2023届高考数学复习-最新3年高考2年模拟(9)数列

1、【3年高考2年模拟】第六章数列 第一局部 三年高考题荟萃2023年高考 数列一、选择题12023辽宁文在等差数列an中,a4+a8=16,那么a2+a10=A12B16C20D242 2023辽宁理在等差数列an中,a4+a8=16,那么该数列前11项和S11=A58B88C143D1763 2023四川文设函数,是公差不为0的等差数列,那么A0B7C14D214 2023四川理设函数,是公差为的等差数列,那么ABCD5 2023上海文假设,那么在中,正数的个数是A16.B72.C86.D100.6 2023上海理设,. 在中,正数的个数是A25.B50.C75.D100.7 2023课标文数

2、列满足,那么的前60项和为A3690B3660C1845D183082023江西文观察以下事实|x|+|y|=1的不同整数解(x,y)的个数为4 , |x|+|y|=2的不同整数解(x,y)的个数为8, |x|+|y|=3的不同整数解(x,y)的个数为12 .那么|x|+|y|=20的不同整数解(x,y)的个数为A76B80C86D929 2023湖北文定义在上的函数,如果对于任意给定的等比数列仍是等比数列,那么称为“保等比数列函数.现有定义在上的如下函数:;.那么其中是“保等比数列函数的的序号为ABCD10 2023福建文数列的通项公式,其前项和为,那么等于A1006B2023 C503D0

3、11 2023大纲文数列的前项和为,那么ABCD12 2023北京文理某棵果树前年得总产量与之间的关系如下图,从目前记录的结果看,前年的年平均产量最高,的值为A5B7C9D11 132023北京文为等比数列.下面结论中正确的是ABC假设,那么D假设,那么142023安徽文公比为2的等比数列 的各项都是正数,且 =16,那么ABCD15 2023新课标理为等比数列,那么ABCD16 2023浙江理设S n是公差为d(d0)的无穷等差数列a n的前n项和,那么以下命题错误的是A假设d0,那么数列S n有最大项B假设数列S n有最大项,那么d0D假设对任意的nN*,均有S n0,那么数列S n是递增

4、数列17 2023重庆理在等差数列中,那么的前5项和=A7B15C20D25 18 2023江西理观察以下各式:a+b=1.a+b2=3,a3+b3=4 ,a4+b4=7,a5+b5=11,那么a10+b10=A28B76C123D19919 2023湖北理定义在上的函数,如果对于任意给定的等比数列, 仍是等比数列,那么称为“保等比数列函数. 现有定义在上的如下函数:; ; ; .那么其中是“保等比数列函数的的序号为A B C D 1 02023福建理等差数列中,那么数列的公差为A1B2C3D4212023大纲理等差数列的前项和为,那么数列的前100项和为ABCD222023安徽理公比为等比数

5、列的各项都是正数,且,那么ABCD二、填空题12023福建理得三边长成公比为的等比数列,那么其最大角的余弦值为_.22023重庆文首项为1,公比为2的等比数列的前4项和_32023上海文.各项均为正数的数列满足,.假设,那么的值是_.42023辽宁文等比数列an为递增数列.假设a10,且2(a n+a n+2)=5a n+1 ,那么数列an的公比q = _.52023课标文等比数列的前n项和为Sn,假设S3+3S2=0,那么公比=_62023江西文等比数列的前项和为,公比不为1。假设,且对任意的都有,那么_。72023湖南文对于,将表示为,当时,当时为0或1,定义如下:在的上述表示中,当,中等

6、于1的个数为奇数时,;否那么。(1)_;(2)记为数列中第个为0的项与第个为0的项之间的项数,那么的最大值是_.82023湖北文传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上面画点或用小石子表示数.他们研究过如下图的三角形数:将三角形数1,3, 6,10,记为数列,将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列,可以推测:()是数列中的第_项;()_.(用表示)92023广东文(数列)假设等比数列满足,那么_.102023北京文为等差数列,为其前项和.假设,那么_;=_.112023新课标理数列满足,那么的前项和为_122023浙江理设公比为q(q0)的等比数列a n的前n项和为S n.假

7、设 ,那么q=_.132023上海春等差数列的首项及公差均为正数,令当是数列的最大项时,_.142023辽宁理等比数列为递增数列,且,那么数列的通项公式_.152023江西理设数列都是等差数列,假设,那么_。162023湖南理设N=2n(nN*,n2),将N个数x1,x2,xN依次放入编号为1,2,N的N个位置,得到排列P0=x1x2xN.将该排列中分别位于奇数与偶数位置的数取出,并按原顺序依次放入对应的前和后个位置,得到排列P1=x1x3xN-1x2x4xN,将此操作称为C变换,将P1分成两段,每段个数,并对每段作C变换,得到;当2in-2时,将Pi分成2i段,每段个数,并对每段C变换,得到

8、Pi+1,例如,当N=8时,P2=x1x5x3x7x2x6x4x8,此时x7位于P2中的第4个位置.(1)当N=16时,x7位于P2中的第_个位置;(2)当N=2n(n8)时,x173位于P4中的第_个位置.172023湖北理回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数.如22,121,3443,94249等.显然2位回文数有9个:11,22,33,99.3位回文数有90个:101,111,121,191,202,999.那么()()182023广东理(数列)递增的等差数列满足,那么_.192023福建理数列的通项公式,前项和为,那么_.202023北京理为等差数列,为其前项和.假设,那么_

