材料力学 应力状态分析

1、材料力学 应力状态分析1第1页，共87页，2022年，5月20日，21点56分，星期四8 应力状态分析8.1 应力状态的概念8.2 用解析法分析二向应力状态8.3 用图解法分析二向应力状态8.4 三向应力状态下的应力分析8.5 广义胡克定律8.6 三向应力状态下的比能2第2页，共87页，2022年，5月20日，21点56分，星期四低碳钢 塑性材料拉伸时为什么会出现滑移线？铸 铁8.1 应力状态的概念1.问题的提出3第3页，共87页，2022年，5月20日，21点56分，星期四脆性材料扭转时为什么沿45螺旋面断开？低碳钢铸 铁8.1 应力状态的概念4第4页，共87页，2022年，5月20日，21

2、点56分，星期四为了分析这些破环现象，为了建立组合变形构件的强度条件，我们必须分析通过危险点的斜截面上的应力情况，也就是说我们必须要研究一点处的应力状态。2.一点的应力状态通过构件内某一点的各个不同方位的截面上的应力的大小和方向，通常称为点的应力状态。8.1 应力状态的概念5第5页，共87页，2022年，5月20日，21点56分，星期四构件上同一点在各个不同方位的截面上，应力的大小和方向不尽相同应力是截面方位的函数。8.1 应力状态的概念6第6页，共87页，2022年，5月20日，21点56分，星期四3.一点应力状态的表示方法单元体法：围绕一点取微小的正六面体，这一无穷小的单元体就代表这个点。

3、当一个材料单元体的三个坐标平面上的应力都已知时，总可以用截面法求出任意方位截面上的应力，于是当单元体三个坐标平面的应力确定时，就称该单元体的应力状态已确定。8.1 应力状态的概念7第7页，共87页，2022年，5月20日，21点56分，星期四4.截取单元体的原则一般来说，三对平行面的应力是可求的或给定的；通常截取的一对平行平面是横截面。8.1 应力状态的概念横截面8第8页，共87页，2022年，5月20日，21点56分，星期四横截面8.1 应力状态的概念横截面材料单元体上相对坐标面上的应力大小相等，方向相反。材料单元体上任意方向面上应力均匀分布。9第9页，共87页，2022年，5月20日，21

4、点56分，星期四yxz 单元体上没有切应力的面称为主平面；主平面上的正应力称为主应力，分别用 表示，并且该单元体称为主应力单元。5.主平面、主应力8.1 应力状态的概念10第10页，共87页，2022年，5月20日，21点56分，星期四空间（三向）应力状态：三个主应力均不为零6.应力状态的分类8.1 应力状态的概念11第11页，共87页，2022年，5月20日，21点56分，星期四空间（三向）应力状态：三个主应力均不为零平面（二向）应力状态：一个主应力为零应力状态的分类8.1 应力状态的概念12第12页，共87页，2022年，5月20日，21点56分，星期四空间（三向）应力状态：三个主应力均不

5、为零平面（二向）应力状态：一个主应力为零单向应力状态：两个主应力为零应力状态的分类8.1 应力状态的概念13第13页，共87页，2022年，5月20日，21点56分，星期四例1 下图a所示钢轨的轨头受车轮的静荷作用时，其应力状态即为图b所示三向压应力状态。s1s1s3s3s2s2(b)(a)F8.1 应力状态的概念14第14页，共87页，2022年，5月20日，21点56分，星期四1.决定一点的应力状态有哪些因素？讨 论8.1 应力状态的概念2.研究一点应力状态的意义是什么？15第15页，共87页，2022年，5月20日，21点56分，星期四 8.2 解析法分析二向应力状态应力状态分析：已知材

6、料单元体的三对互相垂直的外表面上的应力，求任意方向面上的应力。 最一般的情况：九个应力分量，六个独立(切应力互等) 最常见的情况：有一对方向面上的应力为零，有一个主应力肯定为0，点处于平面应力状态。 yxz16第16页，共87页，2022年，5月20日，21点56分，星期四1.斜截面上的应力已知：x ，y ，x， y ；求：任意斜截面的应力（面 ） 8.2 解析法分析二向应力状态17第17页，共87页，2022年，5月20日，21点56分，星期四列平衡方程 8.2 解析法分析二向应力状态18第18页，共87页，2022年，5月20日，21点56分，星期四利用三角函数公式并注意到 化简得 8.2

7、 解析法分析二向应力状态19第19页，共87页，2022年，5月20日，21点56分，星期四2.正负号规则正应力：拉为正；反之为负切应力：使微元顺时针方向转动为正；反之为负。a角：由x 轴正向逆时针转到斜截面外法线时为正；反之为负。 8.2 解析法分析二向应力状态20第20页，共87页，2022年，5月20日，21点56分，星期四例2 如图所示单元体，求指定截面上的正应力和切应力。 8.2 解析法分析二向应力状态21第21页，共87页，2022年，5月20日，21点56分，星期四解：由题示条件知： 8.2 解析法分析二向应力状态22第22页，共87页，2022年，5月20日，21点56分，星期

