排列组合与概率论初步

1、第六章 排列组合与概率论初步第六章 排列组合与概率论初步内容:6.1排列组合6.2随机实验、样本空间和随机事件6.3事件的概率6.4条件概率6.5独立性6.6贝努力(Bernoulli)实验模型返回上一页下一页退出6.1排列组合加法原理 如果完成一件事情有n类办法，在第一类办法中有m1种方法，第二类办法中有m2种方法，第n类办法中有mn种方法，那么完成这件事总共有m1m2mn 种不同的方法 1.两个基本原理返回上一页下一页习题6.1排列组合例6.1.1 从甲地到乙地,可以乘火车,也可以乘汽车,还可以乘轮船.一天中,火车有4班,汽车有2班,轮船有3班.那么一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多

2、少种不同方法?解:从甲地到乙地有3类方法:第一类,乘火车,有4种方法;第二类,乘汽车,有2种方法;第三类,乘轮船,有3种方法.所以,共有4+2+3=9种方法.1.两个基本原理返回上一页下一页习题6.1排列组合乘法原理 如果完成一件事情有n个步骤，在第一个步骤中有m1种方法，第二个步骤中有m2种方法，在第n个步骤中有mn种方法，那么完成这件事总共有m1m2mn 种不同的方法 1.两个基本原理返回上一页下一页习题6.1排列组合例6.1.2 甲乙两个盒子分别装有10只小球和8只小球,小球的颜色互不相同,求:(1)从甲乙两个盒子中任取一个小球,有多少种不同的取法?(2)从甲乙两个盒子中各取一个小球,有

3、多少种不同的取法?1.两个基本原理返回上一页下一页习题6.1排列组合解:(1)从甲乙两个盒子中任取一个小球,有两类方法:第一类是从甲盒中任取一个,有10种方法;第二类是从乙盒中任取一个,有8种方法.根据加法原理,取法共有:10+8=18(种).(2)从甲乙两个盒子中各取一个小球,可以分两步完成:第一步,从甲盒中任取一个,有10种取法;第二步,从乙盒中任取一个,有8种取法.根据乘法原理,取法种数有:108=80(种).1.两个基本原理返回上一页下一页习题6.1排列组合排列定义6.1.1从n个不同的元素中，任取m (mn)个不同的元素，按照一定的顺序排成一列，称为从n个不同的元素中取出m个元素的一

4、个排列 排列数定义6.1.2 从n个不同的元素中取出m (mn)个元素的所有不同的排列个数称为排列数记作 .2.排列返回上一页下一页习题6.1排列组合排列数公式特别地,从n个不同元素中任取n个元素的排列称为全排列.2.排列返回上一页下一页习题6.1排列组合那么有2.排列返回上一页下一页习题6.1排列组合例6.1.3 解方程2.排列解: 由已知得返回上一页下一页习题6.1排列组合2.排列解:由题可得:返回上一页下一页习题6.1排列组合例6.1.4 证明2.排列证明:返回上一页下一页习题6.1排列组合2.排列证明:返回上一页下一页习题6.1排列组合2.排列证明:由(1)的结论得返回上一页下一页习题

5、6.1排列组合例6.1.5用五面不同颜色的旗，按不同的次序挂在旗杆上表示信号，可以单用一面、二面或三面,一共可以得到几种不同的信号?解:用一面旗作信号有 种，用二面旗作信号有 种，用三面旗作信号有 种.于是所求信号总数是 2.排列返回上一页下一页习题6.1排列组合例6.1.6 用0,1,2,3,4,5,6组成满足下列条件的数各有多少?(1)无重复数字的四位数;(2)无重复数字的四位数偶数;(3)无重复数字的四位数且能被5整除;(4)个位数字大于十位数字的四位数.解(1)无重复数字的四位数,0不能作首位,所以首位选法有 种,其它三位可以从剩下的62.排列返回上一页下一页习题6.1排列组合个数中任

6、选,有 种.所以,总共有 种.(2)当首位为奇数时,有 种,末位有 种,所以,组成的四位偶数有 种;当首位为偶数时首位不为0,有 种,末位在其它三个偶数中选,有 种,所以,组成的四位偶数有种.因此,可选个数为(3)无重复数字的四位数且能被5整除,0不能作首位,末位只能从0,5中选.当首位为5时,末位2.排列返回上一页下一页习题6.1排列组合只能为0,所以,有 种;当首位不为5时,选法为 种.因此共有种. (4)首位不为0,有 种,末两位数字从余下的数中选,对于选出的数个位大于十位的几率相等,所以末两位的选法有 种.因此,共有 2.排列返回上一页下一页习题6.1排列组合例6.1.7 4名女生和3