9、.三、解答题12023重庆文(本小题总分值13分,()小问6分,()小问7分)为等差数列,且()求数列的通项公式;()记的前项和为,假设成等比数列,求正整数的值.22023浙江文数列an的前n项和为Sn,且Sn=,nN,数列bn满足an=4log2bn+3,nN.(1)求an,bn;(2)求数列anbn的前n项和Tn.32023天津文(此题总分值13分)是等差数列,其前项和为,是等比数列,且.(I)求数列与的通项公式;(II)记()证明:.42023四川文为正实数,为自然数,抛物线与轴正半轴相交于点,设为该抛物线在点处的切线在轴上的截距.()用和表示;()求对所有都有成立的的最小值;()当时,

10、比拟与的大小,并说明理由.52023四川文数列的前项和为,常数,且对一切正整数都成立.()求数列的通项公式;()设,当为何值时,数列的前项和最大?62023上海文对于项数为m的有穷数列数集,记(k=1,2,m),即为中的最大值,并称数列是的控制数列.如1,3,2,5,5的控制数列是1，3,3,5,5.(1)假设各项均为正整数的数列的控制数列为2,3,4,5,5,写出所有的;(2)设是的控制数列,满足(C为常数,k=1,2,m).求证:(k=1,2,m);(3)设m=100,常数.假设,是的控制数列,求.72023陕西文等比数列的公比为q=-.(1)假设=,求数列的前n项和;()证明:对任意,成

11、等差数列.82023山东文等差数列的前5项和为105,且.()求数列的通项公式;()对任意,将数列中不大于的项的个数记为.求数列的前m项和.92023江西文数列|an|的前n项和(其中c,k为常数),且a2=4,a6=8a3(1)求an;(2)求数列nan的前n项和Tn.102023湖南文某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产.该企业第一年年初有资金2000万元,将其投入生产,到当年年底资金增长了50%.预计以后每年资金年增长率与第一年的相同.公司要求企业从第一年开始,每年年底上缴资金d万元,并将剩余资金全部投入下一年生产.设第n年年底企业上缴资金后的剩余资金为an万元.()用d表示a1,a

12、2,并写出与an的关系式;()假设公司希望经过m(m3)年使企业的剩余资金为4000万元,试确定企业每年上缴资金d的值(用m表示).11、2023湖北文等差数列前三项的和为,前三项的积为.(1)求等差数列的通项公式;(2)假设成等比数列,求数列的前项和.122023广东文(数列)设数列的前项和为,数列的前项和为,满足,.()求的值;()求数列的通项公式.132023福建文在等差数列和等比数列中,的前10项和.()求和;()现分别从和的前3项中各随机抽取一项,写出相应的根本领件,并求这两项的值相等的概率.142023大纲文数列中,前项和.()求;()求的通项公式.152023安徽文设函数的所有正

13、的极小值点从小到大排成的数列为.()求数列;()设的前项和为,求.162023辽宁理在中,角A、B、C的对边分别为a,b,c.角A,B,C成等差数列.()求的值;()边a,b,c成等比数列,求的值.172023山东文(本小题总分值12分)在ABC中,内角所对的边分别为,.()求证:成等比数列;()假设,求的面积S.182023辽宁文在中,角A、B、C的对边分别为a,b,c.角A,B,C成等差数列.()求的值;()边a,b,c成等比数列,求的值.192023天津理是等差数列,其前项和为,是等比数列,且=,.()求数列与的通项公式;()记,证明.202023新课标理分别为三个内角的对边,(1)求

14、(2)假设,的面积为;求.212023重庆理(本小题总分值12分,(I)小问5分,(II)小问7分.)设数列的前项和满足,其中.(I)求证:是首项为1的等比数列;(II)假设,求证:,并给出等号成立的充要条件.222023四川理为正实数,为自然数,抛物线与轴正半轴相交于点,设为该抛物线在点处的切线在轴上的截距.()用和表示;()求对所有都有成立的的最小值;()当时,比拟与的大小,并说明理由.232023四川理数列的前项和为,且对一切正整数都成立.()求,的值;()设,数列的前项和为,当为何值时,最大?并求出的最大值.242023上海理对于数集,其中,定义向量集. 假设对于任意,存在,使得,那么

15、称X具有性质P. 例如具有性质P.(1)假设x2,且,求x的值;(2)假设X具有性质P,求证:1X,且当xn1时,x1=1;(3)假设X具有性质P,且x1=1,x2=q(q为常数),求有穷数列的通项公式.252023上海春此题共有3个小题,第1小题总分值4分,第2小题总分值6分,第3小题总分值6分.数列满足(1)设是公差为的等差数列.当时,求的值;(2)设求正整数使得一切均有(3)设当时,求数列的通项公式.262023陕西理设的公比不为1的等比数列,其前项和为,且成等差数列.(1)求数列的公比;(2)证明:对任意,成等差数列.272023山东理在等差数列中,.()求数列的通项公式;()对任意,

16、将数列中落入区间内的项的个数记为,求数列 的前项和.282023江西理数列an的前n项和,且Sn的最大值为8.(1)确定常数k,求an;(2)求数列的前n项和Tn.292023江苏设集合,.记为同时满足以下条件的集合的个数:;假设,那么;假设,那么.(1)求;(2)求的解析式(用表示).302023江苏各项均为正数的两个数列和满足:,(1)设,求证:数列是等差数列;(2)设,且是等比数列,求和的值.312023湖南理数列an的各项均为正数,记A(n)=a1+a2+an,B(n)=a2+a3+an+1,C(n)=a3+a4+an+2,n=1,2。(1)假设a1=1,a2=5,且对任意nN,三个数

