结构可靠度课件

1、结构可靠度徐龙军哈尔滨工业大学(威海)土木工程系结构可靠度的地位和作用力学知识和工程结构知识联系的纽带，是一门专业基础课。结构健康监测可靠度安全评定的理论基础结构工程质量检测可靠度安全评定的理论基础元件、产品、系统在一定时间内、在一定条件下无故障地执行指定功能的能力或可能性 所有承载结构，如航空航天器、建筑物、桥梁和海洋平台等都会由于地震、火灾、飓风等自然灾害或长期作用的疲劳、腐蚀等原因而产生不同程度的损伤。结构的健康监测是指利用现场的传感技术，通过包括结构响应在内的结构系统特性分析，达到检测结构损伤或劣化的目的；健康监测实现了最小人工干预的结构健康的在线实时连续监测、检查与损伤探测，根据结构

2、同一位置上不同时间的测量结果变化来识别结构的状态，其识别精度依赖于传感器和解释算法；基于此优势，健康监测有可能将目前广泛采用的离线、静态、被动的损伤检测转变为在线、动态、实时的监测与控制，从而导致工程结构安全监控、减灾防灾领域的一场革命。结构健康监测是近年迅速发展的一项应用技术，涉及结构的连续监测、检查以及损伤探测，最终目的是增加结构的可靠性和安全性，降低结构维修的成本。 结构检测是在主体结构质量验收前，相应分项工程监理（建设）、施工单位验收合格后，在设计、监理（建设）、施工单位共同参与见证下由检测机构对影响结构主体质量的主要项目进行的验证性现场检测。 结构检测的范围应为涉及结构安全的柱、墙、

3、梁等结构构件的重要部位。结构检测报告是主体结构质量评定和验收的主要依据。 结构可靠度第一章 绪论第二章 概率论基础与结构可靠度基本理论第三章 结构构件可靠度的计算方法第四章 结构体系可靠度第五章 结构荷载的随机模型第六章 结构构件抗力的随机模型第七章 结构的荷载抗力系数设计法推荐参考书欧进萍，段忠东. 结构可靠度荷载抗力系数设计法。校内讲义。李继华, 林忠民等. 建筑结构概率极限状态设计. 中国建筑工业出版社, 1990 赵国藩.工程结构可靠性理论与应用. 大连理工大学出版社,1996 李国强. 工程结构荷载与可靠度设计原理. 中国建筑工业出版社, 1999Andrzej S.Nowak Ke

4、vin R.Collins. Reliability of Structures 工程中的不确定性结构可靠度发展概况结构设计的目标和任务结构设计方法的演变第一章 概 述1. 1 工程中的不确定性客观不确定性 随机信息主观不确定性 模糊信息，不准确或不完整信息 如：材料的破坏、地震的机理等2. 不确定性信息可分为：3. 按照产生的原因，不确定性可归为：自然因素 荷载如风、地震、雪、冰荷载等；人为因素 制造、加工、施工误差等4. 本课程主要的研究土木工程中的随机性可以归为：物理性质的不确定性 荷载和抗力的内在随机性 如：风、地震、雪、冰荷载以及材料性能等1. 1 工程中的不确定性统计的不确定性 由

5、于样本容量有限带来的统计模型和统计参数的随机性计算模型的不确定性 各种假设、简化和模型化引起的随机性 结构的设计、施工和使用过程中存在大量的随机不确定性因素；5. 总 结1. 1 工程中的不确定性荷载及结构的抗力不是确定性的量，它们是随机变量，因此绝对可靠的结构设计是不存在的！由于结构的荷载和抗力存在随机不确定性，所以采用结构可靠度理论研究结构的可靠性问题。1.2 结构可靠度发展概况重庆大学：李继华教授，在结构可靠性数学方面；戴国欣在钢结构可靠度方面。武汉理工大学：李桂青教授，在结构动力可靠度、结构时变可靠度等方面。建设部标准定额研究所：邵卓民研究员，在建筑结构概率极限状态设计方面。浙江大学：

6、金伟良教授，在结构可靠度数值模拟、混凝土结构耐久性等方面；朱位秋院士在非线性随机结构动力学与可靠性方面。河海大学：吴世伟教授（已故），刘宁教授，在随机有限元、水工结构可靠度等方面。西安建筑科技大学：牛荻涛教授，在结构动力可靠度、混凝土结构耐久性方面。1.2 结构可靠度发展概况1. 结构构件可靠度一次二阶矩法 均值一次二阶矩法、改进的一次二阶矩法，JC法等。 高次高阶矩法 二次二阶矩法、二次四阶矩法。 响应面法 多项式响应面法、神经网络响应面法、支持向量机响应面法等。 蒙特卡罗法 常规随机抽样法、重要性随机抽样法，分层随机抽样法等。随机有限元法 Taylor展开随机有限元法、摄动随机有限元法、N

7、eumann随 机有限元法 等。1.2.3 结构可靠度计算方法发展概况1.2 结构可靠度发展概况2. 结构体系可靠度 失效模式法:失效模式分析（Failure Modes Analysis，FMA) 响应面法:响应面分析也是一种最优化方法，它是将体系的响应作为一个或多个因素的函数，运用图形技术将这种函数关系显示出来，以供我们凭借直觉的观察来选择试验设计中的最优化条件 蒙特卡罗法:蒙特卡洛(Monte Carlo)方法，或称计算机随机模拟方法，是一种基于“随机数”的计算方法。这一方法源于美国在第一次世界大战进研制原子弹的“曼哈顿计划”。 半解析法:1. 3 结构设计的目标和任务第一章 概 述1.

