BS期权定价模型课件详解精讲

1、BS期权定价模型课件详解精讲BS期权定价模型课件详解精讲第一节证券价格的变化过程 一、弱式效率市场假说与马尔可夫过程 1965年，法玛Fama提出了著名的效率市场假说。该假说认为，投资者都力图利用可获得的信息获得更高的报酬；证券价格对新的市场信息的反响是迅速而准确的，证券价格能完全反响全部信息；市场竞争使证券价格从一个平衡程度过渡到另一个平衡程度，而与新信息相应的价格变动是互相独立的。第一节证券价格的变化过程 一、弱式效率市场假说与马尔可夫过效率市场假说可分为三类：弱式、半强式和强式。 弱式效率市场假说可用马尔可夫随机过程Markov Stochastic Process来表述。随机过程是指某

2、变量的值以某种不确定的方式随时间变化的过程。可分为离散型的和连续型的。马尔可夫过程是一种特殊类型的随机过程。 假如证券价格遵循马尔可夫过程，那么其将来价格的概率分布只取决于该证券如今的价格。效率市场假说可分为三类：弱式、半强式和强式。 二、布朗运动 一标准布朗运动设 代表一个小的时间间隔长度， 代表变量z在时间 内的变化，遵循标准布朗运动的 具有两种特征：特征1： 和 的关系满足： 其中， 代表从标准正态分布即均值为0、标准差为的正态分布中取的一个随机值。这是一个按正态规律集中在起始点的一个随机运动。二、布朗运动 一标准布朗运动这是一个按正态规律集中在起始标准布朗运动(2)特征2：对于任何两个

3、不同时间间隔， 和 的值互相独立。 考察变量z在一段较长时间T中的变化情形，我们可得： 当0时，我们就可以得到极限的标准布朗运动： 标准布朗运动(2)特征2：对于任何两个不同时间间隔， 和 二普通布朗运动 我们先引入两个概念：漂移率和方差率。标准布朗运动的漂移率为0，方差率为。 我们令漂移率的期望值为a,方差率的期望值为b2，就可得到变量x 的普通布朗运动： b是标准差 其中，a和b均为常数，dz遵循标准布朗运动。普通的布朗运动随时间间隔的增加，需要加上一个漂移项，表示分开起始位置的程度常数比率，而其运动是正态规律运动。总体是一个叠加运动。二普通布朗运动 我们先引入两个概念：漂移率和方差率。三

4、、伊藤过程 普通布朗运动假定漂移率和方差率为常数，假设把变量x的漂移率和方差率当作变量x和时间t的函数，我们可以从公式得到伊藤过程Ito Process： 其中，dz是一个标准布朗运动，a、b是变量x和t的函数，变量x的漂移率为a，方差率为b2。 漂移非常数，正态规律项非常数，都是与时间和其目前位置有关，更加复杂的随机过程三、伊藤过程 普通布朗运动假定漂移率和方差率为常数，假设把变四、证券价格的变化过程证券价格的变化过程可以用漂移率为S、方差率为 的伊藤过程来表示：两边同除以S得： 表示将来时间间隔后的证券价格增量变化是符合漂移和方差率只和目前价格有关系线性关系的伊藤随机过程即普通布朗运动的晋

5、级版。表示将来价格变化率符合普通布朗运动，描绘运动偏离标注布朗运动的漂移率和方差率项已变为常数而非与时间和目前值有关系的函数四、证券价格的变化过程证券价格的变化过程可以用漂移率为S、从可知，在短时间后，证券价格比率的变化值为：可见， 也具有正态分布特征 (6.7) 前三个是常数或者函数值，最后一个是个标准正态随机变量，整个式子是某种正态随机变量。只不过这里符合的正态分布的均值和方差是与时间间隔由关系的值而已。从可知，在短时间后，证券价格比率的变化值为： 例设一种不付红利股票遵循几何布朗运动，其波动率为每年18%，预期收益率以连续复利计为每年20%，其目前的市价为100元，求一周后该股票价格变化

6、值的概率分布。 例设一种不付红利股票遵循几何布朗运动，其波动率为每年18%，五、伊藤引理假设变量x遵循伊藤过程，那么变量x和t的函数G将遵循如下过程： 由于 根据伊藤引理，衍生证券的价格G应遵循如下过程： (6.10)五、伊藤引理假设变量x遵循伊藤过程，那么变量x和t的函数G将六、证券价格自然对数变化过程 令 ，由于代入式: 证券价格对数G遵循普通布朗运动,且： 这里的绝妙的对数变换是布莱克斯科尔斯微分方程的偏微分项全部消除变为简单的服从正态分布的方程。同时也说明之前的假设是要成立的：证券价格的对数服从正态分布或证券价格服从对数分布。证券价格的对数变化量服从正态分布，从而知晓st的分布函数六、

