2021课标版理数高考总复习专题9.4双曲线及其性质（讲解练）理科数学教学讲练

1、9.4双曲线及其性质高考理数考点一双曲线的定义及标准方程考点清单考向基础1.定义在平面内到两定点F1,F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|且大于零)的点的轨迹叫做双曲线,定点F1,F2叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做焦距.注意(1)设双曲线上的点M到两焦点F1,F2的距离之差的绝对值为2a,即|MF1|-|MF2|=2a,其中02a|F1F2|,则点M的轨迹不存在;若2a=0,则点M的轨迹是线段F1F2的垂直平分线.(2)若将双曲线定义中的“差的绝对值等于常数”中的“绝对值”去掉,则点的集合是双曲线的一支,具体是左支(上支)还是右支(下支)视情况而定.2.标准方程(1)中心在坐

2、标原点,焦点在x轴上的双曲线的标准方程为-=1(a0,b0);(2)中心在坐标原点,焦点在y轴上的双曲线的标准方程为-=1(a0,b0).注意(1)焦点位置的判断:在双曲线的标准方程中,看x2项与y2项的系数正负,若x2项的系数为正,则焦点在x轴上;若y2项的系数为正,则焦点在y轴上,即“焦点位置看正负,焦点随着正的跑”.(2)a,b,c满足c2=a2+b2,即c最大(c为半焦距).3.焦点三角形问题(1)P为双曲线上的点,F1,F2为双曲线的两个焦点,且F1PF2=,则=c|yP|.(2)过焦点F1的直线与双曲线的一支交于A、B两点,则A、B与另一个焦点F2构成的ABF2的周长为4a+2|A

3、B|.(3)若P是双曲线右支上一点,F1、F2分别为双曲线的左、右焦点,则|PF1|min=a+c,|PF2|min=c-a.(4)P是双曲线-=1(a0,b0)右支上不同于实轴端点的任意一点,F1、F2分别为双曲线的左、右焦点,I为PF1F2内切圆的圆心,则圆心I的横坐标恒为定值a.考向突破考向一双曲线的定义例1(2018江西赣南五校联考,10)已知双曲线C:-=1(a0,b0)的离心率为2,左,右焦点分别为F1,F2,点A在双曲线C上,若AF1F2的周长为10a,则AF1F2的面积为()A.2a2B.a2C.30a2D.15a2 解析由双曲线的对称性不妨设A在双曲线的右支上,由e=2,得c

4、=2a,AF1F2的周长为|AF1|+|AF2|+|F1F2|=|AF1|+|AF2|+4a,又AF1F2的周长为10a,|AF1|+|AF2|=6a,又|AF1|-|AF2|=2a,|AF1|=4a,|AF2|=2a.在AF1F2中,|F1F2|=4a,cosF1AF2=.sinF1AF2=, =|AF1|AF2|sinF1AF2=4a2a=a2.故选B.答案B考向二双曲线的标准方程例2(2019内蒙古赤峰二中模拟,8)已知双曲线-=1(a0,b0)的左,右焦点分别为F1,F2,点P(2,)在双曲线上,且|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等差数列,则该双曲线的方程为()A.x2-y2=1

5、B.-=1C.x2-=1D.-=1解析设|PF1|=m,|F1F2|=2c,|PF2|=n.m-n=2a.|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等差数列,4c=m+n.m=a+2c=,n=2c-a=,联立解得a=1,c=,b2=c2-a2=1,双曲线的标准方程为x2-y2=1.故选A.答案A考点二双曲线的几何性质考向基础 焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程-=1(a0,b0)-=1(a0,b0)范围|x|a|y|a焦点F1(-c,0)、F2(c,0)F1(0,-c)、F2(0,c)顶点A1(-a,0)、A2(a,0)A1(0,-a)、A2(0,a)对称性关于x轴、y轴对称,关于原点对称实、虚

6、轴长实轴长为2a,虚轴长为2b离心率双曲线的焦距与实轴长的比e=渐近线方程y=xy=x【常见结论】(1)等轴双曲线:实轴长和虚轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线.双曲线为等轴双曲线双曲线的离心率e=两条渐近线互相垂直.(2)共轭双曲线的性质:它们有共同的渐近线;它们的四个焦点共圆;它们的离心率的倒数的平方和等于1.(3)焦点到渐近线的距离为b.考向突破考向一双曲线的渐近线例1(2019安徽宣城二模,10)已知双曲线C:-=1(a0,b0)的左、右焦点分别为F1、F2,O为坐标原点,P是双曲线在第一象限内的点,直线PO交双曲线C左支于点M,直线PF2交双曲线C右支于点N,若|PF1|=2|PF2|,

