上海市高考数学圆锥曲线试题

1、.高考数学圆锥曲线试题汇编 已知以F12,0,F22,0为焦点的椭圆与直线有且仅有一个交点,则椭圆的长轴长为ABCD21本小题满分12分,小问4分,小问8分如题21图,倾斜角为a的直线经过抛物线的焦点F,且与抛物线交于A、B两点。题21图求抛物线的焦点F的坐标及准线l的方程；若a为锐角,作线段AB的垂直平分线m交x轴于点P,证明|FP|-|FP|cos2a为定值,并求此定值。如图,直线ykxb与椭圆交于A、B两点,记AOB的面积为S 求在k0,0b1的条件下,S的最大值； 当AB2,S1时,求直线AB的方程5如果双曲线1上一点P到双曲线右焦点的距离是2,那么点P到y轴的距离是已知抛物线y-x2

2、+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点A、B,则|AB|等于A.3 B.4 C.3 D.421求F1、F2分别是椭圆的左、右焦点.若r是第一象限内该数轴上的一点,求点P的作标；若是该椭圆上的一个动点,求的最大值和最小值;设过定点M0,2的直线l与椭圆交于同的两点A、B,且ADB为锐角其中O为作标原点,求直线的斜率的取值范围.上海理科：8、已知双曲线,则以双曲线中心为焦点,以双曲线左焦点为顶点的抛物线方程为21、已知半椭圆与半椭圆组成的曲线称为果圆,其中,是对应的焦点。1若三角形是边长为1的等边三角形,求果圆的方程；2若,求的取值范围；3一条直线与果圆交于两点,两点的连线段称为果圆的弦。是否

3、存在实数,使得斜率为的直线交果圆于两点,得到的弦的中点的轨迹方程落在某个椭圆上？若存在,求出所有的值；若不存在,说明理由。上海文21本题满分18分本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分5分,第3小题满分9分我们把由半椭圆与半椭圆合成的曲线称作果圆,其中, yO.Mx.如图,设点,是相应椭圆的焦点,和,是果圆 与,轴的交点,是线段的中点yO.Mx.1若是边长为1的等边三角形,求该果圆的方程； 2设是果圆的半椭圆上任意一点求证：当取得最小值时,在点或处；3若是果圆上任意一点,求取得最小值时点的横坐标XX文3.抛物线的准线方程是ABCD9.已知双曲线C0,b0,以C的右焦点为圆心且与C的渐

4、近线相切的圆的半径是Aab22. 已知椭圆C:=1的离心率为,短轴一个端点到右焦点的距离为.求椭圆C的方程;设直线l与椭圆C交于A、B两点,坐标原点O到直线l的距离为,求AOB面积的最大值.22本小题满分14分解：设椭圆的半焦距为,依题意,所求椭圆方程为设,1当轴时,2当与轴不垂直时,设直线的方程为由已知,得把代入椭圆方程,整理得,当且仅当,即时等号成立当时,综上所述当最大时,面积取最大值XX理13设是坐标原点,是抛物线的焦点,是抛物线上的一点,与轴正向的夹角为,则为21本小题满分12分已知椭圆的中心在坐标原点,焦点在轴上,椭圆上的点到焦点距离的最大值为,最小值为求椭圆的标准方程；若直线与椭圆

5、相交于,两点不是左右顶点,且以为直径的圆过椭圆的右顶点,求证：直线过定点,并求出该定点的坐标标准答案由题意设椭圆的标准方程为, 设,由得,.以AB为直径的圆过椭圆的右顶点,解得,且满足.当时,直线过定点与已知矛盾；当时,直线过定点综上可知,直线过定点,定点坐标为全国2理11设分别是双曲线的左、右焦点,若双曲线上存在点,使且,则双曲线的离心率为 ABCD12设为抛物线的焦点,为该抛物线上三点,若,则 A9B6C4D320本小题满分12分在直角坐标系中,以为圆心的圆与直线相切1求圆的方程；2圆与轴相交于两点,圆内的动点使成等比数列,求的取值范围20解：1依题设,圆的半径等于原点到直线的距离,即得圆

6、的方程为2不妨设由即得设,由成等比数列,得,即由于点在圆内,故由此得所以的取值范围为全国2文11已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍,则椭圆的离心率等于 ABCD12设分别是双曲线的左、右焦点若点在双曲线上,且,则 ABCD全国1理4已知双曲线的离心率为,焦点是,则双曲线方程为ABCD11抛物线的焦点为,准线为,经过且斜率为的直线与抛物线在轴上方的部分相交于点,垂足为,则的面积是ABCD21本小题满分12分已知椭圆的左、右焦点分别为,过的直线交椭圆于两点,过的直线交椭圆于两点,且,垂足为设点的坐标为,证明：；求四边形的面积的最小值21证明：椭圆的半焦距,由知点在以线段为直径的圆上,故,所以,当的斜率

