电子测量第一二章

1、电子测量 冯金垣教授 第一章 绪论第一节 测量与计量一 测量及其意义测量定义：确定被测对象（物）的量值的实验。用专门设备直接或间接与同类单位比较，取得数值和单位表示的测量结果。 测量揭示客观规律，用数字语言描述世界，科学实验的结果靠测量，它验证理论的客观标准，没有测量就没有科学。二 计量同一量，不同地方，不同的测量手段，测量结果一样，形成公认的单位基准、标准计量。计量特征：统一性，准确性，法律性计量基准1.主基准国家基准(最高准确度,国家鉴定)2.副基准与主基准对比而确定的量值.3.工作基准日常校准或核查计量工具.器皿的标准(如:公称) 第二节 电子测量的特点和应用电子测量的范围：电子测量渗透

2、的学科越来越多，近年来如医学，生命科学等领域.电量的测量电流、电压、电功率等信号的测量波形、失真度、频率、相位、脉冲参数、调制度、信号频谱、信噪比等元件参数 电阻、电感、电容、电子器件（晶体管、场效应管等）、电路频率响应、通带宽度、品质因数、相位移、延时、衰减和增益等特点：测量频率范围宽 10 HZ10GHZ量程广：欧姆表M，电压表vkv精确度高：对和s误差10 10 量级，目前测量的最高精确度速度快易于遥测，不间断测量易于利用计算机，通过A/D、D/A与计算机连接，实现智能测量-5-13-14 第三节 本课程的任务讲授与自学结合第二章 测量误差与不确定度基础 及测量数据处理 第一节 测量误差

3、的基本概念 被测量在一定时空条件下，真值为一确定数值，由于器具、手段、条件等引起误差测量误差。一、测量误差定义： 结果与真值的差别测量误差。（一）绝对误差：其中x绝对误差 x给出值 x0真值 一般误差忽略情况下x 代替x0定义C-与绝对误差大小相同，方向相反 C= x0- x作用：测量时对数据进行修正例： 用某电流表测电流，电流表的示值为10mA，该表在检定时10mA刻度处的修正值是+0.04mA，则被测电流的实际值即为10.04mA。 2 224 6 8 10 12 14 16 18 200.01 0（mA）I/（m A）0.02 0.03 0.04 0.05 -0.01 -0.02 C/（

4、m A）（二）相对误差：例 1=1000HZ, 1=1HZ, 2=1000000HZ, 2=10HZ, 21，但1/ 1=0.1%,2/ 2=0.001% (两个相差比较大的量比较时，无意义，用/ 表示)相对误差： = 100%没有量纲示值相对误差： = 100% （误差小时用）xx0 xx例：某脉冲信号发生器输出脉冲宽度为0.110s共二十档，误差为10%0.025s。即脉冲的误差由两部分组成，第一部分为输出脉宽的10%，这是误差中的相对部分；第二部分0.025s与输出脉宽无关，可看成是误差中的绝对部分。显然当输出窄脉冲时，误差的绝对部分起主要作用，当输出宽脉冲时，误差的相对部分起主要作用。

5、例 我们测量一个有源或无源网络，它的电压或电流传输函数为，则可以把这个传输函数用分贝表示为当测量中存在误差，则测得的传输函数偏离 一个数值 ，即 （1）或 叫做分贝误差由 可得: 与（1）式比较，可见分贝误差为 （2-a） 同理，当A为功率传输函数时 （2-b） 由式（2）可见， 是一个只与相对误差有关 的量。式中 带有正负符号，因而 也是带有符号的。（三）引用误差 量程变化 变化 变化式中 引用误差 绝对误差 量程例 检定一个1.5级100mA的电流表，发现在50mA处的误差最大，为1.4mA，其他刻度处的误差均小于1.4mA，问这块电流表是否合格？解 该表的最大引用误差为 可见，这块电流表

6、合格。若某仪表的等级是级s%，它的满刻度值为Xm，被测量的真值为Xo，那么测量的绝对误差为 （1）测量的相对误差为 （2） 由（1）可见，当一个仪表的等级S选定后，测量中绝对误差的最大值与仪器刻度的上限 成正比。因此所选仪表的满刻度值不应比实测量x大得太多。同样，在式（2）中，总是满足 ，可见当仪表等级S选定后， 越接近 时，测量中相对误差的最大值越小，测量越准确。因此，我们在选用这类仪表测量时，在一般情况下应使被测量的数值尽可能在仪表满刻度的三分之二以上。例 若要测一个10V左右的电压，手头有两块电压表，其中一块量程为150V，1.5级，另一块是量程为15V，2.5级，问选用哪一块表合适？

