世界数学史上十个著名不等式

1、世界数学史上十个有名不等式数学史上的十个有名不等式在数学领域里，不等式知识占有广阔的天地，而一个个的重要不等式又把这片天地装点得更加丰富多彩下面纲领介绍一些有名的不等式一、平均不等式（均值不等式）设，是个实数，叫做这个实数的算术平均数当这个实数非负时，叫做这个非负数的几何平均数当这个实数均为正数时，叫做这个正数的调停平均数设，为个正数时，对以下的平均不等式：，当且仅当时等号建立平均不等式是一个重要的不等式，它的应用特别广泛，如求某些函数的最大值和最小值即是其应用之一设，是个正的变数，则（1）当积是定值时，和有最小值，且；（2）当和是定值时，积有最大值，且1/6世界数学史上十个有名不等式两者都是

2、当且仅当个变数相互相等时，即时，才能获取最大值或最小值在中，当时，分别有，平均不等式经常用到的几个特例是（下面出现的时等号建立；（3），当且仅当时等号建立；（4），当且仅当时等号建立二、柯西不等式（柯西许瓦兹不等式或柯西布尼雅可夫斯基不等式）对任意两组实数，；，有，其中等号当且仅当时建立柯西不等式经常用到的几个特例（下面出现的，；，都表示实数）是：（1），则2）2/6世界数学史上十个有名不等式3）柯西不等式是又一个重要不等式，有很多应用和实行，与柯西不等式有关的竞赛题也频频出现，这充分显示了它的独到意位三、闵可夫斯基不等式设，；，是两组正数，则（）（）当且仅当时等号建立闵可夫斯基不等式是用某种

3、长度胸襟下的三角形不等式，当时得平面上的三角形不等式：右图给出了对上式的一个直观理解若记，则上式为四、贝努利不等式3/6世界数学史上十个有名不等式（1）设，且同号，则（2）设，则（）当时，有；（）当或时，有，上两式当且仅当时等号建立不等式（1）的一个重要特例是（）五、赫尔德不等式已知（）是个正实数，则上式中若令，则此赫尔德不等式即为柯西不等式六、契比雪夫不等式（1）若，则；（2）若，则下面给出一个时的契比雪夫不等式的直观理解4/6世界数学史上十个有名不等式如图，矩形OPAQ中，显然阴影部分的矩形的面积之和不小于空白部分的矩形的面积之和，（这可沿图中线段MN向上翻折比较即知）于是有，也即七、排序

4、不等式设有两组数，；，满足，则有，式中的，是1，2，的任意一个排列，式中的等号当且仅当或时建立以上排序不等式也可简记为：反序和乱序和同序和这个不等式在不等式证明中占有重要地位，它使很多困难问题瓜熟蒂落八、含有绝对值的不等式为复数，则，左边的等号仅当的幅角差为时建立，右边的等号仅当的幅角相等时建立，这个不等式也称为三角形不等式，其一般形式是，也可记为绝对值不等式在实数的条件下用得很多。5/6世界数学史上十个有名不等式九、琴生不等式设是（）内的凸函数，则对于（）内任意的几个实数有，等号当且仅当时获取琴生不等式是丹麦数学家琴生于1905年到1906年间建立的。利用琴生不等式我们可以获取一系列不等式，比方“幂平均不等式”，“加权的琴生不等式”等等十、艾尔多斯莫迪尔不等式设P为内部或界线上一点，P到三边距离分别为PD，PE，PF，则，当且仅当为正三角形，且P为三角形中心时上式取等号这是用于几何问题的证明和求最大（小）值时的一个