8、 4 结构设计方法的演变第一章 概 述1. 容许应力设计法 （WSD) 设计表达式： 其中， ， 是材料的弹性极限强度。 称为安全系数， 延性材料：1.41.6，脆性材料：2.53.0。1.4 结构设计方法的演变 在近代力学理论和试验方法建立之前，依靠模仿、比较、直觉的“设计”，直到17世纪；特点 所有不确定因素（包括荷载和抗力）用一个 系数考虑； 安全系数凭经验确定； 材料极限强度没有统一的准则。 不能考虑材料的塑性能力。1.4 结构设计方法的演变2. 破损阶段设计法 (DFD) 设计表达式： 其中， 为结构破损状态时的承载力 为设计标准荷载引起的内力(荷载效应) 为安全系数，约为2.0特点

9、 所有不确定因素（包括荷载和抗力）用一个 系数考虑； 安全系数凭经验确定； 考虑了材料的塑性。与容许应力设计法的不同： 抗力的计算：容许应力设计法采用弹性破坏准则，破损阶段设计法采用塑性破坏准则。 表达的物理意义：容许应力设计法是应力层次的结构设计，破损阶段设计法是内力层次的结构设计。 安全系数的物理意义：破损阶段设计法的安全考虑不仅包含容许应力设计法考虑的内容，还包括截面塑性发展。1.4 结构设计方法的演变1.4 结构设计方法的演变3. 多系数极限状态设计法 (MFLSD) 结构的极限状态的定义： 结构或构件能满足设计规定的某一功能要求的临界状况，超过这一状态结构或构件就不能满足设计的要求。

10、结构的极限状态分类： 承载能力极限状态:对应于结构或构件达到最大承载能力或不适于继续承载的变形 正常使用极限状态：对应于结构或构件达到正常使用或耐久性能的某项规定限制1.4 结构设计方法的演变 设计表达式： 其中， 和 为恒荷载效应和活荷载效应标准值 和 为恒荷载系数和活荷载系数 是抗力， 是抗力系数 是材料强度标准值， 是相应的分项系数。单一安全系数设计表达式： 为荷载系数， 为构件强度系数； 为考虑结构重要性的安全系数，一般取1.0。，称基本安全系数，取1.41(A3钢)或1.45(16Mn) 取1.40(受弯)或1.55(受压)。3. 多系数极限状态设计法 (MFLSD)1.4 结构设计

11、方法的演变 分不同极限状态进行设计：承载能力极限状态，正常使用极限状态，耐久性性极限状态 荷载标准值采用统计方法，对调查数据统计，并按一定保证率确定； 荷载和抗力系数按照确定的目标概率标定，因此，设计的结构具有明确的可靠概率。概率极限状态设计特点：采用多系数的表达形式1.4 结构设计方法的演变Level 1: 确定性设计表达式半经验半概率系数， (MFLSD)；Level 2: 近似概率设计方法 如：确定性设计表达式可靠度方法校准的系数，(LRFD)Level 3: 完全概率设计方法；Level 4: 以总造价（期望）为目标的优化方法。结构可靠度设计方法（规范）的概率水平 明确了按不同极限状态

12、进行设计：承载能力极限状态，正常使用极限状态；1.4 结构设计方法的演变 对不同荷载、影响抗力的不同因素采用不同系数； 部分荷载和材料强度的确定采用了统计的方法，对调查数据统计分析确定的。荷载和抗力抗力系数仍然是经验系数，对确定的极限状态没有明确的保证概率。特点：第二章 概率论基础与结构可靠度基本理论第 二 章 概率论基础与结构可靠度基本理论2.1 随机变量2.2 随机向量2.3 结构可靠度的定义2.4 结构的失效概率2.5 结构的可靠指标2.6 结构可靠指标与安全系数之间的关系2. 1 随机变量第二章 概率论基础与结构可靠度基本理论2.1.1 随机变量的定义 描述随机事件的变量,随机事件如:

13、抛硬币, 材料强度等; 随机变量分离散随机变量和连续随机变量。2.1.2 描述随机变量的基本函数1. 概率函数离散随机变量对随机变量进行描述的函数有:概率函数,概率分布函数和概率密度函数。离散随机变量 取一个特定值 （实数）的概率。2. 1 随机变量2. 概率分布函数离散随机变量和连续随机变量随机变量 小于特定值 （实数）的概率，即 小于 的概率函数的和。3. 概率密度函数连续随机变量2. 1 随机变量2.1.3 描述随机变量的基本参数1. 均值（期望)均值、方差（均方差），矩，变异系数等2. 方差,3. 矩原点矩：2. 1 随机变量中心矩：4 二阶原点矩和二阶中心矩的关系5 均方差(标准差)

14、6 变异系数2. 1 随机变量2.1.4 常用随机变量1. 均匀随机变量2. 1 随机变量主要用于随机抽样2. 正态随机变量PDF:CDF:一般正态随机变量：2. 1 随机变量主要用于描述恒荷载标准正态随机变量PDF:CDF:由标准正态随机变量可以得到任意正态随机变量，2. 1 随机变量3 对数正态随机变量如果 是正态随机变量,则 是对数正态随机变量, 2. 1 随机变量主要用于描述抗力 4 极值随机变量极值型随机变量用来描述极端事件。如： 为一年的风速序列，则 就可以用极值型随机变量了描述。CDF:PDF:仍是极值随机变量。，2. 1 随机变量主要用于描述活荷载5 泊松随机变量设 为时间0t

15、内事件发生的次数， 为事件的平均发生率，则时间0t内事件发生 的概率为平均事件间隔（平均重现期）：泊松随机变量描述地震、台风的发生。2. 1 随机变量泊松随机变量常用来描述某个时间段内随机事件的发生次数。假设：1）各个事件的发生是相互独立的；2）不能同时发生两次或两次以上的事件。第二章 概率论基础与结构可靠度基本理论2. 2 随机向量2.2.1 随机向量基本概念随机向量是一组随机变量的集合2. 随机向量的描述函数1.随机向量的定义联合概率分布函数联合概率函数联合概率密度函数2. 2 随机向量3. 随机变量的相关性和 的协方差函数表达变量之间的线性相关程度； 表示完全线性相关。边缘概率密度函数协