7、存在且时,的方程为,代入椭圆方程,并化简得设,则,；因为与相交于点,且的斜率为,所以,四边形的面积当时,上式取等号当的斜率或斜率不存在时,四边形的面积综上,四边形的面积的最小值为XX理6已知抛物线的焦点为,点,在抛物线上,且, 则有13已知双曲线的顶点到渐近线的距离为2,焦点到渐近线的距离为6,则该双曲线的离心率为319本小题满分12分在平面直角坐标系中,经过点且斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点和 = 1 * ROMAN I求的取值范围； = 2 * ROMAN II设椭圆与轴正半轴、轴正半轴的交点分别为,是否存在常数,使得向量与共线？如果存在,求值；如果不存在,请说明理由19解：由已知条件

8、,直线的方程为,代入椭圆方程得整理得直线与椭圆有两个不同的交点和等价于,解得或即的取值范围为设,则,由方程,又而所以与共线等价于,将代入上式,解得由知或,故没有符合题意的常数XX理11设为双曲线上的一点,是该双曲线的两个焦点,若,则的面积为 ABCD14设椭圆上一点到左准线的距离为10,是该椭圆的左焦点,若点满足,则=20本小题满分14分已知正三角形的三个顶点都在抛物线上,其中为坐标原点,设圆是的内接圆点为圆心I求圆的方程；II设圆的方程为,过圆上任意一点分别作圆的两条切线,切点为,求的最大值和最小值本小题主要考查平面向量,圆与抛物线的方程及几何性质等基本知识,考查综合运用解析几何知识解决问题

9、的能力满分14分I解法一：设两点坐标分别为,由题设知解得,所以,或,设圆心的坐标为,则,所以圆的方程为4分解法二：设两点坐标分别为,由题设知又因为,可得即由,可知,故两点关于轴对称,所以圆心在轴上设点的坐标为,则点坐标为,于是有,解得,所以圆的方程为4分II解：设,则8分在中,由圆的几何性质得,所以,由此可得则的最大值为,最小值为XX理9设椭圆的离心率为,右焦点为,方程的两个实根分别为和,则点必在圆内必在圆上必在圆外以上三种情形都有可能21本小题满分12分设动点到点和的距离分别为和,且存在常数,使得1证明：动点的轨迹为双曲线,并求出的方程；2过点作直线双曲线的右支于两点,试确定的范围,使,其中

10、点为坐标原点解法一：1在中,即,即常数,点的轨迹是以为焦点,实轴长的双曲线方程为：2设,当垂直于轴时,的方程为,在双曲线上即,因为,所以当不垂直于轴时,设的方程为由得：,由题意知：,所以,于是：因为,且在双曲线右支上,所以由知,解法二：1同解法一2设,的中点为当时,因为,所以；当时,又所以；由得,由第二定义得所以于是由得因为,所以,又,解得：由知XX文7连接抛物线的焦点与点所得的线段与抛物线交于点,设点为坐标原点,则三角形的面积为12设椭圆的离心率为,右焦点为,方程的两个实根分别为和,则点必在圆上必在圆外必在圆内以上三种情形都有可能22本小题满分14分设动点到点和的距离分别为和,且存在常数,使

11、得1证明：动点的轨迹为双曲线,并求出的方程；2如图,过点的直线与双曲线的右支交于两点问：是否存在,使是以点为直角顶点的等腰直角三角形？若存在,求出的值；若不存在,说明理由22解：1在中,小于的常数故动点的轨迹是以,为焦点,实轴长的双曲线方程为2方法一：在中,设,假设为等腰直角三角形,则由与得,则由得,故存在满足题设条件方法二：1设为等腰直角三角形,依题设可得所以,则由,可设,则,则由得根据双曲线定义可得,平方得：由消去可解得,故存在满足题设条件XX理3在平面直角坐标系中,双曲线中心在原点,焦点在轴上,一条渐近线方程为,则它的离心率为A B C D15在平面直角坐标系中,已知顶点和,顶点在椭圆上

12、,则. QUOTE 19、本小题满分14分如图,在平面直角坐标系中,过轴正方向上一点任作一直线,与抛物线相交于两点,一条垂直于轴的直线,分别与线段和直线交于,1若,求的值；5分2若为线段的中点,求证：为此抛物线的切线；5分3试问2的逆命题是否成立？说明理由。4分解：1设过C点的直线为,所以,即,设A,=,因为,所以,即,所以,即所以2设过Q的切线为,所以,即,它与的交点为M,又,所以Q,因为,所以,所以M,所以点M和点Q重合,也就是QA为此抛物线的切线。32的逆命题是成立,由2可知Q,因为PQ轴,所以因为,所以P为AB的中点。9设分别是椭圆的左、右焦点,若在其右准线上存在使线段的中垂线过点,则