7、且MF2N=60,则双曲线C的渐近线方程为()A.y=xB.y=xC.y=2xD.y=2x解析连接F1M.点P是双曲线C在第一象限内的点,|PF1|-|PF2|=2a,又知|PF1|=2|PF2|,|PF1|=4a,|PF2|=2a,直线PO交双曲线C左支于点M,由对称性可知,|PO|=|OM|,又|OF1|=|OF2|,四边形PF1MF2为平行四边形,|MF2|=|PF1|=4a.在POF2中,由余弦定理得4a2=|PO|2+c2-2c|PO|cosPOF2,在POF1中,由余弦定理得16a2=|PO|2+c2+2c|PO|cosPOF2,由+得20a2=2|PO|2+2c2,|PO|2=1

8、0a2-c2,即|PO|=,|PM|=2,又直线PF2交双曲线C右支于点N,且MF2N=60,MF2P=120.在PMF2中,由余弦定理得4(10a2-c2)=4a2+16a2-22a4acos 120,即c2=3a2,又知c2=a2+b2,a2+b2=3a2,=2,=,双曲线C的渐近线方程为y=x,故选A.答案A考向二双曲线的离心率例2(2019新疆石河子第一中学月考,10)在平面直角坐标系xOy中,已知双曲线C:-=1(b0,a0)的左焦点为F,点B的坐标为(0,b),若直线BF与双曲线C的两条渐近线分别交于P,Q两点,且=5,则双曲线C的离心率为()A.B.C.D.2解析左焦点为F(-c

9、,0),点B的坐标为(0,b),直线PQ的方程为y=(x+c),与y=x联立得P.与y=-x联立得Q.=5,则0-=52c=3ae=.故选B.答案B考点三直线与双曲线的位置关系考向基础直线与双曲线的位置关系主要是指公共点问题、相交弦问题及其他综合问题.解决这样的问题,常用下面的方法:将双曲线方程C:-=1与直线方程l:y=kx+m联立消去y,整理得(b2-a2k2)x2-2a2mkx-a2m2-a2b2=0.当b2-a2k2=0,即k=时,直线l与双曲线C的一条渐近线平行,直线l与双曲线C只有一个交点;当b2-a2k20,即k时,设该一元二次方程根的判别式为.(1)当0时,直线与双曲线有两个公

10、共点M(x1,y1),N(x2,y2),则可结合根与系数的关系,代入弦长公式|MN|=求弦长;(2)当=0时,直线与双曲线相切;(3)当0,b0)上的三个不同的点,其中A,B关于原点对称,则直线PA与PB的斜率之积为.(3)弦中点结论:设AB为双曲线不平行于x轴,y轴的弦,点M为弦AB的中点.标准方程点差法结论-=1(a0,b0)kABkOM=-=1(a0,b0)kABkOM=考向突破考向直线与双曲线的位置关系例已知双曲线C:x2-y2=1及直线l:y=kx-1.(1)若l与C有两个不同的交点,求实数k的取值范围;(2)若l与C交于A,B两点,O是坐标原点,且AOB的面积为,求实数k的值.解题

11、导引 解析(1)双曲线C与直线l有两个不同的交点,则方程组有两个不同的解,消去y整理得(1-k2)x2+2kx-2=0.解得-k且k1.故当-k|x2|时,SOAB=SOAD-SOBD=(|x1|-|x2|)=|x1-x2|;当A,B两点在双曲线的两支上且x1x2时,SOAB=SOAD+SOBD=(|x1|+|x2|)=|x1-x2|.综上,SOAB=|x1-x2|=,(x1-x2)2=(2)2,即+=8,解得k=0或k=.又-k0,b0)的右顶点为A,以A为圆心,b为半径作圆A,圆A与双曲线C的一条渐近线交于M,N两点.若MAN=60,则C的离心率为.解题导引 解析解法一:不妨设点M、N在渐近线y=x上,如图,AMN为等边三角形,且|AM|=b,则A点到渐近线y=x的距离为b,