8、四 8.2 解析法分析二向应力状态23第23页，共87页，2022年，5月20日，21点56分，星期四确定正应力极值设 时，上式值为零，即3. 正应力极值和方向 8.2 解析法分析二向应力状态即 时，切应力为零24第24页，共87页，2022年，5月20日，21点56分，星期四 由上式可以确定出两个相互垂直的平面，分别为最大正应力和最小正应力所在平面。 所以，最大和最小正应力分别为：主应力按代数值排序：1 2 3 8.2 解析法分析二向应力状态25第25页，共87页，2022年，5月20日，21点56分，星期四4. 切应力极值和方向采用同样的方法：从中解出 ，进而可得到 的极值。 8.2 解析

9、法分析二向应力状态26第26页，共87页，2022年，5月20日，21点56分，星期四根据切应力成对性，可解出两个相差p/2的极值平面，一个面上为极大值，另一个面上为极小值。 8.2 解析法分析二向应力状态27第27页，共87页，2022年，5月20日，21点56分，星期四5.过一点所有方向面中的最大切应力即：xy平面内最大切应力为：单元体内的最大切应力为： 8.2 解析法分析二向应力状态28第28页，共87页，2022年，5月20日，21点56分，星期四试求（1） 斜面上的应力； （2）主应力、主平面； （3）绘出主应力单元体。例3 一点处的平面应力状态如图所示。 已知 8.2 解析法分析二

10、向应力状态29第29页，共87页，2022年，5月20日，21点56分，星期四解：（1） 斜面上的应力 8.2 解析法分析二向应力状态30第30页，共87页，2022年，5月20日，21点56分，星期四（2）主应力、主平面 8.2 解析法分析二向应力状态31第31页，共87页，2022年，5月20日，21点56分，星期四主平面的方位：代入 表达式可知主应力 方向：主应力 方向： 8.2 解析法分析二向应力状态32第32页，共87页，2022年，5月20日，21点56分，星期四（3）主应力单元体： 8.2 解析法分析二向应力状态33第33页，共87页，2022年，5月20日，21点56分，星期四

11、1.最大正应力所在面上的切应力一定为零，最大切应力所在面上的正应力是否也一定为零？讨 论 8.2 解析法分析二向应力状态34第34页，共87页，2022年，5月20日，21点56分，星期四这个方程恰好表示一个圆，这个圆称为应力圆 8.3 图解法分析二向应力状态35第35页，共87页，2022年，5月20日，21点56分，星期四1. 应力圆 tsOC单元体斜截面上应力（，）和应力圆上点的坐标（，）一一对应，因此可通过确定应力圆上相应点的坐标来求斜截面上应力（，）。因为圆心一定在轴上，只要知道应力圆上的两点（即单元体两个面上的应力），即可确定应力圆。 8.3 图解法分析二向应力状态36第36页，共

12、87页，2022年，5月20日，21点56分，星期四2. 应力圆的画法D(sx ,tx)D/(sy ,ty)cRADxy 8.3 图解法分析二向应力状态37第37页，共87页，2022年，5月20日，21点56分，星期四已知x、y、x、y，如右图，假定xy。 在、 坐标系内按比例尺确定两点：dabcefatxtytxxnasxsxsysytyy(1）作图 8.3 图解法分析二向应力状态38第38页，共87页，2022年，5月20日，21点56分，星期四 以C为圆心，线段CD1或CD2为半径作圆，即为应 力圆。 连接D1、D2两点，线段D1D2与轴交于C点。CC 8.3 图解法分析二向应力状态3

13、9第39页，共87页，2022年，5月20日，21点56分，星期四(2）证明对下图所示应力圆可见C点的横坐标为： 从D1点按斜截面角的转向转动2得到E点，该点的坐标值即为斜截面上的应力分量值。C2sOtCs2FA1B1B2A2D1D2Etxtysysxs12a02a由于可得： 8.3 图解法分析二向应力状态40第40页，共87页，2022年，5月20日，21点56分，星期四因此，C点坐标为应力圆圆心坐标，并且 该线段长度等于应力圆半径。从而证明上述圆确为应力圆。则： 8.3 图解法分析二向应力状态sOtCs2FA1B1B2A2D1D2Etxtysysxs12a02a41第41页，共87页，20

