考研级数典型例题完美讲析

1、文档编码 : CZ6S10D3K6T3 HE10Z5T5G5B3 ZK8O9H4I5B10常数项级数 内容要点 一,概念与性质 一 概念 由数列 u1 ,u 2 , , un , 构成的式子 ui 称为级数的部分和 . n 1 un u1 u2 un n称为无穷级数,简称为级数 . un 称为级数的一般项, sn i 1 假如 lim nsn s ,就称级数 n1u n 收敛, s 称为该级数的和 .此时记 un s .否就称级数 n 1 发散 . （二）性质 1, 如 un 收敛,就 ku n k un . lim un n0. n1n 1 n 1 2, 如 un , vn 收敛,就 n 1

2、 un vn u n n 1 n 1 vn . n1n 1 3, 级数增减或转变有限项,不转变其敛散性 . 4, 如级数收敛,就任意加括号后所成的级数仍收敛 . 5收敛的必要条件 , 如 un 收敛,就 lim un n0. n 1 留意：如 lim nun 0.就 n1un 必发散 .而如 n1un 发散 ,就不愿定 三 两个常用级数 1, 等比级数 2, p级数 n aq , a , 1 q q1n0, q11p1n 1 np, p1二,正项级数敛散性判别法 一 比较判别法 第 1 页,共 52 页设 u n , n 1 vn 均为正项级数,且 un vn n 1,2, ,就 n1n1vn

3、 收敛 n1un 收敛； n1un 发散 n1vn 发散 二 极限判别法 假如 lim nnun l 0 l ,就 un 发散； un 就收敛 . n1假如对 p 1, lim n pnun l 0 l ,就 n 1 三 比值判别法 设 un 为正项级数,如 un 11c n1lim n1bun 1f 二,交叉级数收敛性判别法 莱布尼兹判别法：设 n 1 1n1un un 0 为交叉级数,假如中意： 1, un un 1 n 1,2, 2, lim nun 0就此交叉级数收敛 . 三,任意项级数与确定收敛 （一） 确定收敛 假如 un 收敛,就称 un 确定收敛 . un 条件收敛 . n1n

4、 1 （二） 条件收敛 假如 un 收敛,但 un 发散 ,就称 n1n1n 1 （三） 定理 如级数确定收敛,就该级数必收敛 . 函数项级数 一, 主要内容 1,基本概念 函数列（函数项级数）的点收敛,一样收敛,内闭一样收敛,肯 定收敛,和函数 第 2 页,共 52 页幂级数的收敛半径,收敛区间,收敛域 2,一样收敛性 A , 函数列 fn x 一样收敛性的判定： （1）定义：用于处理已知极限函数的简洁函数列的一样收敛性 （2） Cauchy 收敛准就：用于抽象,半抽象的函数列的一样收敛性的判定 （3）确界（最大值方法） ： | f n x f x | 0（4）估量方法： | fn x f

5、x | an 0（5） Dini -定理：条件 1）闭区间 a,b ； 2）连续性； 3）关于 n 的单调性 注,除 Cauchy 收敛准就外,都需要知道极限函数,因此,在判定一样收敛性时,一般应先 利用点收敛性运算出极限函数； 注,定义法,确界方法和估量方法的本质是相同, 定义方法通常处理抽象的对象, 估量方法 是确界方法的简化形式, 估量方法处理较为简洁的详细的对象, 确界方法是通过确界的运算 得到较为精确的估量, 通常用于处理具有一般结构的详细的函数列, 也可以用于非一样收敛 性的判定； 注,Dini 定理中, 要验证的关键条件是关于 n 的单调性,定理中相应的条件为“对任意固定 的 x

6、 a,b , f n x 作为数列关于 n 是单调的”,留意到收敛或一样收敛与函数列前面的 有限项没有关系,上述条件也可以改为“存在 N,当 nN 时”条件成立刻可,但是,要注 意 N 必需是与 x 无关的, 即当 nN 时,对全部任意固定的 x a,b , f n x 关于 n 单调, 因此,此时的单调性也称为对 非一样收敛性的判定 （1）定义 （2） Cauchy 收敛准就 n 的单调性关于 x 一样成立； （3）确界法：存在 xn ,使得 | fn xn f xn | 不收敛于 0（4）和函数连续性定理 （5）端点发散性判别法： f n x 在 c 点左连续, fn c 发散,就 fn

7、x 在 c , c 内非一样收敛 注,在判定非一样收敛性时,依据使用时的难易程度,可以按如下次序使用相应的方法进 行判定：端点发散性判别法,和函数连续性定理,确界方法,定义法, Cauchy 收敛准就； B,函数项级数 un x 一样收敛性的判定 （1）定义 （2） Cauchy 收敛准就 （3）转化为函数列（部分和） 第 3 页,共 52 页（4）余项方法： rn x 一样收敛于 0（5）几个判别法： W-法, Abel 法, Dirichlet 法, Dini -法 经典例题 例 1 判定级数 1 1； 2 1 的敛散性 . n 1 n n n 1 n n解： 1 1 = 13 p 3 1