7、名男生站成一排,求(1)甲站在中间的不同排法有多少种?(2)甲乙二人不能站在两端的排法有多少种?(3)男生不相邻的排法有多少种?解(1)甲的位置确定,排法有 种 (2)甲乙可以排在中间5个不同的位置,其余的人排在剩下的位置,排法共有 种2.排列返回上一页下一页习题6.1排列组合(3)先排女生,有 种,然后在4名女生的三个间隔及两端共5个位置排男生,有 种排法.所以,共有 种.2.排列返回上一页下一页习题6.1排列组合组合定义6.1.3从n个不同的元素中,任取m(mn)个不同的元素,不管顺序并成一组,称为从n个不同元素中取出m个元素的一个组合 .组合数定义6.1.4从n个不同元素中取出m个元素的

8、所有不同的组合种数,称为组合数,记作 3.组合返回上一页下一页习题6.1排列组合组合数公式3.组合返回上一页下一页习题6.1排列组合组合数的性质性质1性质23.组合例6.1.8 计算解:返回上一页下一页习题6.1排列组合3.组合返回上一页下一页习题6.1排列组合例6.1.9 证明证明:3.组合返回上一页下一页习题6.1排列组合例6.1.10 在产品检验时,常从产品中抽出一部分进行检查.现在从50件产品中任意抽出3件:一共有多少种不同的抽法?(2) 如果50件产品中有2件次品,抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种?(3) 如果50件产品中有2件次品,抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少

9、种? 3.组合返回上一页下一页习题6.1排列组合解:(1) 所求的不同抽法的种数,就是从50件产品中取出3件的组合数即一共有19600种抽法.(2)从2件次品中抽出1件的抽法有 种,从48件合格品中抽出2件的抽法有 种,因此抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法种数是 3.组合返回上一页下一页习题6.1排列组合(3)从50件产品抽出的3件中至少有1件是次品的抽法,就是包括1件是次品的和2件是次品的抽法.而1件是次品的抽法有 种,2件是次品的抽法有 种,因此,至少有1件是次品的抽法的种数为 3.组合返回上一页下一页习题6.1排列组合例6.1.11由13个人组成的课外活动小组,其中5个只会跳舞,5个只

10、会唱歌,3个人既会唱歌又会跳舞,若从中选出4个会跳舞和4个会唱歌的人去表演节目,共有多少种不同的选法?解:此题从既会唱歌又会跳舞的3人进行分类.第一类:若3人都不参加,共有 种;第二类:若3人都跳舞或都唱歌,共有 种3.组合返回上一页下一页习题6.1排列组合第三类:若3人中有2人跳舞或都唱歌,共有种第四类:若3人中有1人跳舞或都唱歌,共有种第五类:若3人中有2人跳舞第3人唱歌或有2人唱歌第3人跳舞,共有 种3.组合返回上一页下一页习题6.1排列组合第六类:若3人中有1人跳舞1人唱歌,共有种由分类计数原理得不同选法有:所以,共有1875种不同选法.3.组合返回上一页下一页习题6.1排列组合例6.

11、1.12 从4个男同学和5个女同学里选出2个男同学和2个女同学分别担任班长、团支书、学习委员、组织委员,一共有多少种不同的选法? 解:从4个男同学中选出2个男同学的方法有 种;从5个女同学中选出2个女同学的方法有 种;对所选出的4个同学进行分工的方法有 种3.组合返回上一页下一页习题6.1排列组合因此不同的选法一共有例6.1.13有6本不同的书：分成3堆,一堆3本,一堆2本,一堆1本,有多少种分法?(2) 等分成3堆,有多少种分法?(3)把(2)中的两堆书再分给甲乙丙3人,有多少种分发?3.组合返回上一页下一页习题6.1排列组合解:(1) 从6本书中取3本书有 种方法,从剩下的3本书中取2本的

12、方法是 种,最后,从1 本中取1本的分发有 .即所求分法是(2)等分3堆,每堆2本,先取2本,再取2本,最后取2本的分发有 ;由于等分,不分顺序,所以有 种重复.所以分发有 3.组合返回上一页下一页习题6.1排列组合(3)把(2)中的3堆书分给甲乙丙3人,有 种分发.所以,分发有3.组合返回上一页下一页习题6.2 随机实验、样本空间和随机事件概率论中讨论具有如下特点的试验:(1)在相同条件下可重复进行;(2)每次试验的可能结果不止一个,并且能事先明确试验的所有结果;(3)进行一次试验之前不能确定会出现哪一个结果.具有上述3个特点的试验称之为随机试验,常用E表示.1.随机实验返回上一页下一页习题