7、证券价格自然对数变化过程 令 ，例设A股票价格的当前值为50元,预期收益率为每年18%,波动率为每年20%,该股票价格遵循几何布朗运动,且该股票在6个月内不付红利，请问该股票6个月后的价格ST的概率分布。例请问在例中，A股票在6个月后股票价格的期望值和标准差等多少？ 例第二节 布莱克舒尔斯期权定价模型 一、布莱克舒尔斯微分方程 一布莱克舒尔斯微分方程的推导 我们假设证券价格S遵循几何布朗运动：那么： 第二节 布莱克舒尔斯期权定价模型 一、布莱克舒尔斯微假设f是依赖于S的衍生证券的价格，那么： 为了消除 ，我们可以构建一个包括一单位衍生证券空头和 单位标的证券多头的组合。令 代表该投资组合的价值

8、，那么： (6.15) 由于股价将来波动随机过程与基于其的衍生品价格的随机波动过程是一致的，因此可以通过构建股价与其衍生品的对冲组合消除这个随机过程。假设f是依赖于S的衍生证券的价格，那么：由于股价将来波动随机在 时间后： 将式和代入式，可得： 在没有套利时机的条件下：把式和代入上式得： 无风险套利情形：1、可以复制的两个投资组合将来损益一样，但本钱不同；2、一个投资组合在任何条件下损益不低于另一个投资组合，即随即占优；3、投资组合构建本钱为零，但任何条件下损益不为零。表示这样的对冲组合获得的价值不应该比无风险利率下的时间价值大或者小。应该与存放银行获得的收益是一致的，必须至少获得无风险利率。

9、既然已经不包含随机过程，那么结果是无风险确定的，应该不存在瞬时无风险套利。这里表达了期权定价思想就是通过能消除随机过程的对冲组合去获得确定的报酬，且这个报酬至少与无风险利率收益是一样好的，即无套利。通过这样的思想得出期权定价。根据有效市场理论，无风险组合只能获得无风险利率。在 时间后：无风险套利情形：1、可以复制的两个投资组合将来布莱克舒尔斯微分分程化简为： (6.18) 这就是著名的布莱克舒尔斯微分分程，它适用于其价格取决于标的证券价格S的所有衍生证券的定价。 方程的衍生品价格的解为fs，t,表示满足此方程的任何解都是满足某种衍生品的不会导致套利时机的价格；假设不满足此方程的衍生品价格fs，

10、t也是一种价格，但这样的价格会导致无风险套利时机。假设解这个已经不含随机项的偏微分方程可直接得到后面的模型解，但后面用了概率论推导方法。布莱克舒尔斯微分分程化简为：方程的衍生品价格的解为fsB-S公式小结证券变化量满足伊藤随机过程基于该证券的衍生品价格满足伊藤引理，建立起衍生品价格的随机微分方程构建该证券与其衍生品的适当组合消除随机过程，且该组合要满足瞬时无套利，得到满足任何衍生品价格f关于其证券价格s和时间t的偏微分方程。B-S公式小结证券变化量满足伊藤随机过程基于该证券的衍生二风险中性定价原理 B-s微分方程中不包含股票收益率，说明衍生工具自身的市场价值并不随人们主观的风险偏好有关，因此可

11、在任何风险偏好下求解该方程，但只有风险中性条件下才会有任何证券的期望收益率与无风险利率一致，不过多也不过低奢求，其他偏好过多或者过保守。尽管风险中性假定仅仅是为了求解布莱克舒尔斯微分方程而作出的人为假定，但通过这种假定所获得的结论不仅适用于投资者风险中性情况，也适用于投资者风险的所有情况。二风险中性定价原理 B-s微分方程中不包含股票收益率，说例子假设一种不支付红利股票目前的市价为10元，我们知道在3个月后，该股票价格要么是11元，要么是9元。如今我们要找出一份3个月期协议价格为元的该股票欧式看涨期权的价值。该看涨期权的价值应为元 例子二、布莱克舒尔斯期权定价公式在风险中性的条件下，欧式看涨期

12、权到期时T时刻的期望值为：其现值为 对数股票价格的分布为： 对式求解： 看涨期权价用c，看跌用p表示，根据边界条件带入公式。用条件概率公式求本质是对期权在将来的某一段时间内变为实值的可能性进展定价二、布莱克舒尔斯期权定价公式在风险中性的条件下，欧式看涨风险中性下的期权价格1、边界条件表示远期获利最大值也就是到期市价执行价2、那么如今的衍生品价值应该等于最大值的期望值因为并不确定将来怎样，只能看期望值按无风险利率贴现因为是风险中性偏好。3、远期证券市价st的期望值按风险中性者要求就是如今的市价s按无风险利率给予的到期本利就可以了。4、最终的式子同样表示：衍生品如今的价格就等于证券如今的市价到期执