16、方差函数线性相关系数2. 2 随机向量协方差矩阵相关系数矩阵2. 2 随机向量 C和 均为对称矩阵; 如果变量间为两两不相关, 则协方差矩阵和相关系数矩阵的特点2. 2 随机向量2.2.2 随机变量函数的统计参数1. 随机变量的线性函数 令Y为随机变量 的线性函数:式中 是常系数。随机变量函数的均值和方差2. 2 随机向量如果随机变量相互独立时当 2. 2 随机向量2. 随机变量的非线性函数 令Y为随机变量 的非线性函数:随机变量函数的均值和方差2. 2 随机向量 对函数Y在均值点 泰勒级数展开，保留线性项：如果随机变量相互独立时当 2. 2 随机向量2.2.3 中心极限定理1. 中心极限定理

17、的内容 如果一个随机变量的随机性是由大量的相互独立的随机因素的影响，并且每一个因素都是微小的，则随机变量服从或近似服从正态分布。2. 2 随机向量2. 中心极限定理的数学描述3. 中心极限定理的应用 用于确定抗力随机变量的概率分布。 令Y是n个相互独立随机变量序列 的和，单个随机变量都不主要影响其和的大小，则当n趋向于无限大时随机变量Y 服从或近似服从正态分布，也即是：2. 3 结构可靠度的定义第二章 概率论基础与结构可靠度基本理论2.3 结构可靠度的定义 结构在规定的时间，在规定的条件，完成预定功能的能力。结构的可靠性，包括结构的安全性、适用性和耐久性。1. 规定时间2.3.1 结构的可靠性

18、设计使用年限- 设计规定的结构或结构构件不需进行大修即可按其预期目的使用的时期。- 即房屋结构在正常设计、正常施工、正常使用和正常 维护下所应达到的使用年限，如达不到这个年限则意 味着在设计、施工、使用与维修的某一环节上出现了 非正常情况，应查找原因。2.3 结构可靠度的定义 GB500682001规定：结构设计使用年限分类类别设计使用年限（年）示 例15临时性结构225易于替换的结构构件350普通房屋和构筑物4100纪念性建筑和特别重要的建筑结构 设计基准期问题：设计基准期是否等于设计使用期？ - 确定结构荷载大小规定的一个时间标准。 - 建筑结构的设计基准期一般为30、50年2.3 结构可

19、靠度的定义2. 规定条件正常设计正常施工正常使用不考虑人为错误3. 预定功能极限承载能力要求结构适用性要求在正常使用时具有良好的工作性能；结构整体承载能力要求遭受及其偶然的作用时，能保持必要的整体稳定性偶然作用如地震、龙卷风、爆炸（煤气或恐怖袭击）、火灾等结构的耐久性要求在正常维护下具有足够的耐久性。能承受正常施工和使用期间可能出现的各种作用。2.3 结构可靠度的定义 “极限状态”分类2.3.2 极限状态、极限状态方程 “极限状态”定义 结构的极限状态 结构失效的临界状态 整个结构或结构的一部分超过某一特定状态(达到极限承载力；失稳；变形、裂缝宽度超过某一规定限制等)就不能满足设计规定的某一功

20、能要求，此特定状态称为该功能的极限状态。 (1)承载能力极限状态 (2)正常使用极限状态2.3 结构可靠度的基本理论1. 结构承载力极限状态的定义2.3.3 结构的承载力极限状态结构或结构构件达到最大承载力或不适于继续承载的变形。 承载能力极限状态标志（1）整个结构或结构的一部分作为刚体失去平衡（2）结构构件或连接因超过材料强度而破坏(包括疲劳坏)， 或因过度变形而不适于继续承载（3）结构转变为机动机构（5）地基丧失承载力而破坏（4）结构或结构构件丧失稳定性2.3 结构可靠度的定义（1）影响正常使用或外观的变形2. 正常使用极限状态 结构或结构构件达到正常使用或耐久性的某项规定限值。 正常使用

21、极限状态标志（2）影响正常使用或耐久性的局部破坏(包括裂缝)（3）影响正常使用的振动（4）影响正常使用的其它特定状态（例：渗漏、腐蚀、 冻害等) 保证结构或构件的适用性、耐久性。2.3 结构可靠度的定义安全状态极限状态失效状态2.3.4 极限状态方程（功能函数）基本变量: 作用效应S、结构抗力R - 随机变量 结构的功能函数 结构的极限状态方程 SRZ=R-S= 0Z0可靠区 Z0 失效区01. 多变量情况极限状态方程与极限状态相对应对于某一极限状态，可以有不同的极限状态方程不同的极限状态对应不同的极限方程Z 为安全余量 极限状态方程的特点2.3 结构可靠度的定义2. 多变量情况一般情况下，结

22、构的随机变量：重力荷载、楼面活荷载、风荷载；材料强度、截面尺寸等。功能函数:这些变量构成一个向量极限状态方程:安全状态极限状态失效状态2.3 结构可靠度的定义2.3 结构可靠度的定义 2.3.5 结构可靠度1. 结构的可靠度定义功能函数： 是与结构可靠度计算有关的随机变量 Z 是随机变量，假定其概率密度函数为则结构的安全概率为 结构在规定的时间，在规定的条件，完成预定功能的概率结构的可靠度。则结构的失效概率为2.3 结构可靠度的定义结构可靠指标的定义：3. 结构可靠指标2. 安全概率 和失效概率 的关系:式中 为正态分布函数的反函数。第二章 概率论基础与结构可靠度基本理论2.4 结构的失效概率