7、解 若使用量程为150V1.5级电压表， 测量产生的绝对误差 若表头示值为10V时，则被测电压的真值是在10V2.5V的范围内，误差的范围是相当大的。 若使用量程为15V2.5级电压表，用同样方法可以求得测量的绝对误差 若表头示值为10V时，则被测电压的真值是在10V0.375V的范围内，可见误差的范围小了很多，因此应选用15V的2.5级电压表。结论：在测量中我们不能片面追求仪表的级别，而应该根据被测量的大小，兼顾仪表的满刻度值和级别，合理地选择仪表。二、 测量误差的分类性质分：系统误差（）、随即误差（）、粗大误差（ ）仪器分:固有误差、工作误差、基本误差、附加误差(一)系统误差系统误差在相同

8、条件下多次测量同一量时，误差的绝对值和符号保持恒定，或在条件改变时按某种确定规律而变化的误差。恒值系统误差不随某些测量条件而变化的系统误差。常见误差原因：设备缺陷、仪器不准、使用不当等(a)测量R上的电流忽略了电压表上的电流(b)测量R上的电压忽略了电流表上的电压电压表 电流表 R （a） 电压表 电流表 R (b) (二)随机误差1 定义、根源和特点 定义：在实际相同条件下多次测量同一量时，误差的绝对值和符号以不可预定的方式变化着的误差。 根源：热骚动、噪声干扰、电磁场的微变、空气扰动、大地微震。 特点：一次测量无规律，大量测量具有统计规律；不会超过一定的界限，即随即误差具有有界性；绝对值相

9、等的误差出现的机会相同，具有对称性；随机误差的算术平均值随着测量次数n的无限增加而趋于零，具有抵偿性。(三)粗大误差定义：超出在规定条件下预期的误差，明显地偏离了真值。原因：读数错误，方法错误，仪器缺陷等。 测量上称为坏结果，不用。三、 测量数据的数学期望和方差(1)离散型的数学期望和方差 数学期望：取平均值 方差：偏离平均值的程度 （当 ） 其中n为总测量次数， 为第i次的取值数， 为可能取值的概率， 为取值 的次数。 每次测量没有相同情况时： =1结论： 当 时， 是各次的算术平均 值 ，即 。 是第i次测量的取值减去算术平均值的平方，平方的目的是防止互抵性。 若每次独立，没有相同情况 标

10、准偏差结论： 越小，测量值越集中，离散程度越小。 (2)连续型的数学期望和方差 取值在某个区间连续，可能的取值为无穷多个，对应于某个取值的概率趋近于零，用到概率密度来描述。 设测量值X落在区间 内的概率为 ,当 趋近于零时，若 与 之比的极限存在，就把它称为测量值X在x点的概率密度，记为 则 结论： 在测量值由离散值变为连续值时，只不过 将多项求和变成积分，并将每种取值的概率 换成 ，计算方法的实质并没有改变。四、测量误差对测量结果的影响及测 量的正确度、精密度和准确度 一般，第i次测量的误差： （ 为系统误差， 为随机误差） 上式中系统误差 在测量条件相同时是不变的，当测量次数n时，若对n次

11、测量的绝对误差取平均值，则 由于随机误差的抵偿性，当 时 的平均值等于零，由此可得 （当 ） 将 代入上式，则 （当 ）结论： （1）对于同时存在随机误差和系统误差的测量数据，只要测量次数足够多（理论上 ），各次测量绝对误差的算术平均值就等于测量的系统误差。 （2）当不存在系统误差时，测量值的数学期望就等于被测量的真值，即 例 用一数字电压表在相同条件下测同一电源的电压，得到12个数据如下表，经计量单位检定该电源电压的实际值为6.189V,求测量的系统误差的估计值。解：求以上12次测量结果的算术平均值 电源电压的真值可用计量部门检定的该电源电压的实际值来近似代替，即 由于测量次数 ，为有限次而

12、不为无穷大，因此我们只能求得系统误差的估计值，为区别估计值和真实值，我们在某量上方加一个尖括号来表示它是估计值。这里用 来表示系统误差的估计值，由 可得系统误差的估计值为正确度表示测量结果中系统误差大小的程度精密度（精度）表示测量结果中随机误差大小的程度正确度相等，精度不一定相等 X x i (a)随机误差较小 M(X) i x 0 X x i (b)随机误差较小 M(X) i x 0 准确度表示测量结果与真值的一致程度三者的含义： （a）正确度高而精密度低 （b）精密度高而正确度低 （c）准确度高正确度、精密度均高X (b) x 0 (a) x 0 (c) x 0 五、测量误差的估计和处理（