17、A(n),B(n),C(n)组成等差数列,求数列 an 的通项公式.(2)证明:数列 an 是公比为q的等比数列的充分必要条件是:对任意,三个数A(n),B(n),C(n)组成公比为q的等比数列.322023湖北理等差数列前三项的和为,前三项的积为.()求等差数列的通项公式;()假设,成等比数列,求数列的前项和.232023广东理设数列的前项和为,满足,且、成等差数列.()求的值;()求数列的通项公式;()证明:对一切正整数,有.342023大纲理(注意:在试卷上作答无效)函数.定义数列如下:是过两点的直线与轴交点的横坐标.(1)证明:;(2)求数列的通项公式.352023北京理设A是由个实数

18、组成的行列的数表，满足：每个数的绝对值不大于1，且所有数的和为零.记为所有这样的数表构成的集合.对于，记为A的第行各数之和，为A的第列各数之和；记为，中的最小值.1对如下数表A,求的值；11-0.80.1-0.3-12设数表A=形如111-1求的最大值；3给定正整数，对于所有的AS(2，),求的最大值。362023安徽理数列满足:(I)证明:数列是单调递减数列的充分必要条件是(II)求的取值范围,使数列是单调递增数列.参考答案一、选择题1. 【答案】B【解析】,应选B 【点评】此题主要考查等差数列的通项公式、同时考查运算求解能力,属于容易题. 2、【答案】B 【解析】在等差数列中,答案为B 【

19、点评】此题主要考查等差数列的通项公式、性质及其前n项和公式,同时考查运算求解能力,属于中档题.解答时利用等差数列的性质快速又准确. 3. 答案D 解析是公差不为0的等差数列,且点评本小题考查的知识点较为综合,既考查了高次函数的性质又考查了等差数列性质的应用,解决此类问题必须要敢于尝试,并需要认真观察其特点. 4、答案D 解析数列an是公差为的等差数列,且 即 得点评此题难度较大,综合性很强.突出考查了等差数列性质和三角函数性质的综合使用,需考生加强知识系统、网络化学习. 另外,隐蔽性较强,需要考生具备一定的观察能力. 5. xy23465xy234658913121110714其终边两两关于x

20、轴对称,故有均为正数,而,由周期性可知,当14k-13n14k时,Sn0,而,其中k=1,2,7,所以在中有14个为0,其余都是正数,即正数共有100-14=86个,选C.6、xy21213242326xy212132423262749483837当26k49时,令,那么,画出k终边如右,其终边两两关于x轴对称,即有,所以+0+=+,其中k=26,27,49,此时,所以,又,所以,从而当k=26,27,49时,Sk都是正数,S50=S49+a50=S49+0=S490.对于k从51到100的情况同上可知Sk都是正数. 综上,可选D.评注 此题中数列难于求和,可通过数列中项的正、负匹配来分析Sk

21、的符号,为此,需借助分类讨论、数形结合、先局部再整体等数学思想.而重中之重,是看清楚角序列的终边的对称性,此为攻题之关键.7. 【命题意图】此题主要考查灵活运用数列知识求数列问题能力,是难题. 【解析】【法1】有题设知=1, =3 =5 =7,=9,=11,=13,=15,=17,=19,-得=2,+得=8,同理可得=2,=24,=2,=40,是各项均为2的常数列,是首项为8,公差为16的等差数列,的前60项和为=1830.【法2】可证明:8. 【答案】B【解析】此题主要为数列的应用题,观察可得不同整数解的个数可以构成一个首先为4,公差为4的等差数列,那么所求为第20项,可计算得结果.9. C

22、 【解析】设数列的公比为.对于,是常数,故符合条件;对于,不是常数,故不符合条件;对于,是常数,故符合条件;对于, ,不是常数,故不符合条件.由“保等比数列函数的定义知应选C.【点评】此题考查等比数列的新应用,函数的概念.对于创新性问题,首先要读懂题意,然后再去利用定义求解,抓住实质是关键.来年需要注意数列的通项,等比中项的性质等.10. 【答案】A【解析】由,可得【考点定位】此题主要考察数列的项、前n项和,考查数列求和能力,此类问题关键是并项求和.11. 答案B【命题意图】本试题主要考查了数列中由递推公式求通项公式和数列求和的综合运用.【解析】由可知,当时得当时,有 -可得即,故该数列是从第

23、二项起以为首项,以为公比的等比数列,故数列通项公式为,故当时,当时,应选答案B12. 【答案】C【解析】由图可知6,7,8,9这几年增长最快,超过平均值,所以应该参加,因此选C.【考点定位】 本小题知识点考查很灵活,要根据图像识别看出变化趋势,判断变化速度可以用导数来解,当然此题假设利用数学估计过于复杂,最好从感觉出发,由于目的是使平均产量最高,就需要随着的增大,变化超过平均值的参加,随着增大,变化缺乏平均值,故舍去.13. 【答案】B【解析】当时,可知,所以A选项错误;当时,C选项错误;当时,与D选项矛盾.因此根据均值定理可知B选项正确.【考点定位】本小题主要考查的是等比数列的根本概念,其中