23、2.4 结构的失效概率 2.4.1 两变量的失效概率1. 基本假定2. 概率积分方法(1) S 表示构件总的荷载效应，其PDF和CDF：,(2) R 表示构件的抗力，其PDF和CDF：,(3) R 和 S 是统计独立的，则有：失效域:失效域安全域 极限状态方程 功能函数2.4 结构的失效概率失效概率结构的失效概率与随机变量R和S的概率密度干涉面积密切相关，因此这种积分法又叫概率干涉法。干涉面积2.4 结构的失效概率首先对 s 积分, 在对 r 积分 首先对 r 积分, 在对 s 积分2.4 结构的失效概率3. 概率干涉法物理意义考虑荷载效应在微小空间 的出现概率构件抗力r比荷载效应s小的概率:

24、由于 R 和 S 是统计独立的，则上述两个事件同时同时出现概率概率干涉法的物理意义：荷载效应出现事件与构件抗力比荷载效应小事件的积。2.4 结构的失效概率注意失效概率与干涉面积有如下关系:失效概率与干涉面积密切相关，干涉面积越大失效概率越大，反之则失效概率越小。2.4 结构的失效概率假定荷载效应S( )和抗力R ( )都服从正态分布功能函数Z( )服从正态分布失效概率 为:令 , 则有 2.4 结构的失效概率 2.4 结构的失效概率例 2.1结构构件截面强度的功能函数为其中 R 表示结构构件的屈服极限， S 表示结构构件截面的应力，它们之间相互独立。R 服从正态分布，分布参数：S 服从指数分布

25、，分布参数：计算构件截面的失效概率。2.4 结构的失效概率 计算过程:令, 则2.4 结构的失效概率 带入 , , , 的数值，则可计算得到结构构件截面的失效概率为 :直接积分法计算过程非困难，在实际应用中难度非常大。2.4 结构的失效概率 2.4.2 多变量情况失效概率1. 功能函数为n维随机向量假定随机向量 的联合概率密度函数为2. 计算公式为结构的失效域2.4 结构的失效概率3. 计算方法概率干涉法精确的解析法:近似的解析法一次二阶矩法高次高阶矩法蒙特卡罗 法(MCS)超拉丁抽样方法重要抽样方法数值积分方法解析法随机模拟法均值一次二阶矩法JC法二次二阶矩法二次四阶矩法2.5 结构可靠指标

26、第二章 概率论基础与结构可靠度基本理论2.5 结构可靠指标 2.5.1 R 和S 为独立正态分布1. 功能函数2. 计算公式 由于 R 和S 是正态随机变量，所以Z 也是正态随机变量，则有是独立的正态随机变量2.5 结构可靠指标失效概率 为:令 , 则有2.5 结构可靠指标令 , 则有 。 为结构可靠指标.可靠指标越大，结构的失效概率越小，结构的保证率越大，也即结构的可靠性越高2.5 结构可靠指标3.4010-64.51.3510-33.06.6810-21.53.1710-54.06.2110-32.51.5910-11.02.8710-75.02.3310-43.52.2810-22.0可

27、靠指标 与失效概率 之间的关系 10-1 1.2810-2 2.3310-3 3.0910-4 3.7110-5 4.2610-6 4.7510-7 5.1910-8 5.6210-9 5.992.5 结构可靠指标 2.5.2 R和 S 为独立对数正态分布2. 可靠指标的计算过程1. 功能函数其中 是相互独立的对数正态分布随机变量2.5 结构可靠指标2.5 结构可靠指标例 2.2 解:计算该构件的可靠指标和失效概率。 假定结构构件的功能函数为 ，其中S 和R 是相互独立的正态随机变量，它们的概率特征参数如下：2.5 结构可靠指标 解:例 2.3计算该构件的可靠指标和实效概率。 假定结构构件的功

28、能函数为 ，其中S 和R 是相互独立的对数正态随机变量，它们的概率特征参数如下：2.5 结构可靠指标利用近似计算公式两种方法的计算误差:2.5 可靠指标的几何意义 2.5.3 可靠指标的几何意义1. 功能函数标准化随机变量 R 和 S ，也即是假定 是独立的正态随机变量，即2.5 可靠指标的几何意义失效域安全域2.5 可靠指标的几何意义 可靠指标是指在标准化空间中，坐标原点到极限状态方程表示的直线的最短距离。2.5 可靠指标的几何意义失效域安全域 2.5.4 设计验算点 定义：在标准化空间中，坐标原点到极限状态方程表示直线的垂足。2.5 可靠指标的几何意义2.6 可靠指标与安全系数的关系 第二

29、章 结构可靠度的基本理论2.6 可靠指标与安全系数的关系 2.6.1 安全系数 根据传统的结构设计原则，结构的安全系数定义为抗力均值与荷载效应均值的比值，也即是： 传统的设计表达式为传统设计原则的不足K 通过工程经验确定K 仅仅与荷载和抗力的均值有关，无法反应结构失效事件的概率，也即是没有概率意义。2.6 可靠指标与安全系数的关系 但是结构的失效概率 不仅与R 和 S 的均值有关，而且与其方差紧密联系。安全系数 K 反应的信息太少，描述事件不够精确。可靠指标 反应的信息多，描述事件更精确。均值 变异系数 2.6.2 K 和 之间的关系1. 功能函数2. K 和 之间的关系假定 是独立的正态随机

30、变量，即第三章 结构构件可靠度计算方法3.1 均值一次二阶矩法3.1.1 基本概念- 一次: 在应用非线性功能函数的泰勒级数进行可靠度计算分析时，保留随机变量的一次项和常数项。 - 均值一次二阶矩法又叫均值法或中心点法.- 二阶矩: 在进行结构可靠度计算时，仅应用随机变量的二阶矩。- 均值点或中心点:非线性功能函数的泰勒级数的均值展开点均值点 3.1.2 线性功能函数2. 功能函数的概率特征值3.1 均值一次二阶矩法1. 假定构件的功能函数为式中：是常系数； 是相互独立的随机变量，其相应的均值和标准差为 和 。可靠指标： 什么条件下，上述公式计算的失效概率是精确的？3.1 均值一次二阶矩法设计