13、一）随机误差的影响及统计处理 随机误差使测量数据产生分散，即偏离它的数学期望。对某一次测量来说，随机误差使测量数据偏离数学期望的大小和方向是没有规律的，但多次测量就会发现随机误差使测量数据的分布服从一定的统计规律。我们的任务就是要研究随机误差使测量数据按什么规律分布，估计被测量的数学期望 和方差 以及被测量真值出现在某一区间的概率等等。1、测量数据的正态分布 在概率论中，我们研究过中心极限定理，这个定理说明：假设被研究的随机变量可以表示为大量独立的随机变量的和，其中每一个随机变量对于总和只起微小的作用，则可认为这个随机变量服从正态分布，又叫作高斯分布。 随机误差正是由多种因素组成，每种因素影响

14、较小，则随机误差及在其影响下的测量数据应服从正态分布。随机误差分布的概率密度：测量数据分布的概率密度： 式中 为随机误差，X为测量值， 及 为随机误差及测量分布的标准偏差， 是X的数学期望。 （a）随机误差 的正态分布（b）在随机误差影响下测量数据X的正态分布0 （X） X M(X) 2、用有限次测量数据估计测量值的数学期望和标准偏差 n次测量不能直接求出、，只能估计（1）有限次测量值的算术平均值及其分布 n次测量平均值的性质： 第i次一系列测量概率论知：（1）几个随机变量之和的数学期望等于各随机变量的数学期望之和（2）几个相互独立的随机变量之和的方差等于各随机变量方差之和 即：则 ，说明有限

15、次测量值的算术平均值的数学期望等于被测量的数学期望。 则 ，说明n次测量值平均值的方差比总体或单次测量值的方差小n倍，或者说比标准偏差小 倍。n越大， 越小，当 时， 。 物理意义：n次测量取平均后， 分布在 附近，由于抵偿性， 的分布相对集中了，即 比 小。（2）用有限次测量的数据来估计测量值 的 数学期望设 是x的估计值原则 一致性： 依概率收敛于x 无偏性： 的数学期望等于x当 时， 一致性 无偏性（3）用有限次测量数据估计测量值的方差贝塞尔公式 或 式中 ， 称为残差或剩余误差例： 需要一个160.3KHz的振荡源，考虑可以采用两种形式的LC振荡电路。按同样工艺条件组装好电路，并使它们

16、工作在相同的固定工作条件下，接通电源一小时后每隔一定时间分别记录一次两种电路的振荡频率如下表： 频率单位：KHz 问从测量数据看选用哪种电路更好些？解 由测量数据看，小数点前面及小数点后面第一位数字在测量过程中没有变化，因此我们只须分析小数点后面第二、三位数据，即在实际计算时，对第一种方案只需求82、83等数的平均值 和标准偏差估计值 ，对第一种方案只需求51、68等数的平均值 和标准偏差估计值 ，然后再考虑前面不变的部分及位数关系，给出所求数值。 则第一种方案振荡频率的数学期望的估计值为 则第一种方案振荡频率的标准偏差估计值为 用同样方法可以求得第二种方案振荡频率的数学期望及标准偏差的估计值

17、为 由上面的计算结果可以看出，两种方案，频率的平均值均偏离要求值160.3KHz，偏离情况基本相同，只要略微调整一下L或C元件，这个问题就可以解决。由于第二种方案的标准偏差明显小于第一种方案，即频率稳定度优于第一种方案，所以采用第二种方案比较适合。2、测量误差的非正态分布 在构成误差的各种影响因素中，有一种因素的影响是主要的，而这种误差的分布不服从正态分布这时误差总的分布就可能是非正态的。在测量实践中，除正态分布外，均匀分布也是常遇到的一种重要分布。 均匀分布的特点是，在其分布范围内，测量值或测量误差出现的概率密度相等。或 （X） X a b K=1 / (b-a) 例： 已知某电压表能分辨的

18、最小电压间隔为5mV，求由于仪器分辨力限制造成的随机误差的数学期望和均方差。解 电压表能分辨的最小电压间隔为5mV，这就意味着对所有电压实际数值为 间的电压，电压表的指示都是 ，所以读数的随机误差均匀地分布于 之间在此 区间外由于分辨力造成的误差 为零。因此误差的概率密度如 图所示。 （） 0 -2.5mV -2.5mV 误差的数学期望为 可见由于分辨力限制造成的误差的数学期望为零，这是因为这些误差虽然均匀地出现在 至 之间，每次出现的大小和方向都没有规律，但是足够多次误差的影响是能够相互抵消的。 误差的方差为 这个误差的标准偏差可以用来描述由于电压分辨力限制，造成的随机误差的分散程度。六、用

