O为原点,分别以AD,BA,OF的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系,依题意可得O(0,0,0),A(-1,1,0),B(-1,-1,0),C(

9、1,-1,0),D(1,1,0),E(-1,-1,2),F(0,0,2),G(1)证明:依题意,AD=(2,0,0),AF=(1,-1,2).设n1=(x,y,z)为平面ADF的法向量,则n不妨设z=1,可得n1=(0,2,1),又EG=(0,1,-2),可得EGn1=0,又因为直线EG平面ADF,所以EG平面ADF.(2)易证,OA=(-1,1,0)为平面OEF的一个法向量.依题意,EF=(1,1,0),CF=(-1,1,2).设n2=(x,y,z)为平面CEF的法向量,则n不妨设x=1,可得n2=(1,-1,1).因此有cos=OAn2|于是sin=33所以,二面角O-EF-C的正弦值为3

10、3(3)由AH=23HF,得AH=25因为AF=(1,-1,2),所以AH=进而有H-35,3因此cos=BHn2|所以,直线BH和平面CEF所成角的正弦值为72118.(2016天津,理18)已知an是各项均为正数的等差数列,公差为d.对任意的nN*,bn是an和an+1的等比中项.(1)设cn=bm+12-bn2,nN*,求证:(2)设a1=d,Tn=k=12n(-1)kbk2,nN证明(1)由题意得bn2=anan+1,有cn=bn+12-bn2=an+1an+2-an因此cn+1-cn=2d(an+2-an+1)=2d2,所以cn是等差数列.(2)Tn=(-b12+b22)+(-b32

11、+b42)+(-b2n-12+b2n2)=2d(a2所以k19.(2016天津,理19)设椭圆x2a2+y23=1(a3)的右焦点为F,右顶点为A.已知1|(1)求椭圆的方程;(2)设过点A的直线l与椭圆交于点B(B不在x轴上),垂直于l的直线与l交于点M,与y轴交于点H.若BFHF,且MOAMAO,求直线l的斜率的取值范围.解(1)设F(c,0),由1|即1c+1a=3ca(a-又a2-c2=b2=3,所以c2=1,因此a2=4.所以,椭圆的方程为x24+(2)设直线l的斜率为k(k0),则直线l的方程为y=k(x-2).设B(xB,yB),由方程组x消去y,整理得(4k2+3)x2-16k

12、2x+16k2-12=0.解得x=2,或x=8k由题意得xB=8k2-64k2由(1)知,F(1,0),设H(0,yH),有FH=(-1,yH),BF=由BFHF,得BFFH=0,所以4k2-94k因此直线MH的方程为y=-1kx+9设M(xM,yM),由方程组y=k(解得xM=20k在MAO中,MOAMAO|MA|MO|,即(xM-2)2+yM2xM2+yM2,化简得xM1,即20k2+9所以,直线l的斜率的取值范围为-20.(2016天津,理20)设函数f(x)=(x-1)3-ax-b,xR,其中a,bR.(1)求f(x)的单调区间;(2)若f(x)存在极值点x0,且f(x1)=f(x0)

13、,其中x1x0,求证:x1+2x0=3;(3)设a0,函数g(x)=|f(x)|,求证:g(x)在区间0,2上的最大值不小于14(1)解由f(x)=(x-1)3-ax-b,可得f(x)=3(x-1)2-a.下面分两种情况讨论:当a0时,有f(x)=3(x-1)2-a0恒成立,所以f(x)的单调递增区间为(-,+).当a0时,令f(x)=0,解得x=1+3a3,或x=1-当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表:x-11-3a1-1+1+3a1+3af(x)+0-0+f(x)单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以f(x)的单调递减区间为1-3a3,1+(2)证明因为f(x)存在极值点,所

14、以由(1)知a0,且x01.由题意,得f(x0)=3(x0-1)2-a=0,即(x0-1)2=a3,进而f(x0)=(x0-1)3-ax0-b=-2a3x0-又f(3-2x0)=(2-2x0)3-a(3-2x0)-b=8a3(1-x0)+2ax0-3a-b=-2a3x0-a3且3-2x0 x0,由题意及(1)知,存在唯一实数x1满足f(x1)=f(x0),且x1x0,因此x1=3-2x0.所以x1+2x0=3.(3)证明设g(x)在区间0,2上的最大值为M,maxx,y表示x,y两数的最大值.下面分三种情况讨论:当a3时,1-3a3021+3a3,由(1)知,f(x)在区间0,2上单调递减,所以f(x)在区间0,2上的取值范围为f(2),f(0),因此M=max|f(2)|,|f(0)|