24、还涉及了均值不等式的知识,如果对于等比数列的根本概念(公比的符号问题)理解不清,也容易错选,当然最好选择题用排除法来做.14. 【解析】选15、【解析】选,或16、【答案】C 【解析】选项C显然是错的,举出反例:1,0,1,2,3,.满足数列S n是递增数列,但是S n0不成立.17、【答案】B【解析】,故.【考点定位】此题考查等差数列的通项公式及前项和公式,解题时要认真审题,仔细解答.18、C【解析】此题考查归纳推理的思想方法.观察各等式的右边,它们分别为1,3,4,7,11,发现从第3项开始,每一项就是它的前两项之和,故等式的右边依次为1,3,4,7,11,18,29,47,76,123,

25、故【点评】归纳推理常常可借助前几项的共性来推出一般性的命题.表达考纲中要求了解归纳推理.来年需要注意类比推理等合情推理.19、考点分析:此题考察等比数列性质及函数计算.解析:等比数列性质,EQ,; ;.选C 20、【答案】B【解析】,而,解得.【考点定位】该题主要考查等差数列的通项公式,考查计算求解能力.21、答案A【命题意图】本试题主要考查等差数列的通项公式和前项和的公式的运用,以及裂项求和的综合运用,通过中两项,得到公差与首项,得到数列的通项公式,并进一步裂项求和.【解析】由可得22、【解析】选二、填空题1. 【答案】【解析】设最小边为,那么其他两边分别为,由余弦定理得,最大角的余弦值为【

26、考点定位】此题主要考查三角形中的三角函数,等比数列的概念、余弦定理,考查分析推理能力、运算求解能力.2. 【答案】:15 【解析】:【考点定位】此题考查等比数列的前n项和公式3. 解析 (*),所以有:,;又,得,令,那么,由题设,所以,变形(*)为,那么,故,所以.4. 【答案】2 【解析】因为数列为递增数列,且【点评】此题主要考查等比数列的通项公式,转化思想和逻辑推理能力,属于中档题. 5. 【命题意图】此题主要考查等比数列n项和公式,是简单题. 【解析】当=1时,=,=,由S3+3S2=0得,=0,=0与是等比数列矛盾,故1,由S3+3S2=0得,解得=-2.6. 【答案】11【解析】由

27、可得公比,可得.【考点定位】此题考查了等比数列的通项公式,以及求和公式,做题时要细心.7. 【答案】(1)3;(2)2.【解析】(1)观察知;一次类推;,b2+b4+b6+b8=3;(2)由(1)知cm的最大值为2.【点评】此题考查在新环境下的创新意识,考查运算能力,考查创造性解决问题的能力.需要在学习中培养自己动脑的习惯,才可顺利解决此类问题.8. ()5030;()【解析】由以上规律可知三角形数1,3,6,10,的一个通项公式为,写出其假设干项有:1,3,6,10,15,21,28,36,45,55,66,78,91,105,110,发现其中能被5整除的为10,15,45,55,105,1

28、10,故.从而由上述规律可猜测:(为正整数),故,即是数列中的第5030项.【点评】此题考查归纳推理,猜测的能力.归纳推理题型重在猜测,不一定要证明,但猜测需要有一定的经验与能力,不能凭空猜测.来年需注意类比推理以及创新性问题的考查.9.解析:.,所以.10. 【答案】1,【解析】,所以,.【考点定位】 本小题主要考查等差数列的根本运算,考查通项公式和前项和公式的计算.11、【解析】的前项和为可证明:12、【答案】【解析】将,两个式子全部转化成用,q表示的式子.即,两式作差得:,即:,解之得:(舍去).13、14、【答案】【解析】【点评】此题主要考查等比数列的通项公式,转化思想和逻辑推理能力,

29、属于中档题. 15、 35【解析】此题考查等差中项的性质及整体代换的数学思想 (解法一)因为数列都是等差数列,所以数列也是等差数列.故由等差中项的性质,得,即,解得.(解法二)设数列的公差分别为,因为,所以.所以.【点评】对于等差数列的计算问题,要注意掌握根本量法这一通法,同时要注意合理使用等差数列的性质进行巧解. 表达考纲中要求理解等差数列的概念.来年需要等差数列的通项公式,前项和,等差中项的性质等.16、【答案】(1)6;(2)【解析】(1)当N=16时,可设为,即为,即, x7位于P2中的第6个位置,;(2)方法同(1),归纳推理知x173位于P4中的第个位置.【点评】此题考查在新环境下

30、的创新意识,考查运算能力,考查创造性解决问题的能力.需要在学习中培养自己动脑的习惯,才可顺利解决此类问题.17、考点分析:此题考查排列、组合的应用.解析:()4位回文数只用排列前面两位数字,后面数字就可以确定,但是第一位不能为0,有9(19)种情况,第二位有10(09)种情况,所以4位回文数有种.答案:90()法一、由上面多组数据研究发现,2n+1位回文数和2n+2位回文数的个数相同,所以可以算出2n+2位回文数的个数.2n+2位回文数只用看前n+1位的排列情况,第一位不能为0有9种情况,后面n项每项有10种情况,所以个数为.法二、可以看出2位数有9个回文数,3位数90个回文数.计算四位数的回

31、文数是可以看出在2位数的中间添加成对的“00,11,22,99,因此四位数的回文数有90个按此规律推导,而当奇数位时,可以看成在偶数位的最中间添加09这十个数,因此,那么.18、解析:.设公差为(),那么有,解得,所以. 19、【答案】【解析】由,可得【考点定位】此题主要考察数列的项、前n项和,考查数列求和能力,此类问题关键是并项求和.20、【答案】1,【解析】,所以,.【考点定位】 本小题主要考查等差数列的根本运算,考查通项公式和前项和公式的计算.三、解答题1. 【答案】:()()【解析】()设数列 的公差为d,由题意知 解得所以()由()可得因成等比数列,所以 从而 ,即 解得 或(舍去)