8、 收敛 n 1 nn n 1 n 2 22 由于 lim n n n 1 lim n u n lim n n 1n 1 0, 故 n1n 1n 发散 . n例 2 判别级数 .1 1； 2 3n； 3 n1 的敛散性 . n 2 n 1 n 3 n1 n2 n1 n n 2 解： 1 由于 1 12 n 2,3 ,而 12 12 收敛 n 1 n 3 n 3 n 2 n 3 n 5 n故由比较判别法可知级数 1 收敛 . n2 n 1 n 3 2 由于 3 n n 1 n 1,2, ,而 1 发散,由比较判别法可知 n2 n n1 nn级数 3n 发散 . n1 n2 3 由于 n 1 n1

9、1,而 1 1 发散,由比较判别法可知 nn 2 n 1 n 2 n 2 n 1 n 2 n 3 n级数 n 1 发散 . n1 nn 2 n例 3 判别以下级数的敛散性： 1 1； 2 nn 1 n 1. n 1 n. 解：用比值判别法 1 lim nun 1 lim n1lim n101, 故n 1 1收敛； n. 1 un n 1. n n 1. 第 4 页,共 52 页2 lim nun 1lim nn 1 n 1 lim n11ne1, 故n 1 nn发散 . n 1. unnn nn. n. 例 4 判别级数 1 n11；（ 2） ln 11的敛散性 . . n n nn2n1解：

10、 1 由于 lim nu nnlim n n n1nlim nn110 , n n故由极限判别法可知级数 n 1 n1n发散 . n 2 2 由于 lim n un nlim n ln 1 n1lim ln 1 n1n2 ln e 1n2n2故由极限判别法可知级数 ln 11收敛 . n2n 1 例 5 问级数 n 1 n 1 c 2n是收敛仍是发散？如收敛,是确定收敛仍是条件收敛？ n解：由茉布尼兹判别法可知 n11nc 与 1n1均收敛,从而原级数收敛 n2nn 1 另一方面, 1nc 2n c 2nn1,而 n 1 1 发散,故由比较判别法可知 nnn2nnn 1 1n c 2n发散,从

11、而原级数是条件收敛 . n练习题 1, 用比较判别法判别以下级数的敛散性 . n12 sin 2n 1 4 1n1 11 2 n ln 2 3 n n 1 2 n2n2n 1 nn n 1 2 2, 用比值判别法判别以下级数的敛散性 . 3 n 2 nn 1 3 1 5 n n 1 n. 2 n 1 1 3 2 n 1 2 5 3n 1 3, 用极限判别法判别以下级数的敛散性 . 第 5 页,共 52 页1 1n2 n 1 ln n n 1 2n 3 nn24 判定以下级数是否收敛？假如收敛,是确定收敛仍是条件收敛？ 1 11112 n11n1n3,1 发散 2收敛 234n 1 33 111

12、111114 n 1 1n32322323321 ln n 答案： 1,1收敛 2 收敛 3 收敛 4 发散 2,1收敛 2 收敛 3 收敛 4,1 条件收敛 2确定收敛 3确定收敛 4条件收敛 5 求幂级数 1 x 2 x 3 x n x n23的收敛半径与收敛域 . 解：由于 lim nan 1lim n1lim nn1 = n1 1an n1n所以 ,收敛半径 R11收敛区间为 1,1. n 1 n x , x I 当 x 1 时 ,原级数1n 1 n 1 收敛； n为 当 x 1 时 ,原级数1n 1 1发散 . 故收敛域为 1,1. n为 6. 求幂级数 n 1 n x 的和函数 .

13、 n解：不难求得收敛域为 I 1,1 设和函数为 Sx 即 Sx n/ 逐项求导, S x n 1 n1 x 1 1, x x 1. 再积分,便得 S x x 11dx x ln1 x , x I 0第 6 页,共 52 页7.求幂级数 n 2n 1 x 的收敛域及和函数 . n 1 解： lim nan 1lim n2n 1 1R112n1 1an n当 x 1 时, 原级数 = 2n 1 1发散,故收敛域为 1,1. n1n 2n 1 x = 2 n n 2x 3n x = 2 x n n1 x dx / 3x 3x1 x 1x n1n1n 1 n10= 2 n1 n 1 / x 3x 2

14、2x / 1 x 3x 4x1 x 2 2x . 3x 4x 2 2x 1 x 1 x 1 2 x 1 x 1 2 x 1 2 x = x 2 4x . , 1x 1 2 1 x 8. 将函数 f x 11开放成的幂级数 . x 2 解：由于 1n0 1 n xn , 1x 1, 故 1 x f x 11= n0n2 1 x 4 x 6 x n 2n 1 x 2n 1 x 2 x 练习题 1, 求以下幂级数的收敛半径与收敛域 . n n nn x n 1 x x 1 nx 2 n 3 1 4 nn 1 n 1 3 n 1 2n 1 n 1 n42, 求以下幂级数的收敛域及和函数 . nn n