13、6.2 随机实验、样本空间和随机事件抛一枚硬币,观察正面H,反面T出现的情况.将一枚硬币抛3次,观察正面H,反面T出现的情况.将一枚硬币抛3次,观察出现正面的次数.抛一颗骰子,观察出现的点数.记录某寻呼台一昼夜接到的寻呼次数.从一批电脑中,任取一台观察无故障运行时间.1.随机实验返回上一页下一页习题6.2 随机实验、样本空间和随机事件我们把随机试验E的所有可能结果组成的集合称为E的样本空间,记为 , 中的元素即E的每个结果.称为样本点,记为例6.2.1给出6.2.1中的随机试验 的样本空间.解: 2.样本空间返回上一页下一页习题6.2 随机实验、样本空间和随机事件2.样本空间注意:样本空间的元

14、素有试验的目的所决定.返回上一页下一页习题6.2 随机实验、样本空间和随机事件我们称试验E的样本空间 的子集为E的随机事件,简称事件.一般用大写字母A,B,C等表示.随机事件的两个极端:(1)必然事件:每次试验中它总是发生.(2)不可能事件:每次试验中它总不发生.3.随机事件返回上一页下一页习题6.2 随机实验、样本空间和随机事件事件是一集合,因此,事件间的关系与运算可以按集合之间的关系与运算来处理.事件间的关系4. 事件间的关系与运算返回上一页下一页习题6.2 随机实验、样本空间和随机事件4. 事件间的关系与运算(2)事件的和返回上一页下一页习题6.2 随机实验、样本空间和随机事件(3)事件

15、的积4. 事件间的关系与运算返回上一页下一页习题6.2 随机实验、样本空间和随机事件(4)事件的差(5)互不相容事件(6)对立事件4. 事件间的关系与运算返回上一页下一页习题6.2 随机实验、样本空间和随机事件4. 事件间的关系与运算事件的运算设A,B,C为事件,则有:返回上一页下一页习题6.2 随机实验、样本空间和随机事件4. 事件间的关系与运算返回上一页下一页习题6.2 随机实验、样本空间和随机事件例6.2.24. 事件间的关系与运算返回上一页下一页习题6.2 随机实验、样本空间和随机事件例6.2.34. 事件间的关系与运算解:返回上一页下一页习题6.3 事件的概率定义6.3.1 1. 频

16、率的定义返回上一页下一页习题6.3 事件的概率定义6.3.2 我们把事件A的频率的稳定值定义为A的概率,记为P(A),这一定义称为概率的统计定义.性质:2. 概率的定义返回上一页下一页习题6.3 事件的概率等可能概型(古典概型)一类随机试验的特点:(1)试验的样本空间中只有有限个元素.(2)试验中每个基本事件发生的可能性相同.这类随机试验我们称为等可能概型古典也称概型定义6.3.32. 概率的定义返回上一页下一页习题6.3 事件的概率例6.3.12. 概率的定义解:返回上一页下一页习题6.3 事件的概率例6.3.2 在100件产品中,有65件合格品,5件次品,从中任取2件,计算:(1)2件都是

17、合格品的概率;(2)2件都是次品的概率;(3)1件是合格品1件是次品的概率.解:2. 概率的定义返回上一页下一页习题6.3 事件的概率2. 概率的定义返回上一页下一页习题6.3 事件的概率例6.3.3 一只袋中装有8只球,其中5只白球,3只红球,从袋中取球,每次随机的取一只.考虑两种取球方式(1)一次取一只球,观察其颜色后放回,搅匀后再取一球,这种取球方式叫放回抽样.(2)一次取一只球不放回袋中,下一次从剩余的球中再取一球.这种取球方式叫不放回抽样.分别考虑上面两种情况求:(1)取到的三只球都是白球的概率.(2)取到的三只球有两白球一红球的概率.2. 概率的定义返回上一页下一页习题6.3 事件

18、的概率解:令A,B分别表示事件“取到的三只球都是白球”，“取到的三只球有两白球一红球”.(1)放回抽样的情况:在袋中取3球,每次都有8只球可抽取.共有种取法,即样本空间中样本点总数有 .A中样本点的个数有 ,B中样本点的个数为2. 概率的定义返回上一页下一页习题6.3 事件的概率(2)不放回抽样样本空间中样本点总数 ,A中样本点个数为 ,B中样本点个数为2. 概率的定义返回上一页下一页习题6.3 事件的概率例6.3.4 设有N件产品,其中有D件次品,现从中任取n件,问其中恰有 件次品的概率是多少?解:令A为“从N件产品中取k件次品”,从N件产品中取n件,样本空间中样本点总数为 ,A中样本点个数

