2015年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(课标全国Ⅰ)

1、2015年普通高等学校招生全国统一考试课标全国理科数学注意事项:1.本试题分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分,第卷1至3页,第卷3至5页.2.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置.3.全部答案在答题卡上完成,答在本试题上无效.4.考试结束后,将本试题和答题卡一并交回.第卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2015课标全国,理1)设复数z满足1+z1-z=i,则|z|=A.1B.2C.3D答案:A解析:1+z1-z=i,z=i-1i+1=(i-1)(-i+1)2.(2015课标全国,理2)sin 20

2、cos 10-cos 160sin 10=()A.-32B.32C.-答案:D解析:sin 20cos 10-cos 160sin 10=sin 20cos 10+cos 20sin 10=sin(10+20)=sin 30=13.(2015课标全国,理3)设命题p:nN,n22n,则p为()A.nN,n22nB.nN,n22nC.nN,n22nD.nN,n2=2n答案:C解析:p:nN,n22n,p:nN,n22n.故选C.4.(2015课标全国,理4)投篮测试中,每人投3次,至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6,且各次投篮是否投中相互独立,则该同学通过测试的概率为

3、()A.0.648B.0.432C.0.36D.0.312答案:A解析:由条件知该同学通过测试,即3次投篮投中2次或投中3次.故P=C320.62(1-0.6)+C330.63=5.(2015课标全国,理5)已知M(x0,y0)是双曲线C:x22-y2=1上的一点,F1,F2是C的两个焦点.若MF1MF20A.-3C.-2答案:A解析:由条件知F1(-3,0),F2(3,0),MF1=(-3-x0,-y0),MF2=(3-xMF1MF2又x022-y02=1,x02-33y00,由函数图像可知,其周期为T=254-所以2=2,解得=所以f(x)=cos(x+).由图像可知,当x=1214+54

4、=3即f34=cos34解得34+=2k+(k解得=2k+4(kZ)令k=0,得=4,所以f(x)=cos令2kx+42k+(k解得2k-14x2k+34(k所以函数f(x)=cosx+4的单调递减区间为2k-14,29.(2015课标全国,理9)执行下面的程序框图,如果输入的t=0.01,则输出的n=()A.5B.6C.7D.8答案:C解析:S=1,n=0,m=12,t=0.01S=S-m=12,m=m2=14,n=n+1=1,S=14,m=18,n=2,S0.S=18,m=116,n=3,S0.S=116,m=132,n=4,S0.S=132,m=164,n=5,S0.S=164,m=11

5、28,n=6,S0.S=1128,m=1256,n=7,S0.n=7.10.(2015课标全国,理10)(x2+x+y)5的展开式中,x5y2的系数为()A.10B.20C.30D.60答案:C解析:由于(x2+x+y)5=(x2+x)+y5,其展开式的通项为Tr+1=C5r(x2+x)5-ryr(r=0,1,2,5),因此只有当r=2,即T3=C52(x2+x)3y2中才能含有x5y2项.设(x2+x)3的展开式的通项为Si+1=C3i(x2)3-ixi=C3ix6-i(i=0,1,2,3),令6-i=5,得i=1,则(x2+x)3的展开式中x5项的系数是C31=3,故(x2+x+y)5的展

6、开式中,x5y211.(2015课标全国,理11)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体,该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16+20,则r=()A.1B.2C.4D.8答案:B解析:由条件知,该几何体是由一个圆柱被过圆柱底面圆直径的平面所截剩下的半个圆柱及一个半球拼接而成,其表面积是一个矩形面积、两个半圆面积、圆柱侧面积的一半、球表面积的一半相加所得,所以表面积为S表=2r2r+212r2+r2r+124r2=5r2+4r2=16+2012.(2015课标全国,理12)设函数f(x)=ex(2x-1)-ax+a,其中a1,若存在唯一的整数x0使