15、x 1 nx 2 n 2 x 3 n 1 n 1 n2 n 13, 将以下函数展为 x 的幂级数 x 1 f x ln1 x 2 2 f x e 2 3 f x a x 4 f x sin 2 x 答案： 1,1 R 1, 1,1 2 R 3, 3,3 3 R 1, 1,1 4 R 4, 4,4 x 2 x 2,1 1,1, 2 2 1,1, 2 3 1,1, x ln1 x 1 x x 1 第 7 页,共 52 页3, 1 n 1 x 2 n n2 n 0 1nn x 3 1n1ln a nx n n. 2nn. 4 1n2n 1 x n 0 2n 1 2n 1. 2 1,判定函数列 fn

16、x 在0,1 的一样收敛性,其中 （ 1）, fn x 1nx x , （2）, fn x n nx1 x ； n解：（ 1）运算得, nx x x , x 0,1 ,f x lim fn x nlim n1n因而, | fn x f x | | 1nx x x | 2, x 0,1 , nn故, fn x 在 0,1 一样收敛； （ 2）运算得 f x lim f x lim nx1 x n n n n0 , x 0,1 , 记 x | f n x f x | nx1 x n ,就 n1 x n1 x 1 n 1x , 故, x 在 xn 1 处达到最大值,因而 n1| f n x f x

17、| xn n1 1 n 1, n1 n1 e故, fn x 在 0,1 非一样收敛； 注,下述用 Dini -定理求证（ 2）的过程是否合适；验证 Dini 定理的条件： 明显,对任意的 n,f x nx1 n x C0,1 ,f x 0C0,1 ；当 x 0 或 x 1 , 0 时,考fn x n nx1 x 关于 n 的单调性, fn x 0 ,因而关于 n 单调；当 x 察 为此,将离散变量 n 连续化,记 a1 x 0,1 ,考查对应函数 g y y ya 关于 y 的单调性； 明显, g y ay ya y ln a a y1 y ln a , 第 8 页,共 52 页故,当 y 1

18、0 时, g y 0 ,因而关于 y 单减； ln 1 a对应得到当 n1 1 ln 1 x 时, f x 关于 n 单减,故由 Dini -定理, f x 在 0,1 中 一样收敛； 分析 明显,这是与最大值解法相冲突的结论；最大值方法是正确的,那么,上 述 Dini -定理的证明过程错在何处？进一步考察 Dini -定理的条件与上述证明过程： 条件 f , fn C0,1 是确定的,有限区间 0,1 也适合,剩下的条件只有单调性了； 那么, Dini -定理中对单调性条件如何要求的？其表达为：对任意固定的 x , f n x 是 n 的单调数列,留意到收敛性与前有限项没有关系,因而 fn

19、x 的单 调性也放宽为 n N 时, fn x 是 n 的单调数列,本例中,在验证单调条件时, 实 际 证 明 了 ： x 0 , 当 n 11 N 时 , f n x 关 于 n 单 调 , 显 然 , ln 1 x N 1,（ x 0）,因此, fnx 的单调性关于 x 并非是一样的,破 ln 11 x 坏了 Dini -定理的条件,故 Dini -定理不行用； 从上述分析过程看,当考虑到数列的收敛与前面有限项关系时, Dini -定理可这 样表述： Dini -定理 在有限闭区间 a,b 上,设 f n x C a, b , n 且 fn x 点收敛于 f x C a, b ,又 N 0

20、,使得对任意固定的 x a,b , fn x| n N 关于 n 单调, a,b 就 fn x f x ； 注,上述分析说明： 要考察函数列的性质时, 通常只须考察 n 充分大,即 n N 时 所中意的性质即可,要留意与 如 W-定理： x 关系的刻画,对函数项级数要留意同样的问题, W -定理 设 N0,使得 nN 时,| un x | an , x I ,且 an 收敛,就 un x n 1 n 1 在 I 上一样收敛； 定理中的条件 | un x | an 也是关于 x 一样成立的,因此,条件不能改为“对任意 的 x,存在 Nx,使得 nNx时, | un x | an”； 例 2,证明

21、：如 f x 在 a,b 有连续导数f x ,就 f x n f x 1f x 在 a,b n第 9 页,共 52 页内闭一样收敛于 f x ； 分析 从题目形式看,由于知道极限函数,只需用定义验证即可,考察 | f x f x | | n f x 1 nf x 1f x | x | 1统一形式 x , | | f f x | , x nn因此,利用一样连续性可以完成证明； 证明：任取 , a,b ,就 f x 在 , 一样连续,因此, 0 , 0 , 使得 x , x , 且 | x x | 时, | f x f x | , 利用微分中值定理,存在 : x x 1,使得 n| fn x f

22、x | | f f x | , 故, n 1时, | x | 1,因而 n| fn x f x | , , 故, f n x f x ； 3,争论一样收敛性 （ 1） n x 1 2 x , x 0,1 ； （ 2） 2 x e nx , x 0, ； n 0 n 0 解：（ 1）法一,由于结构简洁,可以运算其部分和,因此,可以转化为函 数列来处理； 由于 S x 1xk 1 x 2 =1- x 1- xn , x 0,1 k 0 故, S x lim nSn x 1 x , x 0,1 ； 因而, n | Sn x Sx | 1 x x , 对任意的 n,记 g x 1 xx n,就 g x

