高考新题型探究：数学文化

1、高考新题型探究数学文化如何考查？考向一渗透中国传统文化【典例1】(2020全国卷) 北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所,分上、中、下三层.上层中心有一块圆形石板(称为天心石),环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环,向外每环依次增加9块,下一层的第一环比上一层的最后一环多9块,向外每环依次也增加9块,已知每层环数相同,且下层比中层多729块,则三层共有扇面形石板(不含天心石)()A.3 699块B.3 474块C. 3 402块D.3 339块试题情境以北京天坛的圜丘坛的石板数为背景考查等差数列.学科应用在中国传统文化的实际情境中从数学的视角发现问题,提出问题,分析问题,建立模型,计算求解,从而解

2、决问题.关键能力数学建模能力:运用提供的情境建立等差数列求和模型.逻辑思维能力:通过对北京天坛的圜丘坛的石板数的数据收集、整理、分析,考查学生推理的能力.运算求解能力:通过等差数列通项公式及前n项和的运算,考查数学运算的能力.C设每一层有n环,由题可知从内到外每环的扇面形石板数之间构成等差数列an,且公差d=9,首项a1=9,由等差数列的性质可知Sn,S2n-Sn,S3n-S2n成等差数列,且(S3n-S2n)-(S2n-Sn)=n2d，由题意得9n2=729,所以n=9,则三层共有扇面形石板为S3n=S27=27a1+ 9=3 402(块).考向二渗透外国文化【典例2】(2020全国卷)埃及

3、胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一,它的形状可视为一个正四棱锥,以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积,则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为 ()A. B. C. D. 试题情境以埃及胡夫金字塔为背景考查正四棱锥的有关概念及计算.学科应用本题从数学角度对胡夫金字塔的问题进行解读.关注正四棱锥的有关概念及计算,体现了数学文化在数学中的应用.关键能力数学运算能力:本题求解三角形底边上的高与底面正方形的边长的比,考查学生运算的能力.数学建模能力:运用提供的情境建立正四棱锥的几何模型.C如图,设CD=a,PE=b,则PO= 由题意PO2= ab,即 化简得 解得

4、(负值舍去).1.(数学名家)朱世杰是历史上最伟大的数学家之一,他所著的四元玉鉴卷中“如像招数”五问有如下问题:“今有官司差夫一千八百六十四人筑堤.只云初日差六十四人,次日转多七人,每人日支米三升,共支米四百三石九斗二升,问筑堤几日”.其大意为:“官府陆续派遣1 864人前往修筑堤坝,第一天派出64人,从第二天开始,每天派出的人数比前一天多7人,修筑堤坝的每人每天分发大米3升,共发出大米40 392升,问修筑堤坝多少天”.这个问题中,前5天应发大米()A.894升B.1 170升C.1 275米D.1 467米B因为第一天派出64人,从第二天开始,每天派出的人数比前一天多7人,所以第5天派出:

5、64+47=92人,所以前5天共派出S5= =390(人),所以前5天应发大米:3903=1 170(升).2.(九连环)九连环是中国杰出的益智游戏.九连环由九个相互连接的环组成,这九个环套在一个中空的长形柄中,九连环的玩法就是要将这九个环从柄上解下来,规则如下:如果要解下(或安上)第n环,则第(n-1)号环必须解下(或安上),n-1往前的都要解下(或安上)才能实现.记解下n连环所需的最少移动步数为an,已知a1=1,a2=2,an=an-1+2an-2+1(n3),则解六连环最少需要移动圆环步数为 ()A.42B.85C.256D.341A由题意可得:a3=a2+2a1+1=2+2+1=5,

6、a4=a3+2a2+1=5+4+1=10,a5=a4+2a3+1=10+10+1=21,a6=a5+2a4+1=21+20+1=42.3.(数学名著)程大位算法统宗里有诗云“九百九十六斤棉,赠分八子做盘缠.次第每人多十七,要将第八数来言.务要分明依次弟,孝和休惹外人传.”意为:996斤棉花,分别赠送给8个子女做旅费,从第一个开始,以后每人依次多17斤,直到第八个孩子为止.分配时一定要等级分明,使孝顺子女的美德外传,则第八个孩子分得斤数为 ()A.65B.184C.183D.176B由题意可得,8个孩子所得的棉花构成公差为17的等差数列,且前8项和为996,设首项为a1,结合等差数列前n项和公式

7、有:S8=8a1+ d=8a1+2817=996,解得:a1=65,则a8=a1+7d=65+717=184.即第八个孩子分得斤数为184.4.(牟合方盖)九章算术中,称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成的几何体为“牟合方盖”(如图).现提供一种计算“牟合方盖”体积的方法.显然,正方体的内切球同时也是“牟合方盖”的内切球.因此,用任意平行于水平面的平面去截“牟合方盖”,截面均为正方形,该平面截内切球得到的是上述正方形截面的内切圆.结合祖暅原理,两个同高的立方体,如在等高处的截面积相等,则体积相等;若正方体的棱长为2,则“牟合方盖”的体积为()A. B.2C. D. A依题意,任意水平面与