7、得f(x0)0,则a的取值范围是()A.-3C.32e答案:D解析:设g(x)=ex(2x-1),h(x)=a(x-1),则不等式f(x)0即为g(x)h(x).因为g(x)=ex(2x-1)+2ex=ex(2x+1),当x-12时,g(x)-12时,g(x)0,函数g(x)单调递增所以g(x)的最小值为g-而函数h(x)=a(x-1)表示经过点P(1,0),斜率为a的直线.如图,分别作出函数g(x)=ex(2x-1)与h(x)=a(x-1)的大致图像.显然,当a0时,满足不等式g(x)h(x)的整数有无数多个.函数g(x)=ex(2x-1)的图像与y轴的交点为A(0,-1),与x轴的交点为D

8、1取点C-1,-由图可知,不等式g(x)h(x)只有一个整数解时,须满足kPCakPA.而kPC=0-3e1-(-1)=32e,所以32ea0),所以(a-0)2+(0-2)2=4-a,解得a=32,故圆心为32,0,此时半径r=15.(2015课标全国,理15)若x,y满足约束条件x-10,x-y答案:3解析:画出约束条件对应的平面区域(如图),点A为(1,3),要使yx最大,则y-0 x-0最大,即过点(x,y),(0,0)两点的直线斜率最大,由图形知当该直线过点A时,16.(2015课标全国,理16)在平面四边形ABCD中,A=B=C=75,BC=2,则AB的取值范围是.答案:(6-解析

9、:如图.作CEAD交AB于E,则CEB=75,ECB=30.在CBE中,由正弦定理得,EB=6延长CD交BA的延长线于F,则F=30.在BCF中,由正弦定理得,BF=6+所以AB的取值范围为(6-2三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分12分)(2015课标全国,理17)Sn为数列an的前n项和.已知an0,an2+2an=4Sn+(1)求an的通项公式;(2)设bn=1anan+1,求数列bn解:(1)由an2+2an=4Sn+3,可知an+12+2an+1=4S可得an+12-an2+2(an+1-an即2(an+1+an)=an+12-an2=(an+1+

10、an)(由于an0,可得an+1-an=2.又a12+2a1=4a1+3,解得a1=-1(舍去),a1=所以an是首项为3,公差为2的等差数列,通项公式为an=2n+1.6分(2)由an=2n+1可知bn=1设数列bn的前n项和为Tn,则Tn=b1+b2+bn=1=n3(2n+3)18.(本小题满分12分)(2015课标全国,理18)如图,四边形ABCD为菱形,ABC=120,E,F是平面ABCD同一侧的两点,BE平面ABCD,DF平面ABCD,BE=2DF,AEEC.(1)证明:平面AEC平面AFC;(2)求直线AE与直线CF所成角的余弦值.解:(1)连结BD,设BDAC=G,连结EG,FG

11、,EF.在菱形ABCD中,不妨设GB=1.由ABC=120,可得AG=GC=3由BE平面ABCD,AB=BC,可知AE=EC.又AEEC,所以EG=3,且EGAC.在RtEBG中,可得BE=2,故DF=2在RtFDG中,可得FG=6在直角梯形BDFE中,由BD=2,BE=2,DF=22,可得EF=从而EG2+FG2=EF2,所以EGFG.又ACFG=G,可得EG平面AFC.因为EG平面AEC,所以平面AEC平面AFC.6分(2)如图,以G为坐标原点,分别以GB,GC的方向为x轴、y轴正方向,|GB|为单位长,建立空间直角坐标系由(1)可得A(0,-3,0),E(1,0,2),F-1,0,22,

12、C(0,3,所以AE=(1,3,2),CF=故cos=AE所以直线AE与直线CF所成角的余弦值为33.1219.(本小题满分12分)(2015课标全国,理19)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费x(单位:千元)对年销售量y(单位:t)和年利润z(单位:千元)的影响.对近8年的年宣传费xi和年销售量yi(i=1,2,8)数据作了初步处理,得到下面的散点图及一些统计量的值.xywi=18(xi-xi=18(wi-wi=18(xi-x)(yi-i=18(wi-w)(yi-46.65636.8289.81.61 469108.8表中wi=xi,w(1)根据散点图判断,y=a+bx