23、 nx n 1 n1 x n第 10 页,共 52 页因而, g（x ）在 x = n 处达到最大值,因而 n+1 n 1 n n| Sn x S x | 1 xn xn = 0, n n+1 n+1 0,1 因此, Sn x Sx ,故, x 1 x n 2 在 x 0,1 一样收敛； n 0 法二,也可利用最大值法,或 W-判别法； 记 u x n x n 1 x 2 ,就 u n x nx n 11 x 22 x n 1 x x n 1 1 x n n 2 x 故, un x 在 xn n处达到最大值,因而 n 2n n n 2 20 un x un n2 n2 n2 2 2 4 2n2

24、 nn 2由 W-定理可得, x 1 x 在 x 0,1 一样收敛； n 0 （ 2）法一, 记 un x x e 2 nx ,就 u n x xe nx 2 nx , 故 un x 在 xn 2 处达到最大值,因而 n2 2 2 2 4 20 un x un e 2 e , n n n故, x e 2 nx 在 x 0, 一样收敛； n 0 法二, 利用用 Taylor 开放得, enx 1 nx 2 2 n x Rn x, x 0 2因而, 02 x e nx 2 x 1 nx 2 x Rn x 2 x 2,x0 nx e2 2 n x 2 2 n x n222第 11 页,共 52 页故

25、, x e 2 nx 在 x 0, 一样收敛； n 0 4,设 un x 在 a,b 上点收敛, un x 的部分和函数列在 a,b 上一样有界, 证 n 0 n 0 明： un x 在a,b 上一样收敛； n 0 分析 这是一个抽象的函数项级数, 从所给的条件看, W定理, Abel 判别法, Dirichlet 判别法,Dini 定理都缺乏相应的条件, 因此,考虑用 Cauchy 收敛准就, 为此,必需建立通项函数 un x 与其导函数的关系,建立其关系的方法有微分法 （利用微分中值定理）和积分法（利用微积分关系式） ,其本质基本上都是插项 法,如利用积分法估量 Cauchy 片 段 p

26、x p| k=1 un k x | | x0 k=1 un k t dt k=1 p un k x0 | , 相当于插入点 x0 ,利用一样有界条件,就 pun k x | M | x x0 | | pun k x0 | , | k=1 k=1 要通过右端把握 Cauchy 片段任意小,从右端形式和剩下的条件看,右端的其 项要用点收敛性来估量, 而第一项需用小区间的长度来把握, 由于点 x 是动态的, 任意的,因此,关键的问题是利用什么技术将动态点的把握转化为有限个定点控 制,通过第一项的形式可以确定利用对区间的分割实现上述目的； 证明：对任意的 0,对 a,b 作等分割： ax0 x1 xk

27、 b ,使得 , max xi 1xi : i 0,1, , k 1 ba, k 又, n 0 un x 点收敛,因而,存在 N,使得 nN 时, p| un j xi | , p , i=0,1, ,k j=1 nuk x | M,当 nN 时,对任意的 x a,b ,存在 xi ,使得 | x 0 xi | 0假设 | k=0 故 pun k x | | x pun k t dt pun k xi | | k=1 k=1 xi0 k=1 第 12 页,共 52 页因而, 2 M | x xi | 2 M 1 , pun x 在a,b 上一样收敛； n 0 注,总结证明过程,步骤为： 1,任

28、给 0 ,分割区间,确定有限个分点； 2, 在分点处利用 Cauchy 收敛准就； 3,利用插项技术验证一样收敛性； 留意相互间 的规律关系； 注,类似的结论可以推广到函数列的情形：设逐点收敛的函数列 Sn x 是a,b 上的可微函数列,且 Sn x 在a,b 上一样有界,就 Sn x 在a,b 一样收敛； 注,上述证明的思想是通过有限分割将任意动态点的估量转化为有限个点的 静态估量,像这种思想在证明一样收敛性时比较有用,看下面的例子； 6,给定函数列 Sn x ,设对每个固定的 n, Sn x 都是 a,b 上的单调函数,又 设 Sn x 在a,b 上收敛于 Sx ,且 S x C a, b

29、 ,证明 Sn x 在a,b 上一样 收敛于 Sx ； 分析 由于题目中给出了极限函数且函数列是抽象的, 因此,可以考虑用定义法 处理；关键是如何利用点收敛和极限函数的连续性实现对 | Sn x S x |的动态估 计,假设插入的点为某个固定的点 x0 ,就必定涉及到 | Sx S x0 | 的估量,要得 到与 x 无关的估量, 从所给的极限函数的条件看, 必需利用连续性来实现相应的 估量,但是,仅仅用连续性仍不够,由于连续性是局部性质,因此,这就使我们 考虑更高级的整体性质一样连续性, 由此,借助一样连续性实现对区间的分 割,将动态估量转化为分点处的静态估量；但是,问题并没有全部解决,由于直

