具有混合动态约束的系统优化调度

1、最优控制课程Project报告PAGE 具有混合动态约束的系统优化调度火电机组子问题求解第一小组成员： 杨勇 李培 李洁 张俊杰 目 录第一章 引言问题分析实验结果心得体会致谢具有混合动态约束的系统优化调度火电机组子问题求解新方法引言优化的问题由来已久。从人类劳动的历史开始，优化的问题就应运而生了。如何在客观条件一定的情况下，使一件事做的更好，就成为人类不懈追求的目标。使一件事做的更好可能是花费时间最少，等量产出的情况下消耗最小等等，这就关系到如何安排一系列事件的顺序等问题。随着历史的发展，优化问题的研究也在不断的进步。如今一方面，系统优化问题渗透到许多学科研究之中，另一方面，优化也成为了一门

2、专门的学科并且有了坚实的理论基础和一系列的经典方法。 生产优化调度的目的是合理安排有限的生产资源，达到成本最低、能源最省等目标。对于电力、化工等一大类生产系统，通常包括多套不同型号的生产设备。优化调度问题除要考虑生产量、原料限制、合同产量等系统约束外，每个单台设备通常具有十分复杂的离散动态运行约束如不连续输出区间、开关机约束，以及连续动态运行约束如生产能力、输出变化限制等。本文的研究就是在这样的背景之下进行的。主要讨论了火电机组的调度问题。为了在满足各种系统约束（生产量，合同成本，开关机约束，爬升约束等等）的前提下是系统的费用最低，能源最省，如何调度不同机组的开关机时间，决定单个机组的开关机序

3、列和发电功率就是我们的目标。问题分析1系统方法从数学规划的角度来看，整个火电机组（24个机组）的调度问题属于NP问题，即随着系统规模的增大，计算量将呈现指数增长的趋势。当系统规模增长到一定程度时，直接求解这个问题是不可能的或者几乎不可能的，例如有时候，以目前的计算机运行速度计算，将要需要几十万年甚至上百万年数量级；即使是几个月的时间也是不现实的，因为如果那样的话将会失去实际意义。近年的研究表明拉格朗日松弛法是求解具有可分结构问题的最有效算法之一，其主要思想是在对偶理论基础上，利用拉氏乘子松弛系统约束，将原问题分解成若干子问题，形成二级优化结构。下级对子问题分别求解，上级更新拉氏乘子。对偶解收敛

4、后，再应用启发式方法或系统化方法将对偶解调整为可行解。拉格朗日松弛法的主要优点包括：将大规模问题分解为若干子问题求解从而降低了复杂度；便于灵活处理多种约束；计算时间随问题规模增大仅呈线性增长；计算中得到的对偶函数值可定量评价可行调度方案的优劣；Lagrange乘子在实际中有重要的经济意义。整个火电机组的调度问题可以通过拉各朗日松弛法分解为多个子问题求解，即各个单个机组的开关机问题。单个机组的开关机问题是一个具有混合参数（连续参数，离散参数）的最优控制问题。通过解耦的方法分别处理离散参数和连续参数，使两方面的控制都达到最优。首先应用动态规划法，在每个连续运行的时段内，确定最优的连续决策变量，然后

5、再利用动态规划法，求解最优的离散状态和控制。鉴于整个火电机组生产调度问题复杂度和工组量的因素（各种约束可能达到上万个），我们在这里只是尝试解决单机组的优化调度问题，即下层的子问题。那么这个子系统的输入是拉各朗日乘子，输出是这个机组的最小消耗成本。在这个子系统中要考虑发电量约束，最小开关机约束，功率的爬升约束，冷开机时间等多种约束。在这个子问题中，单机组的最优开关机序列是一个重要的结果。是连接输入参数和输出参数的桥梁。2问题描述考虑有I套火电机组的系统，调度周期为T个时段，那么整个机组的混合优化问题可以表示为： （1）这里和分别是机组在第时段内的连续和离散状态变量，为表示控制机组的离散控制变量。

6、通常对应于机组在第时段内的发电量，为机组在第时段内的生产成本，为离散状态转换引起的费用，一般仅当与异号时此费用非零，否则为零，它与机组目前的状态和离散控制变量有关。问题的约束可分为系统约束与设备约束两类，系统约束主要包括：(2)(3)其中为第时段的发电量要求， 表示电力系统调度中的系统备用，是设备在第时段内发电量为时消耗的原料（不等号相反）, 是第时段的原料限制（或系统备用需求）。设备约束主要包括：连续状态方程：，(4)其中为连续控制变量；离散状态方程： (5)离散状态方程通常表示设备开机时间（取正值）或关机时间（取负值）的演变，比如表示第时段内设备处于开机状态，且已连续开了3个时段；连续状态