8、“牟合方盖”及其内切球相交的截面为正方形和一个正方形的内切圆,正方形和内切圆的面积比为4,由祖暅原理,“牟合方盖”的体积和内切球的体积比为4,又正方体的棱长为2,所以其内切球的半径为1,所以内切球体积为 ,故“牟合方盖”的体积为 .5.(中式园林)窗的运用是中式园林设计的重要组成部分,常常运用象征、隐喻、借景等手法,将民族文化与哲理融入其中,营造出广阔的审美意境.从窗的外形看,常见的有圆形、菱形、正六边形、正八边形等.如图,在平面直角坐标系xOy中,O为正八边形P1P2P8的中心,P1P8x轴,现用如下方法等可能地确定点M:点M满足2 =0(其中1i,j8,且i,jN*,ij),则点M(异于点

9、O)落在坐标轴上的概率为()A. B. C. D. D因为确定一个 需从8个向量 (1i8)中任取两个有 =28种取法,用列举法得使点M(异于点O)落在坐标轴上的取法与 结合的有 , 两个,由于每个向量都对应两个,但重复一次,所以共有 =8种,则点M落在坐标轴上的概率为 = .6.(龙门石窟)河南洛阳的龙门石窟是中国石刻艺术宝库之一,现为世界文化遗产,龙门石窟与莫高窟、云冈石窟、麦积山石窟并称中国四大石窟.现有一石窟的某处“浮雕像”共7层,每上层的数量是下层的2倍,总共有1016个“浮雕像”,这些“浮雕像”构成一幅优美的图案,若从最下层往上“浮雕像”的数量构成一个数列an,则log2 的值为(

10、)A.8B.10C.12D.16C因为最下层的“浮雕像”的数量为a1,依题有:公比q=2,n=7,S7= =1 016,解得a1=8,则an=82n-1=2n+2 ,所以a3=25,a5=27,从而a3a5=2527=212,所以log2 =log2 =12.7.(二十四节气)中国农历的“二十四节气”是凝结着中华民族的智慧与传统文化的结晶,“二十四节气”歌是以“春、夏、秋、冬”开始的四句诗,2016年11月30日,“二十四节气”正式被联合国教科文组织列入人类非物质文化遗产,也被誉为“中国的第五大发明”.某小学三年级共有学生500名,随机抽查100名学生并提问“二十四节气”歌,只能说出两句的有4

11、5人,能说出三句及其以上的有32人,据此估计该校三年级的500名学生中,对“二十四节气”歌只能说出一句或一句也说不出的大约有()A.69人84人C.108人D.115人D由题意,100人中只能说出一句或一句也说不出的同学有100-45-32=23人,故只能说出一句或一句也说不出的学生占的比例为 ,故只能说出一句或一句也说不出的学生共有500 =115人.8.(中古玉器)玉琮是中国古代玉器中重要的礼器,神人纹玉琮王是新石器时代良渚文化的典型玉器,1986年出土于浙江省余杭市反山文化遗址.玉琮王通高8.8 cm,孔径4.9 cm,外径17.6 cm.琮体四面各琢刻一完整的兽面神人图.兽面的两侧各浅

12、浮雕鸟纹.器形呈扁矮的方柱体,内圆外方,上下端为圆面的射,中心有一上下垂直相透的圆孔.试估计该神人纹玉琮王的体积约为(单位:cm3)()A.6 250B.3 050C.2 850D.2 350D由题可知,该神人纹玉琮王可看成是一个底面边长为17.6 cm,高为8.8 cm的正四棱柱中挖去一个底面直径为4.9 cm,高为8.8 cm的圆柱,此时求得体积记为V1,V1= 8.8- 8.82560(cm3),记该神人纹玉琮王的实际体积为V,则V 8.8- 8.81 975(cm3),故1 975V2 560.9.(良渚古城遗址)中国良渚古城遗址获准列入世界遗产名录,标志着中华五千年文明史得到国际社会

13、认可.良渚古城遗址是人类早期城市文明的范例,证实了中华五千年文明史.考古科学家在测定遗址年龄的过程中利用了“放射性物质因衰变而减少”这一规律.已知样本中碳14的质量N随时间t(单位:年)的衰变规律满足N=N0 (N0表示碳14原有的质量),则经过5 730年后,碳14的质量变为原来的_;经过测定,良渚古城遗址文物样本中碳14的质量是原来的 至 ,据此推测良渚古城存在的时期距今约在_年到5 730年之间.(参考数据:log231.6,log252.3)【解析】因为文物样本中碳14的质量N与时间t之间的函数关系式为:N=N0 ;t=5 730时,N=N02-1= ;所以每经过5 730年衰减为原来的 ;由于良渚古城遗址文物样本中碳14的质量是原来的 至 ,所以 ;两边同时取以2为底的对数,得:-1- (log23-log25)=-0.7.所以4 011t5 730;故推测良渚古城存在的时期距今约在4 011年到5 730年之间.答案: 4 01110.(进位制)国际数学教育大会(ICME)是世界数学教育规模