30、 接插项,产生的项 | Sn x Sn x0 | 无法解决,留意到仍有一个单调性条件, 因此, 必需借助这个条件将 | Sn x Sx | 中的 Sn x 由动态点过渡到静态的点,这种技 巧并不生疏,在 Dini 定理的证明中曾借助关于 n 的单调性将变动的下标 n 转化 为固定的下标,这里我们利用同样的技术解决相应的问题； 证明：对任意的 0 ,由于 S x C a,b ,因而一样连续,故存在 0 ,当 x, y a,b 且 | x y | 时, , | S x S y | 对 a,b 作等分割： ax0 x1 xk b ,使得 max xi 1xi : i 0,1, ,k 1 ba k ,

31、 第 13 页,共 52 页利用点收敛性,存在 N,使得 nN 时, | Sn xi Sxi | , i 0,1, k ； 因此,当 nN 时,对任意点 x a, b ,存在 i0 ,使得 x x i0 1 , x ,利用 Sn x 的 单调性,就 | Sn x S x | | Sn xi 0Sx | | Sn xi 01 S x | , 事实上,当 Sn x 关于 x 单调递增时,或者 | Sn x S x | Sn x S x Sn xi S x | Sn xi Sx |, 或者 | Sn x S x | S x Sn x S x Sn xi 01 | S x Sn xi 01 | , 因

32、而,总有 | Sn x Sx | | Sn xi 0 Sx | | Sn xi 0 1 S x | ； 这样,关于 Sn x 由动态的点转化为固定的点,对右端进行插项,进一步将 Sx 由动态的点转化为固定的点； 因而, | Sn x Sx | | Sn xi 0S x | | Sn xi 01 S x | 4, | Sn xi Sxi | | S xi S x | | S x n i0 1 Sx i0 1 | | S x i0 1 S x | 故, Sn x 在a,b 上一样收敛于 Sx ； 注,利用各种技术将动态点处的估量转化为静态点处的估量是证明抽象函数 列和函数项级数一样收敛性经常用的技

33、巧, 要把握其处理问题的思想, 特别是单 调性在这个过程中的应用； 7,设 f C , ,定义函数列 S x 1n1f x k , n 1, 2, n,证 k 1 n明： Sn x 在 , 内闭一样收敛； f x t dt ,因此,可以利用形式 分析 从函数列的结构可以运算出和函数为 0统一法证明结论； 证明：对任意的 x,就 S x n lim Sn x 1f x t dt ； 0第 14 页,共 52 页对任意的 a,b , ,就 f Ca 1,b 1 ,因而,一样连续,故,对任意 的 0 ,存在 0 ,当 x, y a 1,b 1 且 | x y | 时, | f x f y | ； 取

34、 N： N 1,当 n N 时, n k | Sn x S x | | k n 1 f x t f x k dt | k 1 n nn1k 1 n 故, Sn x 在 , 内闭一样收敛； x 8,设 f0 C0, a , fn x 0 fn 1 t dt ,证明： f n x 在0, a 一样收敛于零； 证明：由于 f0 C0, a ,故 M 0 ,使得 | f0 x | M , x 0, a ,因而 | f1 x | Mx , | f 2 x | Mx tdt M 1x 2 , 02归纳可以证明： | fn x | Mn x n Ma n. n. 故, f n x 0 ； 9,在 0,1上定

35、义函数列 f x 4n2 x, 4n, 0 x 1 2n 4n2 x 1x 1 , n2n 0, 1 nx 1运算其极限函数并争论其一样收敛性； 解,法一,明显, f n 0 0 ,对任意固定的 x 0,1 ,就当 n 1x 时,总有 fn x 0 ,因此, n lim fn x 0 ,故,其极限函数为 f x 0 ； 第 15 页,共 52 页取 xn 1,就 f xn | fn xn n, 4n | fn xn 因此, f n x 在0,1 上非一样收敛； 法二,用一样收敛性的性质证明； 极限函数仍为 f x 0 ,运算得, 0 1 fn xdx 0 2n 1 4n xdx 2 1 n 1

36、 4n x 4n dx 1 22 n 因而, 01f xdx lim n1fn xdx 1 , 00故, fn x 在0,1 上非一样收敛； 注,这里, 我们利用逐项求积定理, 将这种将定性分析的证明转化为定量的 验证,这是特别有效的处理问题的思想方法； 10,给定函数列 f x xln n ,n 2,3, ,证：当 1 时,函数列 f x nx 在 0, 上一样收敛； 证明：简洁运算 f x lim nfn x 0 , x 0, , 因而, | fn x f x | fn x xln n , x n对任意固定的 n, fn x nx ln n 1 x ln n , 2 x n因而, | fn

37、 x 1 f x | fn ln n 1 ln n ln n e1故,当 1n lim | fn x 1 ln n e时, f x | 0 , 第 16 页,共 52 页 f n x 在0, 上一样收敛； 下面争论一样收敛性的应用； 11,设 S x n 0 rncosnx,（ | r | 1 ）运算 2S xdx； 0分析 题目的本质实际是两种运算的可换序性,只需验证相应的条件； 解：由于 | r n cos nx | | r | n ,故 r cosnx在 n 一样收敛,因而 0,2 2 20 S xdx n 0 0 r n cosnxdx , 2 2又, 0 cosnxdx 0 , n

