2022届江苏省泰州高三最后一模数学试题含解析

1、2021-2022高考数学模拟试卷注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角条形码粘贴处。2作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡

2、一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知直线yk（x1）与抛物线C：y24x交于A，B两点，直线y2k（x2）与抛物线D：y28x交于M，N两点，设|AB|2|MN|，则（ ）A16B16C120D122已知复数z满足，则z的虚部为（ ）ABiC1D13已知等差数列的前项和为，若，则等差数列公差（）A2BC3D44已知函数，对任意的，当时，则下列判断正确的是（ ）AB函数在上递增C函数的一条对称轴是D函数的一个对称中心是5已知随机变量服从正态分布，且，则（ ）ABCD6已知分别为双曲线的左、右焦点，点是其一条渐近线上

3、一点，且以为直径的圆经过点，若的面积为，则双曲线的离心率为（ ）ABCD7定义两种运算“”与“”，对任意，满足下列运算性质：，；（） ，则（2020）（20202018）的值为( )ABCD8从某市的中学生中随机调查了部分男生，获得了他们的身高数据，整理得到如下频率分布直方图：根据频率分布直方图，可知这部分男生的身高的中位数的估计值为ABCD9已知三棱柱的所有棱长均相等，侧棱平面，过作平面与平行，设平面与平面的交线为，记直线与直线所成锐角分别为，则这三个角的大小关系为( )ABCD10阅读下面的程序框图，运行相应的程序，程序运行输出的结果是（ ）A11B1C29D2811已知.给出下列判断：若

4、，且，则；存在使得的图象向右平移个单位长度后得到的图象关于轴对称；若在上恰有7个零点，则的取值范围为；若在上单调递增，则的取值范围为.其中，判断正确的个数为（ ）A1B2C3D412本次模拟考试结束后，班级要排一张语文、数学、英语、物理、化学、生物六科试卷讲评顺序表，若化学排在生物前面，数学与物理不相邻且都不排在最后，则不同的排表方法共有（ ）A72种B144种C288种D360种二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13安排名男生和名女生参与完成项工作，每人参与一项，每项工作至少由名男生和名女生完成，则不同的安排方式共有_种（用数字作答）.14正方体中，是棱的中点，是侧面上的动点，

5、且平面，记与的轨迹构成的平面为，使得；直线与直线所成角的正切值的取值范围是；与平面所成锐二面角的正切值为；正方体的各个侧面中，与所成的锐二面角相等的侧面共四个其中正确命题的序号是_（写出所有正确命题的序号）15某班星期一共八节课（上午、下午各四节，其中下午最后两节为社团活动），排课要求为：语文、数学、外语、物理、化学各排一节，从生物、历史、地理、政治四科中选排一节.若数学必须安排在上午且与外语不相邻（上午第四节和下午第一节不算相邻），则不同的排法有_种.16设等比数列的前项和为，若，则数列的公比是 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）已知三棱锥中，为等腰

6、直角三角形，设点为中点，点为中点，点为上一点，且（1）证明：平面；（2）若，求直线与平面所成角的正弦值18（12分）在最新公布的湖南新高考方案中，“”模式要求学生在语数外3门全国统考科目之外，在历史和物理2门科目中必选且只选1门，再从化学、生物、地理、政治4门科目中任选2门，后三科的高考成绩按新的规则转换后计入高考总分.相应地，高校在招生时可对特定专业设置具体的选修科目要求.双超中学高一年级有学生1200人，现从中随机抽取40人进行选科情况调查，用数字16分别依次代表历史、物理、化学、生物、地理、政治6科，得到如下的统计表：序号选科情况序号选科情况序号选科情况序号选科情况11341123621

7、156312352235122342223532236323513145232453323541451413524235341355156152362525635156624516236261563623672561715627134371568235182362823538134923519145292463923510236202353015640245（1）双超中学规定：每个选修班最多编排50人且尽量满额编班，每位老师执教2个选修班（当且仅当一门科目的选课班级总数为奇数时，允许这门科目的1位老师只教1个班）.已知双超中学高一年级现有化学、生物科目教师每科各8人，用样本估计总体，则化学、生