32、,因此 .2. 【命题意图】此题主要考查等比数列、等差数列的概念,通项公式以及求和公式等根底知识,同时考查了学生的综合分析问题能力和运算求解能力.(1)由Sn=,得当n=1时,;当n2时,nN.由an=4log2bn+3,得,nN.(2)由(1)知,nN所以,nN.3.解:(1)设等差数列的公差为,等比数列的公比为,由,得,由条件得方程组,故(2)证明;由(1)得 由-得,即,而当时,所以4. 解析(1)由得,交点A的坐标为,对那么抛物线在点A处的切线方程为: (2)由(1)知f(n)=,那么即知,对于所有的n成立, 特别地,当n=1时,得到a3 当a=3,n1时,当n=0时,=2n+1.故a

33、=3时对所有自然数n均成立. 所以满足条件的a的最小值为3 (3)由(1)知f(k)=下面证明:首先证明0 x1时,设函数g(x)=6x(x2-x)+1,0 x1, 那么. 当时,g(x)0; 当故g(x)在区间(0,1)上的最小值所以,当0 x0,即得由0a0,且所以,bn单调递减的等差数列(公差为-lg2) 那么 b1b2b3b6=当n7时,bnb7=故数列lg的前6项的和最大 点评本小题主要从三个层面对考生进行了考查. 第一,知识层面:考查等差数列、等比数列、对数等根底知识;第二,能力层面:考查思维、运算、分析问题和解决问题的能力;第三,数学思想:考查方程、分类与整合、化归与转化等数学思

34、想. 6. 解(1)数列为:2, 3, 4, 5, 1;2, 3, 4, 5, 2;2, 3, 4, 5, 3;2, 3, 4, 5, 4;2, 3, 4, 5, 5 (2)因为,所以因为,所以,即因此,(3)对,;.比拟大小,可得因为,所以,即;,即.又,从而,因此=7. 解：1由通项公式可得证明：8.解:(I)由得: 解得,所以通项公式为.(II)由,得,即.,是公比为49的等比数列,.9. 【解析】 (1)当时,那么,c=2.a2=4,即,解得k=2,(n)1)当n=1时,综上所述(2) ,那么(1)-(2)得10. 【解析】()由题意得,.()由()得.整理得 . 由题意,解得.故该企

35、业每年上缴资金的值为缴时,经过年企业的剩余资金为4000元.【点评】此题考查递推数列问题在实际问题中的应用,考查运算能力和使用数列知识分析解决实际问题的能力.第一问建立数学模型,得出与an的关系式,第二问,只要把第一问中的迭代,即可以解决.11.考点分析:考察等差等比数列的通项公式,和前n项和公式及根本运算.解析:()设等差数列的公差为,那么,由题意得 解得或所以由等差数列通项公式可得,或.故,或. ()当时,分别为,不成等比数列;当时,分别为,成等比数列,满足条件. 故记数列的前项和为.当时,;当时,; 当时,. 当时,满足此式. 综上,【点评】此题考查等差数列的通项,求和,分段函数的应用等

36、;考查分类讨论的数学思想以及运算求解的能力.求等差数列的通项一般利用通项公式求解;有时需要利用等差数列的定义:(为常数)或等比数列的定义:(为常数,)来判断该数列是等差数列或等比数列,然后再求解通项;有些数列本身不是等差数列或等比数列,但它含有无数项却是等差数列或等比数列,这时求通项或求和都需要分段讨论.来年需注意等差数列或等比数列的简单递推或等差中项、等比中项的性质.12.解析:()当时,而,所以,解得.()在中用取代的位置,有,两式相减,可得(),所以,两式相减,可得,即(),即,所以数列是一个首项为,公比为2的等比数列.在式子中,令,有,即,所以,于是,所以().当时,也满足该式子,所以

37、数列的通项公式是.13. 【答案】(1), (2)【考点定位】此题主要考查等差、等比数列、古典概型的根本知识,考查运算求解能力,考查转化与划归思想、必然与或然思想,注意留心学习.解:(1)设是数列的公差,是的公比,由题意得:.(2)分别从,中的前三项中各随机抽取一项,得到根本领件有9个,.符合条件的有2个,故所求概率为.14. 【命题意图】本试题主要考查了数列的通项公式与数列求和相结合的综合运用.解:(1)由与可得,故所求的值分别为.(2)当时, -可得即故有而,所以的通项公式为【点评】试题出题比拟直接,没有什么隐含的条件,只要充分发挥利用通项公式和前项和的关系式变形就可以得到结论.15. 【

38、解析】(I)得:当时,取极小值得:(II)由(I)得:当时,当时,当时,得: 当时,当时,当时,16. 【答案及解析】(1)由(2)解法一:,由正弦定理得解法二:,由此得得所以,【点评】此题主要考查三角形的正弦定理、余弦定理、三角形内角和定理及等差、等比数列的定义,考查转化思想和运算求解能力,属于容易题.第二小题既可以利用正弦定理把边的关系转化为角的关系,也可以利用余弦定理得到边之间的关系,再来求最后的结果. 17.解:(I)由得:,那么,再由正弦定理可得:,所以成等比数列.(II)假设,那么,的面积.15. 【答案与解析】(1)由(2)解法一:,由正弦定理得解法二:,由此得得所以,【点评】此