38、1,2, ,故 0 S xdx 2； nx 212,设 f x n 0 3 n cos n x ,求 lim f x ；x 1 n解：考虑 x n cosn x 在 0,2 的一样收敛性；由于, 2n 0 3n| x 3 n cosn x | 2 2 3 n , n故, x n cosn x 2 在0,2 一样收敛,因而 n 0 3n nlim f x x 1 lim x 1 n 0 3 x n cosn x 2n0 1 3 n1 11 34； 3注,关键挑选一个合适的区间： 即保证一样收敛性, 也要保证极限点落在此 区间 内部； 13,运算 n lim 1x dx x n n； 01 en

39、分析 两种运算的换序性问题,只需验证一样收敛性条件； x 证明：先证 en 的一样收敛性；明显,对任意的 x 0,1 , x n lim en 1 , 利用微分中值定理,存在 0,1 ,使得 第 17 页,共 52 页x 1| | ex 0 e | ex 1, x 0,1 单调递增 | e nnnn因而, ex n 在0,1上一样收敛于 1（也可以用 Dini 定理证明）； 其次,证明 1 x n 的一样收敛性；对任意的 x 0,1 , 1 x n n n收敛于 e ,由 x Dini 定理, 1 x n 在0,1 上一样收敛于 e ； x n由此,得 x | x 1 1x | |1 e |

40、|1 x ne x |, e n 1 x n 1e nn故, x 1 在0,1 上一样收敛于 1x ,因此, e n 1 x n 1 en1 dx 1 dx n lim 0 x x n 0 n lim x x n en 1 en 1 n nx 0 1 1 dx e x 0 1e 1 e x de x 1 ln 2 ln1 e ； 1 n 14,证明： f x x 在 1,1 连续； n 1 n1 n 解： q 0,1 ,考察 x 在 q, q 上的一样收敛性；由于 n1 n| x 1n n | q 1n n , x q, q , 1 n 1 n 而 q 收敛,故 q 在 q, q 一样收敛性,

41、因而 f x C q, q ,由 n nq 的任意性, f x C 1,1； 注,留意总结这类题目证明的步骤和技巧； 15,证明： n 1 sin nx 在（ 0, 1）内非一样收敛； n分析 由于函数项级数在区间端点都收敛, 通项也是一样收敛的函数列, 又不知 其和函数,因此,只有用 Cauchy 收敛准就证明；为此,需要争论其 段,找出一个具有正下界的片段,留意到以前处理的类似问题：用 Cauchy 片 Cauchy 收敛 第 18 页,共 52 页准就证明 1 的发散性,可以设想,相应的方法是否能处理此题,由此,需要 n 1 n考察：能否存在 xn 0,1 ,使得片段中的每一项 sin

42、kxn k 的对应因子 sin kxn , kn1, ,2n 有正下界,只需 kxn ,只需 xn ,因此, 4 2 4n 1 4n 只需取 xn ； 4n 证明：取 0 2,就,对任意的 n,取 pn, xn ,就 4 4n | sin n n 1 1xn sin 2nxn 2n | 4 2, 由 Cauchy 收敛准 sin nx 在（ 0, 1）内非一样收敛； 就, n 1 n注,仍可以用下述结论证明其非一样收敛性：给定函数项级数 un x ,设 n 1 un x C a, b ,如 un x 在a,b内一样收敛, un a 和 un b 都收敛,就 n 1 n 1 n1un x 在a,

43、b上一样收敛,因而,仍成立 un x Ca, b ； n 1 n 1 在 Fourier 级数习题课中,可以证明, sin nx 正是一个在 0,1 上的非连续 n 1 n 函数的 Fourier 级数,且其和函数在 0,1 上也不连续,因而,依据上述结论, sin nx 在（ 0,1）内非一样收敛； n 1 n16,证明： n 0 n an 1 x n1 与 n0 an x n具有相同的收敛半径； 证明：法一：由于 lim n1lim n| a n1n 1| an | n|n 11n 1 n1n第 19 页,共 52 页lim n1lim nn 111| an | nn n lim | an

44、 | , 1n另一方面, n lim | a n1lim n11lim n1, n | an | 1|n n 1n n 1 n1lim n| a |n 11| a |n 1lim nn 1 n 1nn 1 n故,二者有相同的收敛半径； 法二,可定义证明； 设 n 0 a n x n 的收敛半径为 R ,要证 n 0 n an 1 x n 1 的收敛半径也为 R ,只要证 | x | R时, an x n 1收敛, | x 0 | R 时, an x n1 发散； n0 n 1 n 0 n 1对 x0 ： | x0 | R ,就, an x0 n 收敛,又 an x0 n 1 an x0 n x