31、验算点：根据概率论中心极限定理，当 n，Z 近似服从正态分布 3.1.2 非线性功能函数3.1 均值一次二阶矩法2. 功能函数泰勒级数展开将Z在各变量的均值点 处展开成泰勒级数，并取线性项1. 假定构件的功能函数为 是相互独立的随机变量，其相应的均值和标准差为 和 。 式中：3.1 均值一次二阶矩法3. 功能函数的概率特征值可靠指标： 3.1 均植的一次二阶矩法一般情况下，下式不成立 设计验算点： 一般情况下，均值一次二阶矩法计算的设计验算点不在极限状态方程表示的失效面上。 可靠指标越大，结构的失效概率越小，结构的保证概率越大，也即结构的安全性越高。3.1 均值一次二阶矩法例 3.1结构构件截

32、面强度的功能函数为其中 R 表示结构构件的屈服极限， S 表示结构构件截面的应力。R 服从正态分布，分别取下面三组分布参数：S 服从指数分布，分布参数：计算R取不同分布参数构件截面可靠指标、失效概率和验算点。（1）（2）（3）3.1 均值一次二阶矩法 计算过程:(1) 计算结构构件截面强度的功能函数的特征值(2) 计算结构构件截面强度的可靠指标3.1 均值一次二阶矩法(3) 计算结构构件截面强度的失效概率(4) 采用概率直接积分法计算结构构件截面强度的失效概率(5) 两种方法计算失效概率的误差3.1 均植的一次二阶矩法(6) 计算灵敏性系数（第一组参数）(7) 计算验算点（第一组参数）3.1

33、均植的一次二阶矩法(8) 演验算计算验算点是否在失效面上（第一组参数）(9) 总结 a、可靠指标越大，结构的失效概率越小，结构的保证概率越大，也即结构的安全性越高。0.9811.3731.7650.13810.09260.0620c、均值一次二阶矩法计算的设计验算点不在极限状态方程表示的失效面。 b、在随机不都服从正态分布时，采用均值法计算的可靠指标计算失效概率，其误差大，也即是 不成立。3.1 均值一次二阶矩法例 3.2假定钢梁承受确定性的弯矩M128.8kNm。钢梁截面的塑性抵抗矩W和材料屈服强度fy都是随机变量，且相互独立。已知fy的均值和变异系数分布为 MPa和 ；W的均值和变异系数分

34、布为 m3和 。试求构件抗弯可靠指标。 计算过程:(1) 建立功能函数 a、按截面塑性弯矩极限状态3.1 均值一次二阶矩法(2)对功能函数在均值点进行线性化b、材料屈服应力极限状态。（Nm）（Pa）(3)计算功能函数的均值和标准差均值：（Nm）（Pa）3.1 均值一次二阶矩法(4) 计算可靠指标标准差：（Nm）（Pa）(5) 总结同一功能要求的不同功能函数表达式，采用均值法计算结果差别达7.46%。 3.1.4 均值一次二阶矩法的特点1. 优点计算简单。不要求随机变量的概率分布。3.1 均值一次二阶矩法2. 缺点当随机变量不都服从正态分布时，其计算的失效概率是不准确的。在随机变量都服从正态分布

35、时，功能函数的非线性程度影响可靠指标计算精度，功能函数的非线性程度越高，可靠指标计算的精度越低，功能函数的非线性程度越低，可靠指标计算的精度越高， 同一极限状态方程的不同表达式可得到不同可靠指标的原因是线性化的功能函数代替真实的功能函数时，功能函数表达式不同，非线性程度不一样，线性化的功能函数拟合真实功能函数的精度不一样。 3.2.1 基本概念3.2 改进的一次二阶矩法（验算点）非正态随机变量的当量正态化改进均值一次二阶法的不足在极限状态曲面 寻找验算点 ，并在此基础上进行泰勒级数展开，应用随机变量的前二阶矩，采用非正态随机变量的当量正态化，迭代求解结构的失效概率的一种方法，该方法简称验算点法

36、，后被JCSS推荐使用，又称JC法。功能函数泰勒级数展开3.2 改进的一次二阶矩法（验算点）将Z在各变量的设计验算点 处展开成泰勒级数，并取线性项 3.2.2 可靠指标求解假定构件功能函数（非线性）1. 方法一 是相互独立的正态随机变量，相应的均值和标准差为 和 。 3.2 改进的一次二阶矩法（验算点）2. 方法二将随机变量标准化将X空间的相关量转换到标准正态U空间可靠指标计算随机变量由 X空间向 U 空间变换3.2 改进的一次二阶矩法（验算点）设计验算点由 X空间向 U 空间变换功能函数由X空间向 U 空间变换3.2 改进的一次二阶矩法（验算点）在U空间，将 在各变量的设计验算点 处展开成泰

37、勒级数，并取线性项在U空间的可靠指标在标准正态空间中，可靠指标 为坐标原点到失效面的最短距离。3.2 改进的一次二阶矩法（验算点）设计验算点超切平面失效面3.2 改进的一次二阶矩法（验算点）根据点到平面的距离公式可得U空间的可靠指标：3.2 改进的一次二阶矩法（验算点）U空间设计验算点：X空间的可靠指标：3.2 改进的一次二阶矩法（验算点）X空间设计验算点：3.2 改进的一次二阶矩法（验算点）可靠指标计算方法比较（功能函数非线性）验算点法：中心点法：3.2 改进的一次二阶矩法（验算点）按照等效正态化原则将非正态随机变量转化为当量正态化随机变量1.等效正态化原则(1) 在设计验算点 处, 等效正