13、行价的贴现值。在如今的时间点去比较。5、这只是期权在如今看来其内在价值的表达。并没有包含时间价值，时间价值是表达在随机性质里的。Bs定价模型的推导和最终结果就包含了随机过程是包含时间价值的。风险中性下的期权价格1、边界条件表示远期获利最大值也就是到期Bs模型的概率论推导方法Bs模型的概率论推导方法Bs模型的概率论推导方法关于推导过程：1、这里用的是概率论法，直接解偏微分方程也可以得到结果。期权的价格是到期日行权后价值的期望值，因为如今并不知道st是多少。并且认为将来这段时间st的对数呈正态分布，也即虽然将来是个随机过程，但是我们认为是能用概率分布描绘的随机过程。这样便可以用密度函数求解这个期望

14、值了。2、如今定的期权价格上限是标的资产价格s，下限是s-exp-T-tX。而bs模型的最终结果是虽然s和x的折现值都被乘以一个小于1的数值，但是可以数学证明这个c值是大于下限值的。3、c值大于下限值是因为该模型包含了期望价值的两个分量，即内在价值s-exp-T-tX和时间价值，时间价值是因为将来的时间间隔里标的资产会产生随机波动，而bs模型已经考虑在内了。4、这里的波动率是指标的资产将来的波动率，而这个显然是不知道的，只能通过预估得到。Bs模型的概率论推导方法关于推导过程：1、这里用的是概率论法其中， 我们可以从三个角度来理解这个公式的金融含义：首先，N(d2)是在风险中性世界中ST大于X的

15、概率，或者说式欧式看涨期权被执行的概率， e-r(T-t)XN(d2)是X的风险中性期望值的现值。 SN(d1)= e-r(T-t)ST N(d1)是ST的风险中性期望值的现值。 补充：C期权初始合理价格，是指不存在无风险套利的欧式期权价格。X期权执行价格S所交易金融资产现价如今的时刻t的市价，如股票现价 T期权有效期：期权有效天数与365的比值。r连续复利计无风险利率股票连续复利对数回报率的年度波动率标准差N(d1)，N(d2正态分布变量的累积概率分布函数，即这个变量小于d1或d2的概率其中， 其次， 是复制交易策略中股票的数量，SNd1)就是股票的市值, -e-r(T-t)XN(d2)那么

16、是复制交易策略中负债的价值。 最后，从金融工程的角度来看，欧式看涨期权可以分拆成资产或无价值看涨期权Asset-or-noting call option多头和现金或无价值看涨期权cash-or-nothing option空头，SN(d1)是资产或无价值看涨期权的价值，-e-r(T-t)XN(d2)是X份现金或无价值看涨期权空头的价值。其次， 是复制交易策略中股票的数量，SNd1)就在标的资产无收益情况下，由于C=c，因此式也给出了无收益资产美式看涨期权的价值。根据欧式看涨期权和看跌期权之间存在平价关系，可以得到无收益资产欧式看跌期权的定价公式 ： 由于美式看跌期权与看涨期权之间不存在严密的

17、平价关系，所以要用蒙特卡罗模拟、二叉树和有限差分三种数值方法以及解析近似方法求出。 在标的资产无收益情况下，由于C=c，因此式也给出了无收益三、有收益资产的期权定价公式一有收益资产欧式期权的定价公式当标的证券收益的现值为I时，我们只要用SI代替式和中的S即可求出固定收益证券欧式看涨和看跌期权的价格。 当标的证券的收益为按连续复利计算的固定收益率q单位为年时，我们只要将代替式和中的S就可求出支付连续复利收益率证券的欧式看涨和看跌期权的价格。 三、有收益资产的期权定价公式一有收益资产欧式期权的定价公对于欧式期货期权，其定价公式为： 其中：对于欧式期货期权，其定价公式为：例假设当前英镑的即期汇率为，

18、美国的无风险连续复利年利率为7%，英国的无风险连续复利年利率为10%，英镑汇率遵循几何布朗运动，其波动率为10%，求6个月期协议价格为的英镑欧式看涨期权价格。 美分 。例假设当前英镑的即期汇率为，美国的无风险连续复利年利率为7%二有收益资产美式期权的定价1美式看涨期权 当标的资产有收益时，美式看涨期权就有提早执行的可能，我们可用一种近似处理的方法。该方法是先确定提早执行美式看涨期权是否合理。假设不合理，那么按欧式期权处理；假设在tn提早执行有可能是合理的，那么要分别计算在T时刻和tn时刻到期的欧式看涨期权的价格，然后将二者之中的较大者作为美式期权的价格。二有收益资产美式期权的定价1美式看涨期权 例 假设一种1年期的美式股票看涨期权，标的股票在5个月和11个月后各有一个除权日，每个除权日的红利期望值为元，标的股票当前的市价为50元，期权协