19、统计学方法剔除异常数据 在无系统误差的情况下，测量数据分布在被测量真值附近。在正态分布情况下，误差绝对值超过 的概率仅占1%，误差绝对值超过 的概率仅占0.27%，可见出现大误差的概率是非常小的。 对于误差绝对值较大的测量数据，可以列为可疑数据。决定可疑数据的取舍：观察物理原因不能决定时，用统计方法。基本思想：给定一个置信概率，找出相应的置信区间，凡在这个置信区间以外的数据，就定为异常数据并予以剔除。七、处理系统误差的一般方法 系统误差有规律但不容易掌握，处理上比随机误差更为困难。一般处理上：（1）检查系统误差是否存在（2）分析原因，尽力消除（3）采取措施，减弱影响（4）利用修正办法，有些无法

20、修正的，估 计范围（一）测量前尽力消除产生系统误差的来源（1）原理和方法上尽力做到正确，严格（2）仪器定期检查，校准，正确使用（3）注意周围环境的影响，尤其是温度，必要 时注意恒温、散热措施，屏蔽、防振等。（4）提高测量人员业务素质，减少人为因素（5）尽量用数字式代替读数式（二）系统误差的判别恒值系差的判别： 条件不变 变值系差的判别：（1）找出误差与某个测量条件间的解析关系式（2）实际测量当变值系差明显地大于随机误差时，改变某一条件,记录 ，求 和 ，观察 和的关系。当随机误差较大时：（1）马利科夫判据 改变，n次测量当n为偶数时：当n为奇数时： 当 ， 时，系统误差为累进式。（2）阿卑赫梅

21、特判据 累进式、周期性误差同时可用 ，测量有变值系差（三）消除或减弱系统误差的典型测量技术1零示法 优点：只需观察检流计有无电流，不需读数，减 少人为因素，平衡电桥也是零示法的一种。 要求：（1）检流计灵敏度要求 （2）臂电阻值要精确E R1 V R2 V V x 2代替法（置换法） 做法：被测 接入电桥，使G=0，用可调标准电阻代替 ，调整可调标准电阻的阻值使G=0，此时标准电阻的阻值即为 。 优点：仪器误差、系统误差对 无影响3.交换法（对照法）做法：两次测量，使误差源作用相反，两次取平均值。例：电桥测电阻，分别取两个臂，后取平均值。4微差法 是零示法 ， 的情况。 设被测量为x ，和它相

22、近的标准量为B，被测量与标准量之微差为A，A的数值可由指示仪表读出。则 由于x和B的微差A远小于B，所以 ，可得测量误差为 为标准量的相对误差 系数 为相对微差 为指示仪表的相对误差。例：图2-17是一个用微差法测量未知电压 的电路，图中标准电压V维持不变，电压表V用来测量被测电压 与标准电压V之微差。设标准电压的相对误差不大于万分之五，电压表的相对误差不大于五十分之一，相对微差为五十分之一，求测量的相对误差是多少？解：测量的相对误差为E R1 V R2 V V x （四）系统误差的修正和系差范围的估计治标办法：用修正曲线或修正公式，对数据进行修正。范围：上限 ，下限 恒值部分的数值为 ，可以

23、进行修正。 变化部分的变化幅度为 ，与随机误差的变化范围进行合成。 第二节 测量不确定度及测量 结果的表征一、测量不确定度及其分类评定（一）测量不确定度测量值的可疑程度（误差的最大范围）取正值。 标准偏差表示标准不确定度 置信区间表示扩展不确定度（范围不确定度、延 伸不确定度）多值合成不确定度合成标准不确定度（误差合成）（二）测量不确定度的分类评定1、A类评定标准不确定度评定2、B类评定基于经验、其他信息，概率分布复杂。二、测量结果的置信问题及扩展不确定度（一）置信概率与置信区间 不能确切地知道尚未进行的某一次测量的结果，但希望知道x可能处于区间 内的概率。（置信概率） 若 知道，想知道 的区