39、题主要考查三角形的正弦定理、余弦定理、三角形内角和定理及等差、等比数列的定义,考查转化思想和运算求解能力,属于容易题.第二小题既可以利用正弦定理把边的关系转化为角的关系,也可以利用余弦定理得到边之间的关系,再来求最后的结果. 19、【命题意图】本试题主要考查了等差数列与等比数列的概率、通项公式、前项和公式、数列求和等根底知识,考查化归与转化的思想方法,考查运算能力、推理论证的能力.(1)设等差数列的公差为,等比数列的公比为,由,得,由条件得方程组,故2【点评】该试题命制比拟直接,没有什么隐含的条件,就是等比与等差数列的综合应用,但方法多样,第二问可以用错位相减法求解证明,也可用数学归纳法证明,

40、给学生思维空间留有余地,符合高考命题选拔性的原那么.20、【解析】(1)由正弦定理得:(2)解得:21、(1)证明:由,得,即.因,故,得,又由题设条件知,两式相减得,即,由,知,因此综上,对所有成立,从而是首项为1,公比为的等比数列.(2)当或时,显然,等号成立.设,且,由(1)知,所以要证的不等式化为:即证:当时,上面不等式的等号成立.当时,与,()同为负;当时, 与,()同为正; 因此当且时,总有 ()()0,即,().上面不等式对从1到求和得,由此得综上,当且时,有,当且仅当或时等号成立.22、解析(1)由得,交点A的坐标为,对那么抛物线在点A处的切线方程为(2)由(1)知f(n)=,

41、那么即知,对于所有的n成立,特别地,取n=2时,得到a当, 2n3+1 当n=0,1,2时,显然故当a=时,对所有自然数都成立 所以满足条件的a的最小值是. (3)由(1)知,那么,下面证明:首先证明:当0 x1时,设函数当故g(x)在区间(0,1)上的最小值g(x)min=g所以,当0 x1时,g(x)0,即得由0a1知0ak0时,由(I)知,当 , (2+)an-1=S2+Sn-1 所以,an=所以令所以,数列bn是以为公差,且单调递减的等差数列. 那么 b1b2b3b7=当n8时,bnb8=所以,n=7时,Tn取得最大值,且Tn的最大值为 T7=点评本小题主要从三个层面对考生进行了考查.

42、 第一,知识层面:考查等差数列、等比数列、对数等根底知识;第二,能力层面:考查思维、运算、分析问题和解决问题的能力;第三,数学思想:考查方程、分类与整合、化归与转化等数学思想. 24、解(1)选取,Y中与垂直的元素必有形式所以x=2b,从而x=4 (2)证明:取.设满足.由得,所以、异号.因为-1是X中唯一的负数,所以、中之一为-1,另一为1,故1X假设,其中,那么.选取,并设满足,即,那么、异号,从而、之中恰有一个为-1.假设=-1,那么,矛盾;假设=-1,那么,矛盾.所以x1=1 (3)解法一猜测,i=1, 2, , n记,k=2, 3, , n.先证明:假设具有性质P,那么也具有性质P.

43、 任取,、.当、中出现-1时,显然有满足;当且时,、1.因为具有性质P,所以有,、,使得,从而和中有一个是-1,不妨设=-1.假设且,那么.由,得,与矛盾.所以.从而也具有性质P 现用数学归纳法证明:,i=1, 2, , n.当n=2时,结论显然成立;假设n=k时,有性质P,那么,i=1, 2, , k;当n=k+1时,假设有性质P,那么也有性质P,所以.取,并设满足,即.由此可得s与t中有且只有一个为-1.假设,那么,所以,这不可能;所以,又,所以.综上所述,i=1, 2, , n解法二设,那么等价于.记,那么数集X具有性质P当且仅当数集B关于原点对称 注意到-1是X中的唯一负数,共有n-1

44、个数,所以也只有n-1个数.由于,已有n-1个数,对以下三角数阵注意到,所以,从而数列的通项公式为,k=1, 2, , n25、解:(1),(2)由,由,即;由,即.(3)由,故,当时,以上各式相加得当时,26、解析:(1)设数列的公比为()由成等差数列,得,即由得,解得(舍去)(2)证法一:对任意所以,对任意,成等差数列证法二 对任意,因此,对任意,成等差数列.27、解析:()由a3+a4+a5=84,a5=73可得而a9=73,那么,于是,即.()对任意mN,那么,即,而,由题意可知,于是,即.28、【解析】解: (1)当时,取最大值,即,故,从而,又,所以(2)因为,所以【点评】此题考查

45、数列的通项,递推、错位相减法求和以及二次函数的最值的综合应用.利用来实现与的相互转化是数列问题比拟常见的技巧之一,要注意不能用来求解首项,首项一般通过来求解.运用错位相减法求数列的前n项和适用的情况:当数列通项由两项的乘积组成,其中一项为哪一项等差数列、另一项为哪一项等比数列.29、【答案】解:(1)当时,符合条件的集合为:, =4.( 2 )任取偶数,将除以2 ,假设商仍为偶数.再除以2 , 经过次以后.商必为奇数.此时记商为.于是,其中为奇数. 由条件知.假设那么为偶数;假设,那么为奇数. 于是是否属于,由是否属于确定. 设是中所有奇数的集合.因此等于的子集个数. 当为偶数 或奇数)时,中