13、椭圆离心率的取值范围是 ABCD20本小题满分12分已知双曲线的左、右焦点分别为,过点的动直线与双曲线相交于两点I若动点满足其中为坐标原点,求点的轨迹方程；II在轴上是否存在定点,使为常数？若存在,求出点的坐标；若不存在,请说明理由20解：由条件知,设,解法一：I设,则则,由得即于是的中点坐标为当不与轴垂直时,即又因为两点在双曲线上,所以,两式相减得,即将代入上式,化简得当与轴垂直时,求得,也满足上述方程所以点的轨迹方程是II假设在轴上存在定点,使为常数当不与轴垂直时,设直线的方程是代入有则是上述方程的两个实根,所以,于是因为是与无关的常数,所以,即,此时=当与轴垂直时,点的坐标可分别设为,此

14、时故在轴上存在定点,使为常数解法二：I同解法一的I有当不与轴垂直时,设直线的方程是代入有则是上述方程的两个实根,所以 由得当时,由得,将其代入有整理得当时,点的坐标为,满足上述方程当与轴垂直时,求得,也满足上述方程故点的轨迹方程是II假设在轴上存在定点点,使为常数,当不与轴垂直时,由I有,以上同解法一的IIXX文9设分别是椭圆的左、右焦点,是其右准线上纵坐标为为半焦距的点,且,则椭圆的离心率是 ABCD19本小题满分13分已知双曲线的右焦点为,过点的动直线与双曲线相交于两点,点的坐标是I证明,为常数；II若动点满足其中为坐标原点,求点的轨迹方程19解：由条件知,设,I当与轴垂直时,可设点的坐标

15、分别为,此时当不与轴垂直时,设直线的方程是代入,有则是上述方程的两个实根,所以,于是综上所述,为常数II解法一：设,则,由得：即于是的中点坐标为当不与轴垂直时,即又因为两点在双曲线上,所以,两式相减得,即将代入上式,化简得当与轴垂直时,求得,也满足上述方程所以点的轨迹方程是解法二：同解法一得当不与轴垂直时,由I 有由得当时,由得,将其代入有整理得当时,点的坐标为,满足上述方程当与轴垂直时,求得,也满足上述方程故点的轨迹方程是XX理7双曲线的左准线为,左焦点和右焦点分别为和；抛物线的准线为,焦点为与的一个交点为,则等于 ABCD10已知直线是非零常数与圆有公共点,且公共点的横坐标和纵坐标均为整数

16、,那么这样的直线共有 A60条B66条C72条D78条19本小题满分12分在平面直角坐标系中,过定点作直线与抛物线相交于两点I若点是点关于坐标原点的对称点,求面积的最小值；II是否存在垂直于轴的直线,使得被以为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在,求出的方程；若不存在,说明理由此题不要求在答题卡上画图AABxyNCO19本小题主要考查直线、圆和抛物线等平面解析几何的基础知识,考查综合运用数学知识进行推理运算的能力和解决问题的能力解法1：依题意,点的坐标为,可设,直线的方程为,与联立得消去得NOACByNOACByx于是,当时,假设满足条件的直线存在,其方程为,的中点为,与为直径的圆相交于点,的中

17、点为,NOACByxlNOACByxl,令,得,此时为定值,故满足条件的直线存在,其方程为,即抛物线的通径所在的直线解法2：前同解法1,再由弦长公式得,又由点到直线的距离公式得从而,当时,假设满足条件的直线存在,其方程为,则以为直径的圆的方程为,将直线方程代入得,则设直线与以为直径的圆的交点为,则有令,得,此时为定值,故满足条件的直线存在,其方程为,即抛物线的通径所在的直线XX文12过双曲线左焦点的直线交曲线的左支于两点,为其右焦点,则的值为_XX理11在平面直角坐标系中,有一定点,若线段的垂直平分线过抛物线则该抛物线的方程是18 在平面直角坐标系中,已知圆心在第二象限、半径为的圆与直线相切于

18、坐标原点椭圆与圆的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为求圆的方程； 试探究圆上是否存在异于原点的点,使到椭圆右焦点的距离等于线段的长若存在,请求出点的坐标；若不存在,请说明理由18. 解： 设圆心坐标为m0,则该圆的方程为2+2=8已知该圆与直线y=x相切,那么圆心到该直线的距离等于圆的半径,则=2即=4 又圆与直线切于原点,将点代入得m2+n2=8 联立方程和组成方程组解得故圆的方程为2+2=8 =5,a2=25,则椭圆的方程为+=1其焦距c=4,右焦点为,那么=4。要探求是否存在异于原点的点Q,使得该点到右焦点F的距离等于的长度4,我们可以转化为探求以右焦点F为顶点,半径为4的圆2+y2=8与