38、态化随机变量的概率分布函数值与原非正态随机变量的概率分布函数值相等。(2) 在设计验算点 处, 等效正态化随机变量的概率密度函数值与原非正态随机变量的概率密度函数值相等。 3.2.3 非正态随机变量的当量正态化解决由于非正态随机变量导致的可靠指标与失效概率不一一对应的不足本页重点3.2 改进的一次二阶矩法（验算点）非正态随机变量 的PDF等效正态随机变量 的PDF3.2 改进的一次二阶矩法（验算点）2. 等效正态化计算公式 (1) (2)3.2 改进的一次二阶矩法（验算点）3. 对数正态随机变量等效正态化后的概率特征值 (3) (4)3.2 改进的一次二阶矩法（验算点） 3.2.3 验算点法的

39、计算过程根据等效正态化原则，在初始设计验算点处将非正态随机变量等效为正态随机变量。计算结构可靠指标 。计算敏感性系数 。重复步骤 3至6，直到可计算的可靠指标满足要求 。假定 n-1个随机变量的初始取值，一般取其均值，结合极限状态方程 确定初始设计验算点 。根据设计验算点的计算公式，计算设计验算点的 n-1个随机变量的取值，结合极限状态方程，确定新的设计验算点 。验算点法计算步骤：3.2 改进的一次二阶矩法（验算点）验算点法主要计算公式： (2) (3) (1)3.2 改进的一次二阶矩法（验算点）验算点法主要计算公式： (5) (4)3.2 改进的一次二阶矩法（验算点）验算点法计算流程开始否

40、假定 ，结合式（1）确定设计验算点 按式（4）计算敏感性系数 在 处按式（2）对非正态随机变量等效正态化 按式（3）计算可靠指标 按式（5)和式（1）计算验算点是输出结构 和 输入已知条件：随机变量的概率参数和分布类型，极限状态方程3.2 改进的一次二阶矩法（验算点)设计验算点失效面失效面3.2 改进的一次二阶矩法（验算点)例 3.4已知某钢悬臂梁受的均布恒荷载 和自由端受集中荷载 作用，如图所示，它们都是服从极值I分布的随机变量，其均值和变异系数为 ， 和 , ; 梁截面的塑性抵抗矩 和钢材的屈服强度 都是服从正态分布的随机变量，其均值和变异系数分别为 ， 和 ， ，试JC法求梁固定端处截面

41、的抗弯可靠指标。 2.4 结构的失效概率 计算过程:(2) 确定初始验算点处n-1随机变量的值，一般取其均值，也即是 ，则初始验算点处第n个随机变量的值为(1) 确定功能函数初始验算点2.4 结构的失效概率(2) 在验算点对非正态随机变量进行当量正态化，正态化之后它们的均值和标准差分别为2.4 结构的失效概率(4) 计算结构可靠指标(3) 计算灵敏性系数功能函数的均值功能函数标准差3.2 均植的一次二阶矩法(5) 计算设计验算点(6) 判断计算精度是否满足要求(22) 在验算点对随机变量进行当量正态化3.2 均植的一次二阶矩法(32) 计算灵敏性系数(42) 计算结构可靠指标(52) 计算设计

42、验算点(62) 判断计算精度是否满足要求3.2 均植的一次二阶矩法(23) 验算点对随机变量进行当量正态化(33) 计算灵敏性系数(43) 计算结构可靠指标(53) 计算设计验算点3.2 均植的一次二阶矩法(24) 验算点对随机变量进行当量正态化(44) 计算结构可靠指标(63) 判断计算精度是否满足要求(34) 计算灵敏性系数3.2 均植的一次二阶矩法(54) 计算设计验算点(64) 判断计算精度是否满足要求精确解：(0.9809)3.3 响应面法3.3.1 问题的提出钢构架l2l1b1h1b2h2F1F2没有明确功能函数表达式采用蒙特卡洛法结合有限元方法求解，需要成千上万次的模拟才能得到较

43、精确的结果，因此采用该方案时也需要成千上万次的有限元计算分析，这就导致工作量大，计算成本高，不经济。可靠度问题如何求解？3.3 响应面法-1989年，意大利的一位女学者Faravelli首次提出结构可靠度分析的响应面法，解决了没有明确功能函数的可靠度计算问题。- 基本思想就是选用一个适当的具有明确表达式的函数来近似代替一个不能明确表达的函数，对于可靠度分析来说，就是尽可能通过一系列确定性的试验即有限元数值计算结果来拟合一个响应面（明确表达式的函数）以代替未知的真实的极限状态曲面，在此基础上可应用一次二阶矩法进行可靠度计算。-给定一组结构性能参数，几何参数和荷载的取值，应用确定的有限元数值计算，

44、就可以得到结构的一个响应值，取n组结构性能参数，几何参数和荷载的取值，就能得到相应的n个响应值，根据这n个响应值拟合的函数表示的曲面就叫响应面，以该响应面代替未知的真实的极限状态曲面进行可靠度分析的方法就响应面方法。3.3 响应面法钢构架l2l1b1h1b2h2F1F2-1990年，Bucher提出内插技术，将该方法实用化。-响应面函数的选取和响应面函数系数的确定。3.3 响应面法3.3.2 响应面的设计响应面的设计实质也就是响应面函数形式的确定。响应面函数形式的确定应满足的两个要求：（1）响应面函数数学表达式在基本能够描述真实函数的前提下应可能的简单，以方便可靠度分析；（2）响应面函数中的待