24、间 X M(X) c(X) c(X) X1c(X) X1 X2 X3 X2c(X) X3c(X) （二）服从正态分布的测量结果的 置信问题和扩展不确定度 1、若某测量值服从正态分布，它的概率密度为 则测量值 处于对称区间 内的置信概率为令 则 且当 时当 时于是可以把积分变量换为Z，即根据系数C或者说根据置信区间 ，就可从表中查得响应的置信概率。例： 已知某被测量的测量值服从正态分布，测量中系统误差可以忽略。分别求出置信区间为真值附近的三个区间 ， ， 时的置信概率。 解 由于测量的系统误差可以忽略，则被测量的真值 就等于数学期望 ，置信1区间 分别为 ， ， ，则系数分别为1、2、3。由附录

25、表I表A可以查出置信概率分别为 由计算结果可见，对于正态分布的误差或测量值，不超过 的置信概率为99.73%，因而可以认为实际测量值均处于 附近 的范围内。 例： 已知对某电压的测量中不存在系统误差，测量值属于正态分布，电压的真值 ，测量值的标准偏差 ，求测量值出现在9.710.3V之间的置信概率。 解 由于测量中不存在系统误差，真值 等于数学期望 。由题可直置信区间在 附近的范围。 则系数 由附录表I表A可得 例： 某测量值X属于正态分布，已知它的数学期望为 ，标准偏差为 ，若要求置信概率为99%，求置信区间。解 已知置信概率为由附录表I表B查得相应的 ，则置信区间为2.有限次测量情况下的置

26、信问题由正态分布到分布有限次测量： 未知，只能求 或 仿照前面的方法设随机变量 当测量值X服从正态分布时， 也服从正态分布。由于 不服从正态分布，使t不再服从正态分布，而服从于t分布。t分布的概率密度为式中 ，称为伽马函数。 ，成为自由度。 分布的图形附录给出了t分布的在对称区间的积分。 0 t （t ,k） k k值小 k值大 例： 有一个固定频率f的信号源，对其输出频率进行六次测量（可认为是独立、等精密度，无系统误差的测量），所得数据如下表：若要求置信概率为95%，估计信号频率的真值约在什么范围内？ 解 （1）求频率f的平均值 （2）求的标准偏差估计值,由贝塞尔公式（3）求平均值 的标准偏

27、差估计值（4）由自由度 及置信概率 ，可从附录查得相应的 。（5）估计f的真值多处区间： 由于无系统误差，真值即等于数学期望，则置信区间为 ，代入求得的数据可得对于95%的置信概率，估计f真值范围应 为 的范围内。例：对正态分布的测量值，给定置信概率为99%或99.73%等，由附录正态分布在对称区间的积分表查得对应的系数c=2.576或c=3等等。在实际测量中常用算术平均值代替真值，用标准偏差估计值 代替标准偏差，凡测量值 在区间 以外的，即时，就将数据 剔除不用。结论：（1） 过小，部分正常值被剔除。 （2） 过大，异常数据不能检查出来 （3）减少 ，有利于异常数据的剔除 (a) 置信概率过

28、小 （b）置信概率过大 （c）减少 有利于异 常数据的剔除莱特准则：在测量数据为正态分布的情况下，如 果测量次数足够多，习惯上取3倍 作为判别异常数据的界限。莱特准则不适用测量次数较少，例如样本容量n=10， （当n=10 ）显然，对任何一个 都将不大于标准偏差大于数据，则有异常数据，这个准则失去判断力。 （三） 非正态分布，正常数据的边界大多在例：均匀分布的边界为 ，莱特准则不能用。应用上：根据实际情况 而确定方法。剔除异常数据后，重新计算 和 ，直至最后。对于n很大的情况，数据多，计算烦，用现代手段微机（右图） 三、测量误差和测量不确定度的合成总误差与分项误差的关系：（1）用分项误差确定总

29、误差合成（2）总误差确定，确定分项误差的数值分 配（一）测量误差的合成 1、误差传递公式 设某量y由两个分项 , 合成 若在 附近各阶偏导数存在，则可把y展为台劳级数 若用 及 分别表示 及 分项的误差，由于 ， ，则台劳级数中的高阶小量可以略去，则总合的误差 同理，当总合y由m个分项合成时，可得即 （2-38）例12：用间接测量法测电阻消耗的功率，若电 阻、电压和电流的测量相对误差分别 为 、 、 ，问所求功率的相对误 差为多少？解 方案1：用公式 由式（2-38） 则算得功率的相对误差为方案2：用公式由式（2-38） 则 方案3：用公式由式（2-38） 则 上例是绝对误差的合成公式，有时不