13、与y=c+dx哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型?(给出判断即可,不必说明理由)(2)根据(1)的判断结果及表中数据,建立y关于x的回归方程;(3)已知这种产品的年利润z与x,y的关系为z=0.2y-x.根据(2)的结果回答下列问题:年宣传费x=49时,年销售量及年利润的预报值是多少?年宣传费x为何值时,年利润的预报值最大?附:对于一组数据(u1,v1),(u2,v2),(un,vn),其回归直线v=+u的斜率和截距的最小二乘估计分别为解:(1)由散点图可以判断,y=c+dx适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型.2分(2)令w=x,先建立y关于w的线性回归方程.由于

14、d=c=y-dw=563-686所以y关于w的线性回归方程为y=100.6+68w,因此y关于x的回归方程为y=100.6+68x.(3)由(2)知,当x=49时,年销售量y的预报值y=100.6+6849=576.6年利润z的预报值z=576.60.2-49=66.32.9分根据(2)的结果知,年利润z的预报值z=0.2(100.6+68x)-x=-x+13.6x+20.12所以当x=13.62=6.8,即x=46.24故年宣传费为46.24千元时,年利润的预报值最大.12分20.(本小题满分12分)(2015课标全国,理20)在直角坐标系xOy中,曲线C:y=x24与直线l:y=kx+a(

15、a0)交于M,N(1)当k=0时,分别求C在点M和N处的切线方程;(2)y轴上是否存在点P,使得当k变动时,总有OPM=OPN?说明理由.解:(1)由题设可得M(2a,a),N(-2a,a),或M(-2a,a),N(2a,a).又y=x2,故y=x24在x=2a处的导数值为a,C在点(2a,a)处的切线方程为y-a=a(x-2a),即ay=x24在x=-2a处的导数值为-a,C在点(-2a,a)处的切线方程为y-a=-a(x+2a),即ax+y+a=故所求切线方程为ax-y-a=0和ax+y+a=0.5分(2)存在符合题意的点,证明如下:设P(0,b)为符合题意的点,M(x1,y1),N(x2

16、,y2),直线PM,PN的斜率分别为k1,k2.将y=kx+a代入C的方程得x2-4kx-4a=0.故x1+x2=4k,x1x2=-4a.从而k1+k2=y=2当b=-a时,有k1+k2=0,则直线PM的倾角与直线PN的倾角互补,故OPM=OPN,所以点P(0,-a)符合题意.12分21.(本小题满分12分)(2015课标全国,理21)已知函数f(x)=x3+ax+14,g(x)=-ln x(1)当a为何值时,x轴为曲线y=f(x)的切线;(2)用minm,n表示m,n中的最小值,设函数h(x)=minf(x),g(x)(x0),讨论h(x)零点的个数.解:(1)设曲线y=f(x)与x轴相切于

17、点(x0,0),则f(x0)=0,f(x0)=0,即x解得x0=12,a=-因此,当a=-34时,x轴为曲线y=f(x)的切线.5分(2)当x(1,+)时,g(x)=-ln x0,从而h(x)=minf(x),g(x)g(x)0,故h(x)在(1,+)无零点.当x=1时,若a-54,则f(1)=a+540,h(1)=minf(1),g(1)=g(1)=0,故x=1是h(x)的零点;若a-54,则f(1)0,h(1)=minf(1),g(1)=f(1)0.所以只需考虑f(x)在(0,1)的零点个数.()若a-3或a0,则f(x)=3x2+a在(0,1)无零点,故f(x)在(0,1)单调.而f(0)=14,f(1)=a+54,所以当a-3时,f(x)在(0,1)有一个零点;当a0时,f(x)在(0,1)()若-3a0,即-34a0,f(x)在(0,1若f-a3=0,即a=-34,则f(x)在(0,1若