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1、四、排序不等式（一）看法【9】：设有两组实数a1，a2，an（1）b1，b2，bn（2）满足a1a2an（3）b1b2bn（4）另设c1，c2，,cn（5）是实数组（2）的一个排列，记逆序积和Sa1bna2bn1anb1乱序积和Sa1c1a2c2ancn似序积和Sababab1122nn那么SS且等式成立当且仅当a1a2an也许b1b2bn证明【9】：1，预备知识引理1（Abel变换）设（1）（2）为任意两组有序的实数组，令kB00，Bkbi,i1那么nn1akbkanBn(ak1ak)Bkk1k1事实上：nnakbkak(BkBk1)an(BnBn1)an1(Bn1Bn2)a1B1k1k1a
2、nBn(anBn1an1Bn1)(an1Bn2an2Bn2)(a2a1)B1n1anBn(ak1ak)Bkk1引理2设实数组（2）满足（4）式，实数组（5）是实数组（2）的任意一个排列，那么显然有kkkbicibni1i1i1i1引理3设实数组（2）满足（4），那么kkbibni1i1i1若存在1kmn使等号成立当且仅当b1b2bn2，证明第一：SSa1(bnc1)a2(bn1c2)an(b1cn)不如设kB00,Bk(bni1ci)i1那么由引理2，有Bk0,Bn0则由Abel变换以及aiai1，获取(ak1ak)Bk0所以SSn1n1anBn(ak1ak)Bk(ak1ak)Bk0k1k1SS同理，设Bk0,B(cb)0kiii1则可证SSa1(c1b1)a2(c2b2)an(cnbn)n1ak)Bk(ak10k1要使得等号成立，SSS则对k1,2,n1,有(ak1ak)Bk0(ak1ak)Bk0那么有以下两种状况：(i)a1a2an(ii)存在1mn1，使得a1a2am,amam1这时必有Bm0,Bm0从而mmmBm(bni1ci)bni1ci0i1i1i1Bmm(ci
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