30、方便。将（2-38）两端同除以 ，同时考虑 为 ， 时的函数值f则：由于则可求出相对误差 （2-39）例13 用式（2-39）重新计算例12。 解 由式（2-39）可以求出 方案1： 方案2：方案3： 例14： 已知下列各函数中各x的绝对误差及相对误差，求y的绝对误差或相对误差。解（1） 由式（2-38） （2） 由式（2-39）（3）由式（2-39）结论：（1）若 为和、差关系 时，先求总合的绝对误差。（2）若 为积、商、乘方、 开方 关系时，先求总合的相对误差。2、系统误差的合成一般： 若忽略：3、随机误差的合成=0 则：两边平方当进行了n次测量，对上式由i=1n求和，则 若 为相互独立的

31、量，则 与 也互不相关， 与 的大小和符号都是随机变化的，它们的积 也是随机变化的，当 时，各乘积项相互抵消的结果使上式第二项趋近于零。当不考虑第二项以后，将上式两端同除以n，则得 最后得到 （二）不确定度的合成系统不确定度不能确切掌握系统误差可能变 化的最大幅度（）随机不确定度随机变化的最大幅度总误差不确定度1系统不确定度的合成（1）绝对值合成法 m个分项中各分项的不确定度相同，同时取正或取负则总合的不确定度为：例15 已知DYC-5超高频电子管电压表在测量交流电压时的技术指标如下： 1)测量电压范围：0.1100V，分五档，各档满度电压为1，3，10，30，100V； 频率范围20Hz30

32、0MHz； 在环境温度（205）及频率50Hz时各档的满度测量基本误差为2.5%。 2）在015及2540附加误差为2.5%； 3）频率附加误差为 20Hz300MHz 3% 100200MHz 5% 200300MHz 10% 现欲测5V、150MHz的高频电压，环境温度为32，求测量误差的不确定度 解 上述误差中既包含了系统误差，也包含了随机误差，但在这种一般的工程测量中主要是系统误差。从最不利的情况出发，用绝对值合成法，将基本误差 与两个附加误差 合成。 因给出的基本误差为满度相对误差 ，在测5V电压时电压表的满度电压为10V，因此测量的基本相对误差的最大值为 又知频率附加误差 为5%，

33、温度附加误差 为2.5%，从最不利的情况出发，认为各误差是同方向相加的，则由 可求出总的不确定度为 上例求出的总合的不确定度是很大的。由于每一分项取正号（或负号）的概率为1/2，所以m个相互独立的不确定度都取正号（或负号）的概率为 ，只适用于m小的情况。 （2）均方根合成法已知误差分布和不确定度用多项取平均减少，而 多项平均不能减少 各分项的分布规律难确定 难求估计方法： （2）设各分项均匀分布，即取 总合介于正态与均匀间取 范围例16 同上例15，用均匀根合成法求总合的 不确定度解 用第一种估计方法，由 用第二种方法估计，在 中因分项数目较少，各分项的影响相差不悬殊，取 ，各分项的分布形状不

34、掌握，按均匀分布取 ，则2同时含有系统误差和随机误差时不确定度的合成 若系统有q项确定性系统误差 一般：分布情况不清时， （按均匀分布） 分项较多时， （按正态分布）特例：只测量一个x，即y=x 用多次测量减少 例17 用QS18A电桥测量某电容10次，结果如下： 已知该电桥测量的系统误差不大于1%，求被测电容值及其不确定度。解 用平均值作为测量值的估计值 求不确定度： 首先求系统不确定度及表征项 ，由题可知由于不知道系统误差的分布形状，按均匀分布取系数 ，则表征项又根据贝塞尔公式求得测量值的标准偏差估计值为 由上面数据可见 ，则测量值的不确定度可以认为等于系统不确定度。最后电容值可以表示为

35、（三）微小误差准则 误差合成时，考虑主要误差项，次要项小到什么程度可略去的问题。1代数合成中的微小误差若其中第k项为微小误差，可以将其略去，误差值一般保留12位 设保留最后一位（即个位），则0.5以下的误差舍掉 则：舍掉的部分占误差值的百分比为 即舍掉部分5% 只要略去微小项的误差量5%，对结果无影响。若保留两位有效数字，则： 2几何合成中的微小误差 适用：随机误差或多项误差对于随机误差：设略去第k项： 误差代数合成准则： 两边平方： 则第k项误差可以略去的条件为：取两位有效数字： 对于某几项微小误差，亦可以按准则略去。二、测量误差的分配 （一）等准确度分配等准确度分配是指分配给各分项的误差彼