46、奇数的个数是(). .【考点】集合的概念和运算,计数原理.【解析】(1)找出时,符合条件的集合个数即可. (2)由题设,根据计数原理进行求解.30、【答案】解:(1),. . . 数列是以1 为公差的等差数列. (2),. .()设等比数列的公比为,由知,下面用反证法证明假设那么,当时,与()矛盾. 假设那么,当时,与()矛盾. 综上所述,.,. 又,是公比是的等比数列. 假设,那么,于是. 又由即,得. 中至少有两项相同,与矛盾. . .【考点】等差数列和等比数列的根本性质,根本不等式,反证法. 【解析】(1)根据题设和,求出,从而证明而得证. (2)根据根本不等式得到,用反证法证明等比数列

47、的公比. 从而得到的结论,再由知是公比是的等比数列.最后用反证法求出.31、【解析】 解(1)对任意,三个数是等差数列,所以即亦即故数列是首项为1,公差为4的等差数列.于是()(1)必要性:假设数列是公比为q的等比数列,那么对任意,有由知,均大于0,于是即=,所以三个数组成公比为的等比数列.(2)充分性:假设对于任意,三个数组成公比为的等比数列,那么,于是得即由有即,从而.因为,所以,故数列是首项为,公比为的等比数列,综上所述,数列是公比为的等比数列的充分必要条件是:对任意nN,三个数组成公比为的等比数列.【点评】此题考查等差数列、等比数列的定义、性质及充要条件的证明.第一问由等差数列定义可得

48、;第二问要从充分性、必要性两方面来证明,利用等比数列的定义及性质易得证.32、考点分析:考察等差等比数列的通项公式,和前n项和公式及根本运算.解析:()设等差数列的公差为,那么,由题意得 解得或所以由等差数列通项公式可得,或.故,或. ()当时,分别为,不成等比数列;当时,分别为,成等比数列,满足条件. 故记数列的前项和为.当时,;当时,; 当时,. 当时,满足此式. 综上,33、解析:()由,解得. ()由可得(),两式相减,可得,即,即,所以数列()是一个以为首项,3为公比的等比数列.由可得,所以,即(),当时,也满足该式子,所以数列的通项公式是. ()因为,所以,所以,于是.点评:上述证

49、法实质上是证明了一个加强命题,该加强命题的思考过程如下. 考虑构造一个公比为的等比数列,其前项和为,希望能得到,考虑到,所以令即可.由的通项公式的形式可大胆尝试令,那么,于是,此时只需证明就可以了. 当然,的选取并不唯一,也可令,此时,与选取不同的地方在于,当时,当时,所以此时我们不能从第一项就开始放缩,应该保存前几项,之后的再放缩,下面给出其证法. 当时,;当时,;当时,. 当时,所以 . 综上所述,命题获证. 下面再给出的两个证法. 法1:(数学归纳法) 当时,左边,右边,命题成立. 假设当(,)时成立,即成立.为了证明当时命题也成立,我们首先证明不等式:(,). 要证,只需证,只需证,只

50、需证,只需证,该式子明显成立,所以. 于是当时,所以命题在时也成立. 综合,由数学归纳法可得,对一切正整数,有. 备注:不少人认为当不等式的一边是常数的时候是不能用数学归纳法的,其实这是一个错误的认识. 法2:(裂项相消法)(南海中学钱耀周提供) 当时,显然成立.当时,显然成立. 当时,又因为,所以(),所以(),所以 .综上所述,命题获证. 34、【命题意图】本试题主要考查了数列的通项公式以及函数与数列相结全的综合运用.先从函数入手,表示直线方程,从而得到交点坐标,再运用数学归纳法进行证明,根据递推公式构造等比数列进而求得数列的通项.解:(1)为,故点在函数的图像上,故由所给出的两点,可知,

51、直线斜率一定存在.故有直线的直线方程为,令,可求得所以下面用数学归纳法证明当时,满足假设时,成立,那么当时,由即也成立综上可知对任意正整数恒成立.下面证明由由,故有即综上可知恒成立.(2)由得到该数列的一个特征方程即,解得或 两式相除可得,而故数列是以为首项以为公比的等比数列,故.法二(先完成,用证):() 的方程为,令得(不动点法) 令,得函数的不动点.上两式相除得.可见数列是等比数列,其中公比,首项为. 即为所求.()由上知(当时).又(当时).易见,数列单调递减,所以数列单调递增,即.综合得:.【点评】以函数为背景,引出点的坐标,并通过直线与坐标轴的交点得到数列的递推公式.既考查了直线方

52、程,又考查了函数解析式,以及不等式的证明,试题比拟综合,有一定的难度.做这类试题那就是根据条件,一步一步的翻译为代数式,化简得到要找的关系式即可.35、【考点定位】此题作为压轴题难度较大,考查学生分析问题解决问题的能力,考查学生严谨的逻辑思维能力.解:(1)由题意可知,(2)先用反证法证明: 假设 那么,同理可知, 由题目所有数和为 即 与题目条件矛盾 . 易知当时,存在 的最大值为1 (3)的最大值为. 首先构造满足的: , . 经计算知,中每个元素的绝对值都小于1,所有元素之和为0,且 , , . 下面证明是最大值. 假设不然,那么存在一个数表,使得. 由的定义知的每一列两个数之和的绝对值