8、物两科的教师人数是否需要调整？如果需要调整，各需增加或减少多少人？（2）请创建列联表，运用独立性检验的知识进行分析，探究是否有的把握判断学生“选择化学科目”与“选择物理科目”有关.附：0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.828（3）某高校在其热门人文专业的招生简章中明确要求，仅允许选修了历史科目，且在政治和地理2门中至少选修了1门的考生报名.现从双超中学高一新生中随机抽取3人，设具备高校专业报名资格的人数为，用样本的频率估计概率，求的分布列与期望.19（12分）选修4-4：坐标系与参数方程：在平面直角坐标系中，曲线：（为参数），在以平面直角坐标系的原点为

9、极点、轴的正半轴为极轴，且与平面直角坐标系取相同单位长度的极坐标系中，曲线：.（1）求曲线的普通方程以及曲线的平面直角坐标方程；（2）若曲线上恰好存在三个不同的点到曲线的距离相等，求这三个点的极坐标.20（12分）已知椭圆：的离心率为，直线：与以原点为圆心，以椭圆的短半轴长为半径的圆相切.为左顶点，过点的直线交椭圆于，两点，直线，分别交直线于，两点.（1）求椭圆的方程；（2）以线段为直径的圆是否过定点？若是，写出所有定点的坐标；若不是，请说明理由.21（12分）设（1）证明:当时，；（2）当时，求整数的最大值.（参考数据：，）22（10分）已知数列满足，且.（1）求证：数列为等比数列，并求出数

10、列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1D【解析】分别联立直线与抛物线的方程，利用韦达定理，可得，然后计算，可得结果.【详解】设， 联立则，因为直线经过C的焦点， 所以.同理可得，所以故选：D.【点睛】本题考查的是直线与抛物线的交点问题，运用抛物线的焦点弦求参数，属基础题。2C【解析】利用复数的四则运算可得，即可得答案.【详解】，复数的虚部为.故选：C.【点睛】本题考查复数的四则运算、虚部概念，考查运算求解能力，属于基础题.3C【解析】根据等差数列的求和公式即可得出【详解】a1=12

11、，S5=90，512+ d=90，解得d=1故选C【点睛】本题主要考查了等差数列的求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题4D【解析】利用辅助角公式将正弦函数化简，然后通过题目已知条件求出函数的周期，从而得到，即可求出解析式，然后利用函数的性质即可判断.【详解】，又，即，有且仅有满足条件；又，则，函数， 对于A，故A错误；对于B，由，解得，故B错误；对于C，当时，故C错误； 对于D，由，故D正确.故选：D【点睛】本题考查了简单三角恒等变换以及三角函数的性质，熟记性质是解题的关键，属于基础题.5C【解析】根据在关于对称的区间上概率相等的性质求解【详解】，故选：C【点睛】本题考查正态分布的应

12、用掌握正态曲线的性质是解题基础随机变量服从正态分布，则6B【解析】根据题意，设点在第一象限，求出此坐标，再利用三角形的面积即可得到结论.【详解】由题意，设点在第一象限，双曲线的一条渐近线方程为，所以，又以为直径的圆经过点，则，即，解得，所以，即，即，所以，双曲线的离心率为.故选：B.【点睛】本题主要考查双曲线的离心率，解决本题的关键在于求出与的关系，属于基础题.7B【解析】根据新运算的定义分别得出2020和20202018的值，可得选项.【详解】由（） ，得（+2），又，所以， ，以此类推，202020182018，又，所以， ，以此类推，2020，所以（2020）（20202018），故选：