36、此相同，即 （系统误差） （j=1m） （2-50） （j=1m）（随机误差）（2-51）适用于各分项性质相同，大小相近。例18：有一电源变压器如图，已知原圈与两个副圈的圈数比，用最大量程为500V的交流电压表量副圈总电压，要求相对误差小于2%，问应选哪个级别的电压表？解 由于副圈 及 的电压均为440V，副圈总电压为V为880V，而电压表最大量程只有500V，因此应分别测量副圈 及 的电压，然后相加得副圈总电压，即 。 3 V1 V2 V 2 1 5 4 220V 50Hz 测量允许的最大总误差为 可以认为测量误差主要是由于电压表误差造成的，而且由于两次测量的电压 基本相同，可根据式（2-5

37、0）等准确度分配原则分配误差，则 用引用相对误差为 的电压表测量电压时，若电表的满刻度值为 ，则可能产生的最大绝对误差为 ，这个数值应不大于每个副圈分配到的测量误差 ，即要求 可见选用1.5V级的电压表能满足测量要求。 (二)等作用分配 等作用分配是指分配给各分项的误差在数值上虽然不一定相等，但它们对测量误差总合的作用或者说对总合的影响是相同的，即应分配给各分项的误差为 （2-52） （2-53）例19 通过测电阻上的电压、电流值间接测电阻上消耗的功率。已测出电流为100mA，电压为3V，算出功率为300mW。若要求功率测量的系统误差不大于5%，随机误差的标准偏差不大于5mW，问电压和电流的测

38、量误差多大时才能保证上述功率误差的要求。 解 按题意功率测量允许的系统误差为 按等作用分配原则，分配给电流测量的系统误差可由式（2-52）求出： 下面分配随机误差。由式（2-53） （三）抓住主要误差项进行分配 当各分项误差中第项误差特别大时 可以只考虑主要项的影响，即 主要误差项也可以是若干项，这时可把误差在这几个主要误差项中分配。 三、最佳测量方案的选择 对于实际测量，我们通常希望测量的准确度越高即误差的总合越小越好。所谓测量的最佳方案，从误差的角度看就是要做到 例20 测量电阻R消耗的功率时，可间接测量电阻值R、电阻上的电压V、流过电阻的电流I，然后采用不同的方案来计算功率。设电阻、电压

39、、电流测量的相对误差分别为 、 、 ，问采用哪种测量方案较好？解 间接测量电阻消耗的功率可采用三种方案，各种方案功率的相对误差如下：方案1： 方案2： 方案3： 可见，在题中给定的各分项误差条件下，选择第一种方案 ，用测量电压和电流来计算功率比较合适。四、测量数据的处理 去粗取精、去伪存真 （图表、曲线） （一）有效数字及数字的舍入规则1、有效数字 数据计算时，对 、e、 等无理数取近似，规定误差不超过末位数字的一半。 从左边第一个不为零的数字起，直到后面最后一个数字止，都叫作有效数字。例如 375，123.8，3.10等等 左边为零不是有效数字，306，3.860的0都是有效数 两位有效数字

40、 。2、数字的舍入规则（1）当保留n位有效数字，若后面的数字小于第n 为单位数字的0.5就舍掉；（2）当保留n位有效数字，若后面的数字大于第n 为单位数字的0.5，则第n位数字进1； （3）当保留n位有效数字，若后面的数字恰为第 n为单位数字的0.5，则第n位为偶数或零时 舍掉，奇数时进1。 原因：第n位数字的偶、奇概率相等舍入误差互相 抵消。 结论：小于5舍，大于5进，等于5时取偶数。例21 将下列数字保留3位有效数字： 45.77，36.251，43.035，38050，47.15解 将各数字列于箭头左面，保留的有效数字列于右面： 45.7745.8（因0.070.05，所以末位进1）36

41、.25136.3（因0.0510.05，所以末位进1）43.03543.0（因0.0350.05，所以舍掉）38050380102（因第四位为3，第三位为零，所 以舍掉）47.1547.15（因第四位为5，第三位为奇数，因此 第三位进1）3、测量结果的表示法 一般测量的误差值只需取一位到两位数字 测量值最低位与误差值最低位对齐例22 已知某电阻的测量中没有确定性系统误差，系统不确定度为测量值的1%，随机误差的影响可以忽略不计。若该电阻的30次测量值之和为1220，写出该电阻的测量结果。 解 求该电阻测量值的平均值 由于随机误差的影响可以忽略不计，因此电阻的不确定度 近似等于系统不确定度 ，求出