45、定系数应尽可能的少，以便减少需要确定待定系数的结构有限元分析的工作量。 一般取不含交叉项二次多项式为响应函数： 为基本随机变量； ， ， 为响应面函数中的待定系数。3.3 响应面法-对于精度要求不高，通过经验判断真实的功能函数非线性程度不高时，响应面函数可选用一次多项式。-对于精度要求高，当真实的功能函数非线性程度很高时，不含交叉项的二次多项式作为响应面函数往往不能满足要求。-映射能力非常强的神经网络作为响应面函数。-映射能力非常强的支持向量机函数作为响应面函数。 3.3 响应面法3.3.3 待定系数的估算待定系数确定 响应面函数确定。基本随机变量的取值 响应面函数 结构有限元计算真实结构响应

46、的功能函数值最小二乘法确定待定系数计算结构的响应的功能函数值真实结构响应功能函数值与计算结构响应的功能函数值误差平方和最小？3.3 响应面法基本随机变量的取值将影响确定的响应面函数。如何合理的确定基本随机变量的取值来进行结构有限元计算，进而确定响应面函数也是很重要的问题。确定基本随机变量的取值利用了试验设计的思想：通过合理的试验设计，使有限的试验结果反应普遍的规律。因此应用试验设计的方法确定试验点（一组基本随机变量的取值），让这些试验点更多的代表随机变量在整个空间的信息。x1x2x1x23.3 响应面法试验设计的方法有：正交试验设计法、均匀试验设计法，中心复合设计法等等，试验点数应大于或等于待

47、定系数的个数。中心复合设计法确定响应面法的试验点确定中心点 ，一般取均值点。 根据确定中心点、水平系数 f 和随机变量的标准差 ，确定其余试验点 。 例：已知随机变量x1 和x 2的均值分别为12和8，标准差分别2 和1，水平系数 f 2，用中心复合法确定其试验点。中心点：12,8复合点：12+22, 8， 12-22, 8， 12, 8+21， 12, 8-21。x1x23.3 响应面法最小二乘法确定待定系数令设函数 中含有个k（k2n1）待定系数 （ ），则有解上述方程组，便可获得个k待定系数 （ ）。3.3 响应面法3.3.4 响应面法的计算步骤：(3)利用试验确定功能函数 以及 得到2

48、n1个点的估计值，其中系数f在第一轮估计中取2或3，在以后的 迭代计算中取1； (1)响应函数选取 (4) 采用优化法取得相应面函数中的待定系数，得到二次多项式近似的功能函数，从而确定结构的极限状态方程；(5) 利用验算点法（JC法）求解验算点 和可靠度指标 ；(2) 假定中心点 ，采用中心复合法确定其它试验点 ，总计2n+1个；3.3 响应面法(6) 判断收敛条件： 是否满足( 为收敛精度)，如果不满足，则用插值法确定新的中心点： (7) 然后重复步骤(2)（6）进行下一轮迭代，直至满足收敛条件。 此插值可使 较 更接近极限状态曲面。3.3 响应面法ZX1X1Z3.3 响应面法响应面函数选取

49、试验设计系数确定判断收敛条件结束是否可靠指标计算3.3.5 响应面法的计算过程3.3 响应面法响应面函数选取试验设计3.3 响应面法例 3.5已知某构件截面的功能函数为试采用响应面计算其可靠指标。 和 都服从正态分布，其分布参数分别：3.3 响应面法 计算过程:(1) 选取响应面函数(0.001,250)(0.0016,250)(0.00099,250)(0.001,362.5)(0.001,137.5)(3) 计算试验点对应的功能函数值13.676410.805316.547516.8919-10.2998(2) 确定试验点3.3 响应面法(4) 计算响应面函数中的待定系数(5) 根据响应面

50、功能函数采用JC法计算其可靠指标和验算点 a b1 b2 c1 c2-63.0123-0.47850.0000000000000253.0938-8.2017(6) 判断计算精度是否满足要求3.3 响应面法(22) 计算新的试验中心点和其余试验点(0.00106,143.7)(0.00126, 143.7)(0.00086, 143.7)(0.00106,181.2)(0.00106,106.2)(32) 计算试验点对应的功能函数值-8.2396-13.2793-3.20005.1441-47.6894(42) 计算响应面函数中的待定系数 a b1 b2 c1 c2-274.14-2.520.

51、000000000008336.8-92.73.3 响应面法(52) 根据响应面功能函数采用JC法计算其可靠指标和验算点(62) 判断计算精度是否满足要求(0.00122,170.3)(0.00142,170.3)(0.00102,170.3)(0.00122,207.8)(0.00122,132.8)试验点功能函数值0.0078-3.01983.03558.3039-20.4549待定系数 a b1 b2 c1 c2172.301.510.000000000008185.69-0.43263.3 响应面法(0.00122,170.4)(0.00142,170.4)(0.00102,170.4

52、)(0.00122,207.9)(0.00122,132.9)试验点功能函数值0.0015-3.02183.02488.2978-20.4526待定系数 a b1 b2 c1 c2172.341.510.000000000001185.64-0.43233.3 响应面法精确解：3.4 优化法第三章 结构构件可靠度计算方法3.4 优化法3.1.1 优化法的基本思想根据可靠指标的几何意义：结构可靠指标时在标准正态空间中坐标原点到失效面的最短距离，因此可把求解可靠指标的问题转化为一个有约束的优化问题。假定构件功能函数（非线性） 是相互独立的正态随机变量，其相应的均值和标准差为 和 。 将随机变量标准

53、化3.4 优化法结构可靠指标的求解问题可转化为下面的约束优化问题： s.t.采用不同的优化方法可以得到不同求解结构可靠指标的优化法。 用拉格朗日（Lagrange）乘子法求解该问题 拉格朗日函数：拉格朗日乘子。3.4 优化法由极值条件可知联立求解上述方程组可得 ，则可靠指标为3.5 蒙特卡洛法3.5.1 随机变量的抽样 -若r 是 0,1上的均匀随机数，则通过上式计算的x值是随机变量X 的一个抽样值。- 通过随机变量分布函数的反函数，结合0,1上的均匀随机数确定随机变量取值的一种方法称为反函数法。设X为服从连续分布的随机变量，其分布函数为 ，在给定 时，则相应于r 的x值为其中： 为 的反函数