19、为 ,于是2. 概率的定义返回上一页下一页习题6.3 事件的概率例6.3.5解:2. 概率的定义返回上一页下一页习题6.3 事件的概率2. 概率的定义返回上一页下一页习题6.3 事件的概率例6.3.6 从0,1,2,9十个数字中任取3个不同数字,求3个数字中不含0或5的概率.解:2. 概率的定义返回上一页下一页习题6.3 事件的概率对立事件的概率如果两个互不相容事件A,B中必有一个发生,且只有一个发生,则称A与B互为对立事件.有以下等式成立:例6/3/7 在30件产品中,有15件一级品,15件二级品.从中任取3件,其中至少有1件为二级品的概率是多少?2. 概率的定义返回上一页下一页习题6.3

20、事件的概率解:2. 概率的定义返回上一页下一页习题6.4 条件概率在“已知事件B发生”的条件下,事件A发生的概率.记为P(A|B).例6.4.1 将一枚硬币抛两次,设事件A为“两次出现同一面”,事件B为“至少有一次为反面T”,求已知事件B发生的条件下事件A发生的概率.解:1. 条件概率的定义返回上一页下一页习题6.4 条件概率定义6.4.1例6.4.2 一盒中混有100只新旧乒乓球,各有红白两色,分类如下表示,随机抽取一只,取得的若是红球,求该球为新球的概率?1. 条件概率的定义红白新4030旧2010返回上一页下一页习题6.4 条件概率解:设事件A为“从盒中随机取到一只新球”,B为“从盒中随

21、机取到一只红球”例6.4.3 甲乙两市位于长江下游,根据100多年的记录知,一年中雨天的比例,甲市为20%,乙市为18%,两市同时下雨为12%.求1. 条件概率的定义返回上一页下一页习题6.4 条件概率(1)乙市下雨时甲市也下雨的概率;(2)甲乙两市至少一市下雨的概率.解:分别用A,B表示事件“甲市下雨”和“乙市下雨”,由题可得1. 条件概率的定义返回上一页下一页习题6.4 条件概率概率的乘法公式:推广:2. 乘法公式返回上一页下一页习题6.4 条件概率例6.4.4 n张彩票中有一张中奖票,(1)已知前面k-1个人没摸到中奖票,求第k个人摸到的概率;(2)求第k个人摸到的概率.解(1)是在条件

22、“前面k-1个人没摸到”下的条件概率,(2)是无条件概率,设2. 乘法公式返回上一页下一页习题6.4 条件概率2. 乘法公式返回上一页下一页习题6.5 独立性定义6.5.1 设A,B是两事件,如果满足等式则称事件A,B相互独立.定理6.5.1 设A,B是两事件,且P(B)0.若A,B相互独立,则P(A|B)=P(A),反之亦然.定理6.5.2 若事件A,B相互独立,则下列事件也相互独立:返回上一页下一页习题6.5 独立性证明:只证明第一个.返回上一页下一页习题6.5 独立性推广:返回上一页下一页习题6.5 独立性例6.5.1 同时抛两个均匀的正四面体一次,每一个四面体的面分别标有1,2,3,4

23、.令A为事件“第一个四面体出现偶数”,B为事件“第二个四面体出现奇数”,C为事件“两个四面体同时出现偶数或同时出现奇数”,验证A,B,C的独立性.解:由已知得,这是古典概型,有返回上一页下一页习题6.5 独立性返回上一页下一页习题6.5 独立性例6.5.2 甲乙两人各进行一次射击,如果两人击中目标的概率都是0.4,求两人都击中目标的概率.解:设A表示事件“甲射击一次,击中目标”,B表示事件“乙射击一次,击中目标”.所以,所求事件是AB,根据题意,A与B相互独立.返回上一页下一页习题6.5 独立性例6.5.3 有一名射手,平均每射5发子弹能命中4发子弹,求:(1)连射n发子弹都未命中的概率;(2)要使至少能命中1发子弹的概率达到0.99以上,需要射多少发子弹.解返回上一页下一页习题6.5 独立性(2)设要使至少能命中1发子弹的概率达到0.99以上,需要射n发子弹返回上一页下一页习题6.5 独立性例6.5.4 在一个系统中元件能正常工作的概率称为元件的可靠度.如图,有4个独立工作的元件构成一个串并联系统,且每个元件的可靠度为s,求此系统的可靠度.解:1234返回上一页下一页习题6.5 独立性返回上一页下一页习题6.5 独立性例6.5.5 3个人独立破译一