7、约束：，(6)通常表示机组的生产能力和最小输出，其中、分别为设备的最小和最大输出量，因为物理约束和效率的考虑，机组的输出区间可能是不连续的，即一般不为0；连续控制变量约束：，(7)表示机组输出变化能力，其中为机组输出变化率上限；离散控制变量约束：(8)表示对机组开关机的限制，其中为最小开机时间，为最小关机时间；3拉格朗日松弛接下来我们在Lagrange松弛法框架下引入对偶函数如下： （9）这样就可以松弛掉系统约束和产量约束，是对应于系统约束的乘子向量，是对应于产量约束的乘子向量。在此基础上，连续控制变量（功率爬升约束）和离散控制变量（开机，关机时间）的对偶问题可描述为： （10）不难看出，(9

8、)可以分解为：其中： (11)称为第i个子问题，它只与机组i有关，这样通过解对偶问题（11）就可以间接获得原问题的解。求解时的基本步骤如下：初始化乘子求解所有子问题修正乘子，判断解是否收敛，若未收敛，转b，否则停止。我们的工作就是求解子问题。4. 子问题解决方案a)离散状态变量和离散控制约束的优化通过拉格朗日松弛法，我们得到了火电机组解耦以后的子问题。在解对偶问题时，由于系统约束已被松弛，所以只需考虑单机组的约束(4)-(8)。当连续控制变量约束(7)不存在（即）时，解子问题(12)可采用动态规划法直接求解。每一个离散状态所对应的最优连续状态变量是唯一的，若第时段，则相应的最优连续状态变量为：

9、 (13)由于连续控制变量约束（7）的存在，我们采用按离散控制变量的变化来划分阶段，得到如下的状态转移图（为描述方便，假定设备初始时刻处于关机状态且已关够最小关机时间，其它情况下状态转移图的建立过程完全类似）：说明：每个圆圈表示一个状态，圈上的数字对应一个时段编号。由于初始时设备处于关机状态，所以第一阶段的任务是决定何时开机，又因为设备已关够最小关机时间，所以最早的可以开机的时段是第1时段。既然第1时段可以作为第1次开机时段，那么其它时段都可以作为第1次开机时段，另外，一种可能的决策是设备一直不开机，为容纳这种决策，在图中加入一个时段，编号为，因此第1阶段的所有决策含义已明确（每个决策对应一条

10、线段）。接下来是第2阶段，第2阶段的任务是决定第一次关机操作在哪个时段进行。对于离散状态变量和离散控制约束，我们可以用动态规划的方法直接求解。动态规划的基本思想：动态规划是解决多段决策过程的极为有力的工具。有以下假定：目标函数具有Markov性质认为现在和将来的决策不影响过去的状态，决策和目标。存在状态反馈控制认为u(k)=u(x(k),k)，即x(k)可以获得，不论是直接测量或是重构；根据x（k），立即作出决策u（k）。用从后往前的逆推方法，即如果某一时刻以后的控制是最优的，那么它以后的任何时段的控制也都是最优的，就可以得到每个时段的最优控制u，这就是Bellman方程： 定义：Bellma

11、n方程：b)连续控制变量的优化在计算开机区间决策费用时，动态规划的方法是一种比较有效的方法，通过求得各时段的出发费用(Cost-to-go)函数来得到最优的连续状态和控制。已有文献在解决此问题时基本思想是结构动态规划(6,10,14)，但由于未能充分利用问题(1)-(8)的特性，计算过程比较复杂。通过分析连续动态约束特性，在这里，我们使用了一种简化结构动态规划新算法，它的基本思想是通过分段线性函数的平移和相加运算来求得各时段的出发费用。方法计算过程简单且计算量非常小。假定，是两个时段编号且，再假定对应于图2中一个开机区间，由(12)式知该决策的费用为离散状态转换费用(相应于开机区间之后的关机操

12、作的费用，此项费用容易计算)与下述连续优化问题的最优值之和：(14)其中所受约束包括：(15)(16)(17) (14)-(17)是一个非线性规划问题，且只含连续变量。在很多实际问题中，设备性能曲线通常都是以离散点方式给出，是连续分段线性函数。应用简化结构动态规划法对(14)-(17)求解。首先递归定义出发费用函数：(18)上式的极小化受(16)、(17)约束。考虑到（15），记(19)于是(20)由此可得问题(14)-(17)的动态规划递推算法如下：1反向递推：初始化，置。对，由(20)求得。2正向递推：初始化，置：，其中受 (17)约束。对，依次计算：在(19)中置为，求得(19)的最优解

13、为，置。根据动态规划原理，上述算法中得到的、就是(14)-(17)的最优解。在上述算法的第一步，要求得到出发费用函数的表达式，这是结构动态规划方法与一般动态动态规划方法的最大区别。若，均为凸的分段线性函数，问题可以大大简化。此时可证也是凸分段线性函数(6,10,12)，所以只需要确定转折点，就可以确定的表达式。考虑到(14)-(17)的特点，提出简化结构动态规划法计算，使得第二步的计算非常简单。以下是针对g凸函数的情况下所进行的相应的平移操作，具体证明从略。其中，情况一是g为单调增的情况，情况2是g为单调减的情况，情况3为先减后增的情况。图3. 与的关系下面我们以求解开机区间23，24的出发费