53、都不小于,而两个绝对值不超过1的数的和,其绝对值不超过2,故的每一列两个数之和的绝对值都在区间中. 由于,故的每一列两个数符号均与列和的符号相同,且绝对值均不小于. 设中有列的列和为正,有列的列和为负,由对称性不妨设,那么. 另外,由对称性不妨设的第一行行和为正,第二行行和为负. 考虑的第一行,由前面结论知的第一行有不超过个正数和不少于个负数,每个正数的绝对值不超过1(即每个正数均不超过1),每个负数的绝对值不小于(即每个负数均不超过). 因此 , 故的第一行行和的绝对值小于,与假设矛盾. 因此的最大值为.36、【解析】(I)必要条件当时,数列是单调递减数列充分条件数列是单调递减数列得:数列是

54、单调递减数列的充分必要条件是(II)由(I)得:当时,不合题意当时,当时,与同号,由当时,存在,使与异号与数列是单调递减数列矛盾得:当时,数列是单调递增数列2023年高考题一、选择题1天津理4为等差数列，其公差为-2，且是与的等比中项，为的前项和，那么的值为A-110 B-90 C90 D110【答案】D2四川理8数列的首项为，为等差数列且假设那么，那么A0 B3 C8 D11【答案】B【解析】由知由叠加法3四川理11定义在上的函数满足，当时，设在上的最大值为，且的前项和为，那么A3 B C2 D【答案】D【解析】由题意,在上，4上海理18设是各项为正数的无穷数列，是边长为的矩形面积，那么为等

55、比数列的充要条件为A是等比数列。B或是等比数列。C和均是等比数列。D和均是等比数列，且公比相同。【答案】D5全国大纲理4设为等差数列的前项和，假设，公差，那么A8 B7 C6 D5【答案】D6江西理5 数列的前n项和满足：，且=1那么=A1 B9 C10 D55【答案】A7福建理10函数fx=e+x，对于曲线y=fx上横坐标成等差数列的三个点A,B,C，给出以下判断：ABC一定是钝角三角形ABC可能是直角三角形ABC可能是等腰三角形ABC不可能是等腰三角形其中，正确的判断是A B C D【答案】B二、填空题8湖南理12设是等差数列，的前项和，且，那么= 【答案】259重庆理11在等差数列中，那

56、么_【答案】7410北京理11在等比数列an中，a1=，a4=-4，那么公比q=_；_。2 【答案】11安徽理14的一个内角为120o，并且三边长构成公差为4的等差数列，那么的面积为_.【答案】12湖北理13?九章算术?“竹九节问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共为3升，下面3节的容积共4升，那么第5节的容积为升。【答案】13广东理11等差数列前9项的和等于前4项的和假设，那么k=_【答案】1014江苏13设，其中成公比为q的等比数列，成公差为1的等差数列，那么q的最小值是_【答案】三、解答题15江苏20设局部为正整数组成的集合，数列，前n项和为，对任意整数

57、kM，当整数都成立1设的值；2设的通项公式本小题考查数列的通项与前项和的关系、等差数列的根本性质等根底知识，考查考生分析探究及逻辑推理的能力，总分值16分。解：1由题设知，当， 即， 从而 所以的值为8。2由题设知，当， 两式相减得所以当成等差数列，且也成等差数列从而当时，*且，即成等差数列，从而，故由*式知当时，设当，从而由*式知故从而，于是因此，对任意都成立，又由可知，解得因此，数列为等差数列，由所以数列的通项公式为16安徽理18在数1和100之间插入个实数，使得这个数构成递增的等比数列，将这个数的乘积记作，再令.求数列的通项公式；设求数列的前项和.此题考查等比和等差数列，指数和对数的运算

58、，两角差的正切公式等根本知识，考查灵活运用知识解决问题的能力，综合运算能力和创新思维能力.解：I设构成等比数列，其中那么并利用II由题意和I中计算结果，知另一方面，利用得所以17北京理20假设数列满足，数列为数列，记=写出一个满足，且0的数列；假设，n=2000，证明：E数列是递增数列的充要条件是=2023；对任意给定的整数nn2，是否存在首项为0的E数列，使得=0？如果存在，写出一个满足条件的E数列；如果不存在，说明理由。解：0，1，2，1，0是一具满足条件的E数列A5。答案不唯一，0，1，0，1，0也是一个满足条件的E的数列A5必要性：因为E数列A5是递增数列，所以.所以A5是首项为12，

59、公差为1的等差数列.所以a2000=12+200011=2023.充分性，由于a2000a10001，a2000a10001a2a11所以a2000a19999，即a2000a1+1999.又因为a1=12，a2000=2023,所以a2000=a1+1999.故是递增数列.综上，结论得证。令因为所以因为所以为偶数,所以要使为偶数,即4整除.当时，有当的项满足，当不能被4整除，此时不存在E数列An，使得18福建理16 等比数列an的公比q=3，前3项和S3=。I求数列an的通项公式；II假设函数在处取得最大值，且最大值为a3，求函数fx的解析式。本小题主要考查等比数列、三角函数等根底知识，考查

60、运算求解能力，考查函数与方程思想，总分值13分。解：I由解得所以II由I可知因为函数的最大值为3，所以A=3。因为当时取得最大值，所以又所以函数的解析式为19广东理20 设b0,数列满足a1=b，1求数列的通项公式；2证明：对于一切正整数n，解：1由令，当当时，当2当时，欲证，当综上所述20湖北理19数列的前项和为，且满足：，N*，求数列的通项公式；假设存在N*，使得，成等差数列，是判断：对于任意的N*，且，是否成等差数列，并证明你的结论本小题主要考查等差数列、等比数列等根底知识，同时考查推理论证能力，以及特殊与一般的思想。总分值13分解：I由可得，两式相减可得即又所以r=0时，数列为：a，0