45、0 , n 1 n 1由 Abel 法, an x 0 n1 收敛； n 0 n 1对任意的 x0 ：| x0 | R 时,如 an x0 n 1 收敛,取 y0 使得 | x0 | | y0 | R ,因 n0 n 1 为 an x 0 n 1 收敛,因而 an x 0 n 1 收敛,故有界记为 M ,因此, n 0 n 1 n 1| a y | | n an x n 1 y0 n n1 1| Mn 1r n, n 1 x0 x0 | x0 | 其中 r | y0 | 1 ；由于 n 1r n,因而, a y 0 n 收敛,这与 an x n 的收敛半 x0 n 0 n 0 n 0 径为 R

46、 冲突,故, an x 0 n 1 发散； n 0 n 1由此得二者的收敛半径相同； 第 20 页,共 52 页注,例子说明,幂级数求导求积后收敛半径不变,进一步可得； 17,设 f x an n 0 x n ,其收敛半径为 R 0 ,证明： f x C R, R 且 a 0f 0 , ,证 0且 an f n 0 n. ； 解：由幂级数求导后收敛半径不变性的性质得, f C R, R 且 f 0 a0 , f x n1na nxn 1 , f 0 a , f x n2n n 1a nxn 2 , f 0 2. a , 归纳可以证明： f n 0 n. a ； 注, 此例说明：任何一个幂级数都

47、是某个函数的 M -级数； 18,设 f x C , 且| f k x | M , k , x ,又 f 1n2 0 , n 1,2, 明： f x 0 ； 分析 利用幂级数开放论证,证明 f n 0 0 k 证明：由于 | f x | M ,故 | R x | M | x | nn 1. 10 , x , , 因而, f x 在 , 可展成 M -级数 f x n0f n 0 n x ； n. 下证 f n 0 0 ；明显, f 0 lim n1 f 2 n 0 ,而 f 0 lim nf 1 n 21f 0 0 , 2 n 又 由 Roller- 定 理 , 1 1 n : 21 11 1

48、1 使 得 f 1 n 1222n 331 n0 ,故 第 21 页,共 52 页f 0 lim nf n 1 f 0 0 , 0； 1 n0 ,故 f x 归纳可证： f n 0 19,求收敛半径和收敛区间； 1）, ln n x n n； 2）, n1 nn xn ； n14n1n x ； 3）, n 2 x ； ）, 3 n n 1 2nnn=1 ； n1解：记其为 n an x n11）,由于 lim nan 1lim nln n 1 n1 , an n1ln n 故, R1； 当 x 1n1ln n 发散；当 x n1 时, ln n 1 n1 是交叉的 nL- 级数,因而收敛, 时

49、, n1故其收敛域为 R, R ； 2）,由于 1lim1 n1ne , ,记 b n1 1 n n 1 n ,就 e lim an nn故 R 1 ； en1n n1 n 1 n e1 时,考虑 当 x eln bn nlg 1 1 n n ； e用连续化方法运算其极限,由于 lim x 0 lg1 11lg1 x 1x lim x 0 111, x xlim x 0 x x x lim x 0 lg1 x 2 x 1 x 2x 2第 22 页,共 52 页故, ln b n1 , b n2e10 ,因而, n n1 n 1 n e发散； 1 1 , ； e e 2同样,当 x n 1 1

50、时, n11 n n en 1 发散,故其收敛域为 en 1 3）,这是一个隔项级数,直接用根式法争论收敛半径； 由于 lim nn2 | x | 1lim nn | x | , R1,显 n 2n2故,当 | x | 1 时,级数收敛,当 | x | 1 时,级数发散,因而,收敛半径 然, x1 和 x 1 时,级数都收敛,因而,收敛域为 1,1； 4）,由于极限不存在,用上极限公式运算收敛半径；由于 lim a n n n lim 3n 1 1 4 , 1 nnn 故,收敛半径 R 1 ； 4当 x 1 时,就 43 1 n n1n 2 n 1n 1, n 1 n 4 n 2k 1 n 4

51、 n 2k n由于右端两项前者收敛,后者发散,因而,左端级数发散； 同样,当 x 1 时,级数也发散,故幂级数的收敛域为 1 1 , ； 4 4 4 20,设 a n x n 的收敛半径为 R , b n x n 的收敛半径为 Q ,争论以下级数的收敛 n0 n0半径； 1）, a nn b x ； 2）, n a b n n x ； a nbn xn 确定收敛；当 n0n0Q ,就当 | x | R 时, 解,1）,当 RQ 时,不妨设 Rn 0 Q | x | R 时,由于 n 0 a nb x nnn 0 a nxn n 0 b nxn , 第 23 页,共 52 页n n n而 a n

52、 x 发散, b n x 收敛,故, a n b n x 发散； n 0 n 0 n 0 n当 Q | x | 时,利用幂级数收敛的性质, a n b x 必发散,否就,当 n 0 Q | x | R 时, a n b n x n 收敛,故, a n b n x n 的收敛半径为 min R, Q ； n 0 n 0 当 RQ a n b n x n 的收敛半径有可能严格大于 R,如取 a n b n 1, 时, n 0 n就 RQ1,而 a n b n x 0,其收敛半径为 ； n02）,由于 1 1 1 1 1lim | a b n n n |n lim n | a | n | b |n