42、它的数值并取两位数字 用电阻平均值作为测量值，并且与误差的位数对齐，后面的数字进行舍入处理 最后给出测量结果例： 0.41个位数字的一半，有效数字最低位为个位 安全数字： 两位安全数字： ，最低位为十分位 安全数字： 两位安全数字：注意：（1）当指数的底远大于1或远小于1时，指 数的误差对结果影响较大。 （2）当两数相减时，若二数相差不多，则 可能对结果产生很大的影响。第三节 加权平均与回归分析 一、非等权测量与加权平均等精度测量条件相同、精度相同 非等精度测量条件不同、精度不同例 在相同条件下测量某一电压值，一组测了100次取平均值，另一组测了2次取平均值，虽然这102次测量条件都相同， 相

43、同，但 非等精度（一）测量结果的权 设 ，非等精度，精度高的结果更可靠，给予更 大重视 用 表示第j个结果受到的重视程度 则： 第j次测量值的“权” 定义： 为任意常数结论： 精度越高， 越小， 越大，重视程度越高。 当 =1即为单位权时， 是单位权的方差。在非等精度测量时 （n为整数） 无影响 （二）加权平均对x进行m次非等精度测量有： 不适用，原因：非等精度方法： 第j次测量值 （非等精度）、权为 把 看成 次等精度测量的平均值例 的权为 看成： 3次等精度测量平均值 5次等精度测量平均值 2次等精度测量平均值 每次： 则三组： 等精度为： 结论： m次非等精度测量等效为 次等精度测量，

44、等效为 次等精度测量的平均值， 等效于n次等精度测量值之和 即： （2-59） 等效于 次等精度测量值的和， 等效于全部等精度测量值的和， 等效于全部等精度测量的次数。例23 已知X的三个非等精度测量值分别 为 ，它们的权分 别为3、5、2，求X的估计值解 结论 （1） （2） （三）加权平均值的方差 权的次数（等精度次数） ，即 （j=1n） 单位权方差（等精度方差） 或结论：已知非等精度方差 ，可以求出非等精度加权平均值的方差 。例24：用两种方法测量某电压。第一种方法测得 ，测量值的标准偏差 ；第二种方法测得 ，测量值的标准偏差 。求该电压的估计值及其标准偏差。 解 取=1，则两种测量值

45、的权为 则电压的估计值可由式 求出由 可求出电压估计值的方差则 二、最小二乘法与回归分析（一）最大似然估计 设被测量X的概率分布密度为 ，其中 为需要估计的参数。若对X有n个独立测量数据 ，其中 的概率分布密度为 ，则n次测量值恰为 的概率分布密度，为 若L最大，则n次测量值恰为 最可 发生 这种估计最大似然估计 L 最大似然函数（二）最小二乘原理 常数 由测量数据确定例 两次测量： 解出 y的实测值与理论值有误差 随机误差 ，此时不能用联立方程解出 等n个未知参数 实测值 理论值设第j次测量的 服从正态分布m次测量值的随机误差恰好等于 的概率密度为 j=1m的集合交或积 集合交（积）变成求和

46、根据最大似然估计原理，当、等为、等的估计值时，要求ln L最大，即全式同乘2后，亦要求： 最大似然估计中所用的残差实际上：残差 结论： 残差服从正态分布的情况下，残差平方的加权和为最小时，满足最大似然估计条件。同时应把满足这个条件的各参数值作为该参数的估计值。y j x y y v j y j 例25 对某测量X分别进行了m次测量，其测量值 及相应的权分别为 ，用最小二乘法求X的估计值。 解 本例为y=x的特殊情况。这时 ，若 为X的估计值，则最小二乘原理出发，应满足 这时必有 即 解得 根据测量结果拟合曲线（三）曲线拟合和回归分析当y x没有严格关系，但有相关关系例：电压：VS的关系 晶体管： T的关系一般：取不同x，测y，要画y x曲线 画法多种多样y x b a c 如果对应 测足够多个 ，并求出当 时它的数学期望 的关系画出的曲线或找出的关系式是比较理想的。 这样作出的曲线y对x的回归曲线 描述该曲线的方程回归方程 这样做工作量大，对 测有限次，运用最小二乘法原理估计回归方程的参数。具体做法： （1）确定数学表达式即回归方程的类型 （2）确定回归方程中的常参数及常数项 等的数值。常见函数曲线形式 若找不到相近的函数关系，利用幂级数逼近 在讨论范围内收敛即可（ 的极限存在） 方程确定后，确定常数 用x代入方程