13、B.【点睛】本题考查定义新运算，关键在于理解，运用新定义进行求值，属于中档题.8C【解析】由题可得，解得，则，所以这部分男生的身高的中位数的估计值为，故选C9B【解析】利用图形作出空间中两直线所成的角，然后利用余弦定理求解即可.【详解】如图，设为的中点，为的中点，由图可知过且与平行的平面为平面，所以直线即为直线，由题易知，的补角，分别为，设三棱柱的棱长为2，在中，；在中，；在中，.故选：B【点睛】本题主要考查了空间中两直线所成角的计算，考查了学生的作图，用图能力，体现了学生直观想象的核心素养.10C【解析】根据程序框图的模拟过程，写出每执行一次的运行结果，属于基础题.【详解】初始值， 第一次循

14、环：，；第二次循环：，；第三次循环：，；第四次循环：，；第五次循环：，；第六次循环：，；第七次循环：，；第九次循环：，；第十次循环：，；所以输出.故选：C【点睛】本题考查了循环结构的程序框图的读取以及运行结果，属于基础题.11B【解析】对函数化简可得，进而结合三角函数的最值、周期性、单调性、零点、对称性及平移变换，对四个命题逐个分析，可选出答案.【详解】因为，所以周期.对于，因为，所以，即，故错误；对于，函数的图象向右平移个单位长度后得到的函数为，其图象关于轴对称，则，解得，故对任意整数，所以错误；对于，令，可得，则，因为，所以在上第1个零点，且，所以第7个零点，若存在第8个零点，则，所以，即

15、，解得，故正确；对于，因为，且，所以，解得，又，所以，故正确.故选：B.【点睛】本题考查三角函数的恒等变换，考查三角函数的平移变换、最值、周期性、单调性、零点、对称性，考查学生的计算求解能力与推理能力，属于中档题.12B【解析】利用分步计数原理结合排列求解即可【详解】第一步排语文，英语，化学，生物4种，且化学排在生物前面，有种排法；第二步将数学和物理插入前4科除最后位置外的4个空挡中的2个，有种排法，所以不同的排表方法共有种.选.【点睛】本题考查排列的应用，不相邻采用插空法求解，准确分步是关键，是基础题二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。131296【解析】先从4个男生选2个一组，

16、将4人分成三组，然后从4个女生选2个一组，将4人分成三组，然后全排列即可.【详解】由于每项工作至少由名男生和名女生完成，则先从4个男生选2个一组，将4人分成三组，所以男生的排法共有，同理女生的排法共有，故不同的安排共有种.故答案为：1296【点睛】本题主要考查了排列组合的应用，考查了学生应用数学解决实际问题的能力.14【解析】取中点,中点,中点,先利用中位线的性质判断点的运动轨迹为线段,平面即为平面,画出图形,再依次判断:利用等腰三角形的性质即可判断；直线与直线所成角即为直线与直线所成角,设正方体的棱长为2,进而求解；由,取为中点,则,则即为与平面所成的锐二面角,进而求解；由平行的性质及图形判

17、断即可.【详解】取中点,连接,则,所以,所以平面即为平面,取中点,中点,连接,则易证得,所以平面平面,所以点的运动轨迹为线段,平面即为平面.取为中点,因为是等腰三角形,所以,又因为,所以,故正确；直线与直线所成角即为直线与直线所成角,设正方体的棱长为2,当点为中点时,直线与直线所成角最小,此时,；当点与点或点重合时,直线与直线所成角最大,此时,所以直线与直线所成角的正切值的取值范围是,正确；与平面的交线为,且,取为中点,则即为与平面所成的锐二面角,所以正确；正方体的各个侧面中,平面,平面,平面,平面与平面所成的角相等,所以正确故答案为:【点睛】本题考查直线与平面的空间位置关系,考查异面直线成角

18、,二面角,考查空间想象能力与转化思想.151344【解析】分四种情况讨论即可【详解】解：数学排在第一节时有：数学排在第二节时有：数学排在第三节时有：数学排在第四节时有： 所以共有1344种故答案为：1344【点睛】考查排列、组合的应用，注意分类讨论，做到不重不漏；基础题.16.【解析】当q=1时，.当时，所以.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17 (1)证明见解析；(2) 【解析】（1）连接交于点，连接，通过证，并说明平面，来证明平面（2）采用建系法以、所在直线分别为、轴建立空间直角坐标系，分别表示出对应的点坐标，设平面的一个法向量为，结合直线对应的和法向量，利用