14、用为例，说明上述算法及其物理意义。首先进行反向递推：给出24时刻所对应的函数（，在不影响问题本质的前提下，我们简化了f的表达式，忽略了乘子u），并找出g的极小值点，图中是x130。从最低点处，平移爬升约束个单位，如下图所示：将其与23时刻的g函数相加： 得到23时刻的出发费用函数如下图所示：类似的，如果开机区间为22，23，24，求22时刻的出发费用，则需将23时刻的出发费用函数进行响应平移，如下图所示：然后再按照递推公式，与22时刻的f函数相加，即可得到22时刻的出发费用。其他开机区段的出发费用函数类似。最后，根据正向递推，求出最优的连续状态和控制。首先求出令出发费用最低的（即：求出出发费用

15、函数的最小值点）；根据下一时刻的出发费用函数，决定出下一个最优状态；由和的出；循环进行b)、c),直到求出最后一个开机时段的最优状态。第三章 实验结果1实验（1）所用数据pmax=130; 最大功率pmin=20; 最小功率tminup=5; 最小开机时间tmindown=5; 最小关机十几年tcoldup=9; 冷关机时间delta=40; 爬升约束hotstart=500; 热启动费用coldstart=2*hotstart; 冷启动费用l=12,23,17,17,36,17.5,18,27,15,6,8,16,22,50,10,20,37,16,8,26,17,12,22,30; 乘子向

16、量step=(pmax-pmin)/22;point=pmin:step:pmax;costofpoint=0.002*point.*point+16.6*point+700; 费用函数2实验所求得的最优状态及最小费用开机序列（0：关机态 1：开机态）a = Columns 1 through 12 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 Columns 13 through 24 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 1最优状态序列：e = Columns 1 through 12 0 0 0 100 130 130 130 130 0 0 0 0 Columns 13 thr

17、ough 24 0 130 90 130 130 90 0 0 0 0 0 130调度得到的最小值mincost = -3.6202e+003最优状态的图形表示如下：3用遍历法得到的结果为了与动态规划的方法进行比较，我们还采用了遍历的方法用遍历方法得到的结果：开机序列（0：关机态 1：开机态）a = Columns 1 through 12 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 Columns 13 through 24 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 1最优状态序列：e = Columns 1 through 12 0 0 0 100 130 130 130 130 0

18、 0 0 0 Columns 13 through 24 0 130 90 130 130 90 0 0 0 0 0 130调度得到的最小值mincost = -3.6202e+003开机序列（0：关机态 1：开机态）a = Columns 1 through 12 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 Columns 13 through 24 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 1最优状态序列：e = Columns 1 through 12 0 0 0 100 130 130 130 130 0 0 0 0 Columns 13 through 24 0 130 90

19、130 130 90 0 0 0 0 0 130调度得到的最小值mincost = -3.6202e+003遍历结果的图形输出如下：1实验（2）所用数据pmax=130; 最大功率pmin=20; 最小功率tminup=5; 最小开机时间tmindown=5; 最小关机十几年tcoldup=9; 冷关机时间delta=40; 爬升约束hotstart=560; 热启动费用coldstart=2*hotstart; 冷启动费用l=12,23,17,17,36,17.5,18,27,15,6,8,16,22,50,10,20,37,16,8,26,17,12,22,30; 乘子向量step=(pm

20、ax-pmin)/22;point=pmin:step:pmax;costofpoint=0.00211*point.*point+16.5*point+680; 费用函数2实验所求得的最优状态及最小费用开机序列（0：关机态 1：开机态）a = Columns 1 through 12 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 Columns 13 through 24 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 1最优状态序列：e = Columns 1 through 12 0 0 0 120 130 130 130 130 0 0 0 0 Columns 13 through 24

21、 0 130 90 130 130 90 0 0 0 0 0 130调度得到的最小值mincost = -3.9552e+003最优状态的图形表示如下：3用遍历法得到的结果为了与动态规划的方法进行比较，我们还采用了遍历的方法用遍历方法得到的结果：开机序列（0：关机态 1：开机态）a = Columns 1 through 12 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 Columns 13 through 24 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 1最优状态序列：e = Columns 1 through 12 0 0 0 120 130 130 130 130 0 0 0 0

22、Columns 13 through 24 0 130 90 130 130 90 0 0 0 0 0 130调度得到的最小值mincost = -3.9552e+003开机序列（0：关机态 1：开机态）a = Columns 1 through 12 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 Columns 13 through 24 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 1最优状态序列：e = Columns 1 through 12 0 0 0 100 130 130 130 130 0 0 0 0 Columns 13 through 24 0 130 90 130 130 90 0 0 0 0 0 130调度得到的最小值mincost = -3.6202e+003遍历结果的图形输出如下：4两种方法的比较