53、lim | a n n |n lim | b n n |n , n故, a n b n x 的收敛半径 R RQ ； n 0 有例子说明,存在情形 R RQ ,如取 0, n 2k 1, n 2k an , bn , 1, n 2k 1 0, n 2k 1就 RQ1,而 R .； 21 设 an 的 收 敛 于 A , bn 的 收 敛 于 B , 如 果 Cauchy 乘 积 cn a0bn a1bn 1 anb0 收敛,就确定收敛于 AB ； 解：考虑如下三个幂级数 an x n, bn x n, cn x n 由条件： x 1 是其收敛点, 故由幂级数性质：在 | x | 1 内三个幂级

54、数都收敛,因而确定三个函数 f x n an x , gx n bn x , hx n an x ,| x | 1且 f x C 1,1 , g x C 1,1, h x C 1,1,又由确定收敛级数的 Cauchy 乘法定理,就 an x nbn x ncn x n, | x | 1 ,即 f x g x h x ,| x | 1 令 x 1 ,就由连续性： f 1g1 h1,即 cn an bn AB 第 24 页,共 52 页 例 5 , 设 n an x , 当 | x | r收 敛 , 就 当 an 1 xn 1收 敛 时 成 立 , nrf xdx an n 1 x 0n1证明：由

55、幂级数的逐项求导定理： x :| x | r, x f t dt x n ant dt x n ant dt an x nn 1 rn an 1 r n 1 000又记 g x an xn ,就 g x C r , r ,故 lim g x x r gr n1又 g x x f t dt , | x | r,因而 lim x r x f t dt 也存在且等于 f xdx 000故 rf x dx lim x r x f tdt lim g x x r gr 00 注：利用定积分的性质,不管 f r 取值如何,上述条件保证 rf xdx 存在； 0例 6,利用上题证明 1 ln1 t 0 t

56、dt 1 2 n解：由于 ln1 t t t 2 2t 3 3t 4 4t n n , | t | 1故 ln1t t 1 t t 2 3tn 1 , 0 | t | 12n0 x 1,就 如定义 ln1t t |t 0lim t 0 ln1t 1 ,就上式对 | t | 1成立,因 而： t x ln1t dt x n1n t 1dt n1n x 0t 0nn2又 x 1n 1 1收敛,故由定理 7,就 1 ln1 t 0 t dt n11n2n2时, 例 7 求 f x n 1 n sin2 x 的 Maclaurm 级数,并说明它的 Maclaurm 级数并不表示 n. 这个函数； 解：

57、由于 k , n k 2 n. 收敛； lim nk 2 0 ,由比值判别法, n k 2 收敛； 事实上,由于 lim nn 2 1 k 1. n. n n k 2 n 1 n. 第 25 页,共 52 页n k n n k n因而, 2 sin2 x , 2 cos2 x 都一样收敛 R 1 ,因而： n. n. 1f x 有任意阶导数,即 f C R 且 f k x sin2 x n k 2 sin2 x n k n k 2 n 1 n. n 1 n. n 2k 1 进而 f 2 k 0 0 , f 2 k 1 0 1 k 2 n. 因此, f x 在 x 0 点的 Maclaurm 级

58、数为： k 2 k 1 2 k 1 2 k 1f 0 k f 0 2 k 1 x k 2 n x x 1 k 0 k . k 0 2 k 1. k 0 2 k 1. n. 2k 1 2 k 1 n 2 k 1x k 2 x k 2 2 k 1 1 1 e k 0 2 k 1. n. k 0 2k 1. 2k 1下面证明此级数对 x 0 都发散,为此,考虑其确定级数 | x | e 2 2 k 1 ,就 k 0 2 k 1. 2k 3 2 2 k 3 lim k uk uk 1 lim k 2 k | x | 3. ee 2 2 k 1 2 k 1. | x | 2k 1 lim k 2 k |

59、 x | 22 k 23 e 2 2k 3 2 2 k 1 | x | 2 lim k 2 k e22 k 6 22 k 3 k （ lim e , 0 ） k k 2k 1故由比值判别法, | x | e 2 2 k 1 发散,故其通项不收敛于零,因而 k 0 2 k 1. x 2 k 1 1 k e 2 2k 1 也发散,即 Maclaurm 级数发散,因而不能表示 f x ； k 0 2 k 1. 例 8,证明（ 1） 4n x 中意 y4 y （2） n x 中意 xy y y 04 n. 2 n. n 0 解：（ 1） yx n 0 4 n x ,其收敛半径为 R,故其导级数为 4

60、n 1 x 在任 4 n. 4n 1. 第 26 页,共 52 页意区间 a, a 一一样收敛,因而 y x 4 n 1 x ,类似可证： y C a,a , 4 n 1. 4 且 y y , x , 因 而 y x n1n1 nx , （ 2 ） yx n0n x , 其 收 敛 半 径 为 R 2 n. 2 n. y x n 2 nn 1xn2n 1 x n x n. y 2 n. 因而 xy y n 2 n2 nn 1x n 1 n 1 nx n12 n 1n x 2 n. 2 n. 2 n. n 1 2 n 1. n0例 9,利用已知开放式求幂级数开放 x x （ 1） e e（2）