19、向量夹角的余弦公式进行求解即可【详解】证明：如图，连接交于点，连接，点为的中点，点为的中点，点为的重心，则，又平面，平面，平面；，可得，又，则以、所在直线分别为、轴建立空间直角坐标系，则， ，设平面的一个法向量为，由，取，得设直线与平面所成角为，则直线与平面所成角的正弦值为【点睛】本题考查线面平行的判定定理的使用，利用建系法来求解线面夹角问题，整体难度不大，本题中的线面夹角的正弦值公式使用广泛，需要识记18（1）不需调整（2）列联表见解析；有的把握判断学生“选择化学科目”与“选择物理科目”有关（3）详见解析【解析】（1）可估计高一年级选修相应科目的人数分别为120，2，推理得对应开设选修班的数

20、目分别为15，1推理知生物科目需要减少4名教师，化学科目不需要调整（2）根据列联表计算观测值，根据临界值表可得结论（3）经统计，样本中选修了历史科目且在政治和地理2门中至少选修了一门的人数为12，频率为用频率估计概率，则，根据二项分布概率公式可得分布列和数学期望【详解】（1）经统计可知，样本40人中，选修化学、生物的人数分别为24，11，则可估计高一年级选修相应科目的人数分别为120，2根据每个选修班最多编排50人，且尽量满额编班，得对应开设选修班的数目分别为15，1现有化学、生物科目教师每科各8人，根据每位教师执教2个选修班，当且仅当一门科目的选课班级总数为奇数时，允许这门科目的一位教师执教

21、一个班的条件，知生物科目需要减少4名教师，化学科目不需要调整（2）根据表格中的数据进行统计后，制作列联表如下：选物理不选物理 合计选化学 19524 不选化学 61016合计2515 40则，有的把握判断学生”选择化学科目”与“选择物理科目”有关（3）经统计，样本中选修了历史科目且在政治和地理2门中至少选修了一门的人数为12，频率为用频率估计概率，则，分布列如下： 012 3 0.343 0.4410.1890.021数学期望为【点睛】本题主要考查了离散型随机变量的期望与方差，考查独立性检验，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力19（1），;（2），. 【解析】(1)把曲线 的参

22、数方程与曲线 的极坐标方程分别转化为直角坐标方程；(2)利用图象求出三个点的极径与极角.【详解】解：（1）由消去参数得，即曲线的普通方程为， 又由得即为，即曲线的平面直角坐标方程为 （2）圆心到曲线：的距离，如图所示，所以直线与圆的切点以及直线与圆的两个交点，即为所求，则，直线的倾斜角为， 即点的极角为，所以点的极角为，点的极角为，所以三个点的极坐标为，.【点睛】本题考查圆的参数方程和普通方程的转化、直线极坐标方程和直角坐标方程的转化，消去参数方程中的参数，就可把参数方程化为普通方程，消去参数的常用方法有：代入消元法；加减消元法；乘除消元法；三角恒等式消元法，极坐标方程化为直角坐标方程，只要将和换成和即可.20（1）；（2）是，定点坐标为或【解析】（1）根据相切得到，根据离心率得到，得到椭圆方程.（2）设直线的方程为，点、的坐标分别为，联立方程得到，计算点的坐标为，点的坐标为，圆的方程可化为，得到答案.【详解】（1）根据题意：，因为，所以，所以椭圆的方程为.（2）设直线的方程为，点、的坐标分别为，把直线的方程代入椭圆方程化简得到，所以，所以，因为直线的斜率，所以直线的方程，所以点的坐标为，同理，点的坐标为，故以为直径的圆的方程为，又因为，所以