19、所求的圆的交点数。通过联立两圆的方程解得x=,y=即存在异于原点的点Q,使得该点到右焦点F的距离等于的长。XX文11在平面直角坐标系中,已知抛物线关于轴对称,顶点在原点,且过点P,则该抛物线的方程是19在平面直角坐标系中,已知圆心在第二象限、半径为22的圆与直线相切于坐标原点椭圆与圆的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为 求圆的方程； 试探究圆上是否存在异于原点的点,使到椭圆右焦点F的距离等于线段的长若存在,请求出点的坐标；若不存在,请说明理由19解: 设圆C 的圆心为 则 解得 所求的圆的方程为 由已知可得 椭圆的方程为 , 右焦点为 F ; 假设存在Q点使, 整理得 代入 得: , 因此不存在

20、符合题意的Q点.XX理6以双曲线的右焦点为圆心,且与其渐近线相切的圆的方程是 ABCDOyx1Oyx1lF直线,为平面上的动点,过作直线的垂线,垂足为点,且求动点的轨迹的方程；过点的直线交轨迹于两点,交直线于点,已知,求的值；20本小题主要考查直线、抛物线、向量等基础知识,考查轨迹方程的求法以及研究曲线几何特征的基本方法,考查运算能力和综合解题能力满分14分PBQMFOAxy解法一：PBQMFOAxy,化简得设直线的方程为：设,又,联立方程组,消去得：,故由,得：,整理得：,解法二：由得：,所以点的轨迹是抛物线,由题意,轨迹的方程为：由已知,得则：过点分别作准线的垂线,垂足分别为,则有：由得：

21、,即XX文10以双曲线的右焦点为圆心,且与其右准线相切的圆的方程是22本小题满分14分如图,已知,直线,为平面上的动点,过点作的垂线,垂足为点,且求动点的轨迹的方程；过点的直线交轨迹于两点,交直线于点1已知,求的值；2求的最小值22本小题主要考查直线、抛物线、向量等基础知识,考查轨迹方程的求法以及研究曲线几何特征的基本方法,考查运算能力和综合解题能力满分14分PBQMFOAxy解法一：PBQMFOAxy,化简得1设直线的方程为：设,又,联立方程组,消去得：,由,得：,整理得：,解法二：由得：,所以点的轨迹是抛物线,由题意,轨迹的方程为：1由已知,得则：过点分别作准线的垂线,垂足分别为,则有：由

22、得：,即2解：由解法一,当且仅当,即时等号成立,所以最小值为北京理17本小题共14分矩形的两条对角线相交于点,边所在直线的方程为,点在边所在直线上 = 1 * ROMAN I求边所在直线的方程； = 2 * ROMAN II求矩形外接圆的方程； = 3 * ROMAN III若动圆过点,且与矩形的外接圆外切,求动圆的圆心的轨迹方程17共14分解： = 1 * ROMAN I因为边所在直线的方程为,且与垂直,所以直线的斜率为又因为点在直线上,所以边所在直线的方程为 = 2 * ROMAN II由解得点的坐标为,因为矩形两条对角线的交点为所以为矩形外接圆的圆心又从而矩形外接圆的方程为 = 3 *

23、ROMAN III因为动圆过点,所以是该圆的半径,又因为动圆与圆外切,所以,即故点的轨迹是以为焦点,实轴长为的双曲线的左支因为实半轴长,半焦距所以虚半轴长从而动圆的圆心的轨迹方程为北京文4椭圆的焦点为,两条准线与轴的交点分别为,若,则该椭圆离心率的取值范围是19本小题共14分如图,矩形的两条对角线相交于点,边所在直线的方程为点在边所在直线上 = 1 * ROMAN I求边所在直线的方程； = 2 * ROMAN II求矩形外接圆的方程； = 3 * ROMAN III若动圆过点,且与矩形的外接圆外切,求动圆的圆心的轨迹方程19共14分解： = 1 * ROMAN I因为边所在直线的方程为,且与垂直,所以直线的斜率为又因为点在直线上,所以边所在直线的方程为 = 2 * ROMAN II由解得点的坐标为,因为矩形两条对角线的交点为所以为矩形外接圆的圆心又从而矩形外接圆的方程为 = 3 * ROMAN III因为动圆过点,所以是该圆的半径,又因为动圆与圆外切,所以,即故点的轨迹是以为焦点,实轴长为的双曲线的左支因为实半轴长,半焦距所以虚半轴长从而动圆的圆心的轨迹方程为XX理9如图,和分别是双曲线的两个焦点,和是以为圆心,以为半径的圆与该双曲线左支的两个交点,且是等边三角形,则双曲线的离心率为 ABCD14如图,抛物线y=-x2+1与x轴的正半轴交于