14、22年，5月20日，21点56分，星期四另外，E点横坐标为： 即： 8.3 图解法分析二向应力状态sOtCs2FA1B1B2A2D1D2Etxtysysxs12a02a42第42页，共87页，2022年，5月20日，21点56分，星期四可见，E点坐标值即为斜截面上的应力分量值。同理可得E点的纵坐标为： 8.3 图解法分析二向应力状态sOtCs2FA1B1B2A2D1D2Etxtysysxs12a02a43第43页，共87页，2022年，5月20日，21点56分，星期四 由于应力圆上点的坐标与单元体面上的应力分量值一一对应，因此，按比例作图，可通过直接用尺子量出坐标值来求任意斜截面上的应力分量，

15、此即称为图解法。解：按一定比例画出应力圆。 例4 用图解法求图示 = 30斜截面上的应力值。因为图示应力状态有： 8.3 图解法分析二向应力状态x30tx=35.7MPasx=63.7MPayn44第44页，共87页，2022年，5月20日，21点56分，星期四 按一定比例，作出应力圆，并找到斜截面对应的点，量取其坐标可得： 则x、y截面在应力圆上两点为：EsDy(0, 35.7)Dx(63.7,-35.7)60-30(s-30， )20MPa 8.3 图解法分析二向应力状态45第45页，共87页，2022年，5月20日，21点56分，星期四点面对应应力圆上某一点的坐标值对应着微元某一截面上的

16、正应力和切应力3. 几种对应关系D(sx ,tx)D(sy ,ty)cxyHnH 8.3 图解法分析二向应力状态46第46页，共87页，2022年，5月20日，21点56分，星期四 两倍角对应单元体某方向转过某个角度到另一个方向面时，应力圆上对应点的半径转过该角度的两倍达到另一个方向面对应的点。D(sx ,tx)D(sy ,ty)cH 8.3 图解法分析二向应力状态xyHn47第47页，共87页，2022年，5月20日，21点56分，星期四4. 主应力与主平面对图a所示应力状态，作出应力圆（图b）。s1a0s1s2s2 主平面：剪应力 =0的平面；主应力：主平面上的正应力。可证明：并规定：可见

17、：tsODyDxCA2A12a0(b) 8.3 图解法分析二向应力状态txsy(a)48第48页，共87页，2022年，5月20日，21点56分，星期四具体值可在应力圆上量取，即：主平面位置：图a中1主平面的方位角0对应于应力圆（图b）上的圆心角20。 主应力值和主应力平面的计算： 由图b可见，A1、A2两点的横坐标为： 8.3 图解法分析二向应力状态tsODyDxCA2A12a0(b)49第49页，共87页，2022年，5月20日，21点56分，星期四由此可得两个主应力值为：因为1主平面方位角的两倍对应于应力圆上20，而 8.3 图解法分析二向应力状态50第50页，共87页，2022年，5月

18、20日，21点56分，星期四IV象限。注意：20的值与其所在的象限有关，而其所在象限与计算式中分子、分母的正负有关，即：I象限；II象限；III象限；所以，1主平面方位角0为： 8.3 图解法分析二向应力状态51第51页，共87页，2022年，5月20日，21点56分，星期四例 5 求图a所示应力状态的主应力及方向。 解：(1)应力圆图解法：因为：所以：按一定比例作出应力圆（图b）。ytx30MPa100MPa=40MPax(a)DxDyA3A120(b) 8.3 图解法分析二向应力状态52第52页，共87页，2022年，5月20日，21点56分，星期四s1sa0s1yx(c) 由应力圆通过直

19、接量取，并考虑主应力的大小关系可得：由此可得：主应力单元体以及主平面的方位如图c所示： 8.3 图解法分析二向应力状态53第53页，共87页，2022年，5月20日，21点56分，星期四(2)解析法 所以： 8.3 图解法分析二向应力状态54第54页，共87页，2022年，5月20日，21点56分，星期四 例6 图(a)示为一单元体。试求：(1) 主应力的值； (2)主应力作用面的位置；(3) max和min的值。 解：根据正、切应力的正负号规定，有 8.3 图解法分析二向应力状态55第55页，共87页，2022年，5月20日，21点56分，星期四(1)求max和min，确定主应力的值 8.3

20、 图解法分析二向应力状态56第56页，共87页，2022年，5月20日，21点56分，星期四(2)求主应力作用面的方位角 或 8.3 图解法分析二向应力状态57第57页，共87页，2022年，5月20日，21点56分，星期四(3)求主切应力 8.3 图解法分析二向应力状态58第58页，共87页，2022年，5月20日，21点56分，星期四1.试定性画出轴向拉伸、轴向压缩、扭转圆轴、一般受弯杆件危险点处的应力单元体及其对应的应力圆？讨 论 8.3 图解法分析二向应力状态59第59页，共87页，2022年，5月20日，21点56分，星期四1.定义三个主应力都不为零的应力状态 8.4 三向应力状态下