54、3.5 蒙特卡洛法3.5.2 结构可靠度计算直接蒙特卡洛法结构可靠度计算直接蒙特卡洛法- 对功能函数中所以随机变量进行随机抽样，根据随机变量的抽样值进行结构功能函数值 的计算，根据结构可靠度基本理论可知当功能函数 时，结构可靠，当功能函数 时，结构处于极限状态，当功能函数 时，结构失效；若进行N次随机模拟抽样计算，功能函数小于零的次数为 ，则结构的失效概率 的估计值 为- 由波雷尔大数定律可以证明- 结构的失效概率 以概率1收敛于 。3.5 蒙特卡洛法3.5.3结构可靠度计算直接蒙特卡洛法的计算步骤2. 根据下面的计算公式确定进行随机模拟的总次数N。3. 采用随机变量的抽样法对所以随机变量进行

55、随机抽样 ，可得到各个随机变量的抽样值 1. 明确功能函数 功能函数中所有随机变量X1 ,X2 , XM的必要的概率信息。4. 根据所有随机变量每一次抽样的结果，计算功能函数的值 （ j1,N）。5. 计算在N抽样计算中功能函数 的总次数 。3.5 蒙特卡洛法6. 根据功能函数失效总次数 和模拟总次数 ，可以计算构件的失效概率：示性函数：3.5 蒙特卡洛法随机变量的随机抽样 功能函数的总失效次数计算失效概率的估计3.5.4 蒙特卡洛法的要点：3.5.5 蒙特卡洛法的主要用途验证可靠度计算方法的合理性。3.5.6 蒙特卡洛法的不足 获得的信息有限，只能得到失效概率或可靠指标，无法得到灵敏性系数，

56、验算点信息。3.5 蒙特卡洛法例 3.6已知某钢悬臂梁受的均布恒荷载 和自由端受集中荷载 作用，如图所示，它们都是服从极值I分布的随机变量，其均值和变异系数分别为 ， 和 , ; 梁截面的塑性抵抗矩 和钢材的屈服强度 都是服从正态分布的随机变量，其均值和变异系数分别为 ， 和 ， ，试蒙特卡洛法求梁固定端处截面的抗弯可靠指标。 3.5 蒙特卡洛法 解:(1) 确定功能函数(2) 随机模拟的总次数N。(3) 对随机变量进行随机抽样（反函数法）。unifrnd(0,1,1,N)3.5 蒙特卡洛法(4)根据所有随机变量每一次抽样值，计算功能函数值(6) 计算构件的失效概率：(5)计算在N抽样计算中功

57、能函数 的总次数 。第四章 结构体系可靠度第四章: 结构体系可靠度4.2 结构体系的失效模式4.3 结构体系的基本模型4.1 结构元件的模拟主要内容4.4 结构体系可靠度的计算4.1 结构元件的模拟第四章 结构体系可靠度4.1 结构元件的模拟结构元件的定义：组成结构体系的基本构件，（梁，柱，支撑等）结构的失效元件：结构构件（元件）发生失效的点。 因此一个结构元件有多个失效元件。失效元件的分类：根据结构元件失效的性质分类（与构件的材料性质和受力性质有关） 脆性元件 - 一旦失效立即完全丧失功能的元件。 延性元件 - 失效后仍能维持原有功能（能继续承载）且其变形继续 的元件。荷载变形变形荷载脆性元

58、件延性元件4.1 结构元件的模拟脆性元件和延性元件的表示符号：荷载变形脆性元件变形荷载延性元件4.2 结构体系的失效模式第四章 结构体系可靠度4.2 结构体系的失效模式失效模式：当整个结构体系失效形成结构时，形成机构的一组失效元件称为失效模式。完全失效路径：对于某一失效模式，按失效元件序号组成的失效顺序称为完全失效路径。不全失效路径：对于未形成失效模式的按失效元件序号组成的失效顺序称为不完全失效路径。失效路径：按失效元件序号组成的失效顺序称为失效路径。失效路径的长度：失效路径包含的元件数。1 基本概念4.2 结构体系的失效模式钢构架1523415431543212455132失效模式：1245

59、，1235，1345，234。完全失效路径： 1524，1532，1534，324。不全失效路径： 152，153，32等。失效路径：1524，1532，1534，324，152，153，32等。失效路径的长度：4，4，4，3，3，3，2。4.2 结构体系的失效模式2 结构体系的失效模式的影响因素 组成结构的方式（静定、超静定） 元件失效性质（脆性、延性） （1）静定结构的失效模式由单个失效元件组成。 （2）超静定结构的失效模式由多个失效元件组成。（1）由脆性元件组成的失效模式与失效元件的先后顺序有关。（2）由延性元件组成的失效模式与失效元件的先后顺序无 关，但与最后的失效时的所有失效元件有关

60、。4.2 结构体系的失效模式3 结构体系失效模式分类（按对结构体系失效概率贡献大小分）求解结构体系可靠度的问题可转换为结构体系主要失效模式的可靠度问题简化结构体系可靠度计算过程，提高计算效率。次要失效模式 对结构体系失效概率的贡献可忽略的失效模式主要失效模式 对结构体系失效概率的贡献不可忽略的失效模式4.3 结构体系的基本模型第四章 结构体系可靠度4.3 结构体系的基本模型 4.3.1 串联模型结构体系简化为三种基本模型：串联模型、并联模型和串-并联模型。SSPPP桁架杆件 所有静定结构的失效分析 串联模型定义：若结构中任一构件失效，则整个结构失效，具有这种逻辑关系的结构体系称为串联模型。4.