21、的应力分析60第60页，共87页，2022年，5月20日，21点56分，星期四考虑图a所示主单元体中斜截面上的应力。对与3平行的斜截面： 同理：和2平行的斜截面上应力与2无关，由1、3的应力圆确定；和1平行的斜截面上应力与1无关，由2、3的应力圆确定。cabs1s3s3(b)s2s1s2s1s3s3s2(a) 进一步研究表明，一般斜截面abc面上应力位于图c所示的阴影部分内。由图b可知，该面上应力、与3无关，由1、2的应力圆来确定。 8.4 三向应力状态下的应力分析61第61页，共87页，2022年，5月20日，21点56分，星期四 max作用面为与2平行，与1或3成45角的斜截面。所以，由1

22、、3构成的应力圆最大，max作用点位于该圆上，且有：因为：stOs3s2s1smaxBDAtmax(c)注意：max作用面上，0。 8.4 三向应力状态下的应力分析62第62页，共87页，2022年，5月20日，21点56分，星期四例7 用应力圆求图a所示应力状态的主应力、主平面，最大切应力max及作用面。解：由图示应力状态可知z=20MPa为一主应力，则与该应力平行的斜截面上的应力与其无关。可由图b所示的平面应力状态来确定另两个主应力。(a)20MPa20MPa40MPa20MPaxyz 8.4 三向应力状态下的应力分析63第63页，共87页，2022年，5月20日，21点56分，星期四 图

23、b所示平面应力状态对应的应力圆如图c。最后依据三个主应力值可绘出三个应力圆，如图d。tsOs3s1ACD2D1(c)tsOtmaxs3s2s1BACD2D12a0(d)由此可得： 8.4 三向应力状态下的应力分析64第64页，共87页，2022年，5月20日，21点56分，星期四 作用面与2平行而与1成45角，如图e所示。最大切应力对应于B点的纵坐标，即x(e)s3s2s1tmax4517 8.4 三向应力状态下的应力分析65第65页，共87页，2022年，5月20日，21点56分，星期四1.试举出单向应力状态、二向应力状态、三向应力状态的工程实例。讨 论 8.4 三向应力状态下的应力分析2.

24、一个二向应力状态与另一个二向应力状态叠加的结果是什么应力状态？66第66页，共87页，2022年，5月20日，21点56分，星期四1.基本变形时的胡克定律yx(1）轴向拉压胡克定律横向变形(2）纯剪切胡克定律 8.5 广义胡克定律67第67页，共87页，2022年，5月20日，21点56分，星期四2.三向应力状态的广义胡克定律叠加法 8.5 广义胡克定律68第68页，共87页，2022年，5月20日，21点56分，星期四 8.5 广义胡克定律69第69页，共87页，2022年，5月20日，21点56分，星期四3. 广义胡克定律的一般形式 8.5 广义胡克定律yxz70第70页，共87页，202

25、2年，5月20日，21点56分，星期四例8 截面为 20mm40mm的矩形截面拉杆受力如图所示。已知：E=200GPa，v=0.3，u=270106。求力F的大小。 8.5 广义胡克定律71第71页，共87页，2022年，5月20日，21点56分，星期四解：在A点取一单元体如图所示 对如图所示坐标系有 8.5 广义胡克定律72第72页，共87页，2022年，5月20日，21点56分，星期四 8.5 广义胡克定律73第73页，共87页，2022年，5月20日，21点56分，星期四 8.5 广义胡克定律74第74页，共87页，2022年，5月20日，21点56分，星期四讨 论 8.5 广义胡克定律

26、1.二向应力状态单元体 ， 已知主应变 ，材料泊松比为 ，其主应变 是否是 ？75第75页，共87页，2022年，5月20日，21点56分，星期四 8.6 三向应力状态下的比能 在线弹性范围和小变形条件下，应变能与加载顺序无关，只取决于外力(变形)的最终值。单位体积的应变能，称为应变能密度，即：1.单向应力状态76第76页，共87页，2022年，5月20日，21点56分，星期四2.三向应力状态 比例加载：图示主单元体中，各面上的应力按同一比例增加直至最终值。 此时，对每一主应力，其对应的应变能仅与对应的主应变有关，而与其它主应力在该主应变上不作功，同时考虑三个主应力，有： 8.6 三向应力状态下的比能77第77页，共87页，2022年，5月20日，21点56分，星期四由前述广义虎克定律有：则应变能密度为：而主单元体体积为： 8.6 三向应力状态下的比能78第78页，共87页，2022年，5月20日，21点56分，星期四3.形状改变比能一般情况，单元体有体积改变，也有形状改变。=+ 主单元体分解为图示两种单元体的叠加，有平均应力： 8.6 三向应力状态下的比能79第79页，共87页，2022年，5月20日，21点56