结构动力学word版

1、第十一章 结构动力学？本章的问题：什么是动力荷载？结构动力计算与静力计算的主要区别在哪？本章自由度的概念与几何组成分析中的自由度概念有何不同？建立振动微分方程的方法有几种？什么是体系的自振频率、周期？什么是单自由度体系的自由振动？什么是单自由度体系的受迫振动？什么是多自由度体系的自由振动？什么是多自由度体系的受迫振动？什么叫动力系数？动力系数的大小与哪些因素有关？单自由度体系位移的动力系数与内力的动力系数是否一样？在振动过程中产生阻尼的原因有哪些？111 概述前面各章都是结构在静力荷载作用下的计算，在实际工程中往往还遇到另外一类荷载， 即荷载的大小和方向随时间而改变，这一章我们将讨论这类荷载对

2、结构的反应。荷载分：静力荷载：是指施力过程缓慢，不致使结构产生显著的加速度，因而可以略去惯性力影响的荷载。在静力荷载作用下，结构处于平衡状态，荷载的大小、方向、作用点及由它所引起的结构的内力、位移等各种量值都不随时间而变化。动力荷载：在动力荷载作用下，结构将发生振动，各种量值均随时间而变化，因而其计算与静力荷载作用下有所不同，二者的主要差别就在于是否考虑惯性力的影响。有时确定荷载是静荷载还是动荷载要根据对结构的反应情况来确定，若在荷载作用下将使结构产生不容忽视的加速度，即动力效应，就应按动荷载考虑。在工程结构中，除了结构自重及一些永久性荷载外，其他荷载都具有或大或小的动力作用。1 / 1当荷载

3、变化很慢，其变化周期远大于结构的自振周期时，其动力作用是很小的， 这时为了简化计算，可以将它作为静力荷载处理。在工程中作为动力荷载来考虑的是那些变化激烈、动力作用显著的荷载。如风荷载对一般的结构可当做静荷载，而对一些特殊结构往往当做动荷载考虑。荷载按动力作用的变化规律，又可分为如下几种：简谐周期荷载 构的影响就是这种荷载。这类荷载在工程中见的较多。冲击荷载 例： 如打桩机的桩锤对桩的冲击、车轮对轨道接头处的撞击等。突加荷载 在一瞬间施加于结构上并继续留在结构上的荷载这里要注意突加荷载、和冲击荷载的区别。快速移动的荷载 例如高速通过桥梁的列车、汽车等。随机荷载 用确定的函数关系来 表达，只能用概

4、率的方法寻求其统计规律。、 强 。研究自由振动是研究强迫振动的基础。4、 结构动力计算的目的：在于确定动力荷载作用下结构的内力、位移等量值随时间而变化的规律，从而 因此，研究强迫振动就成为动力计算的一项根本任振动形式密切有关，因而寻求结构自振频率和振型就成为研究强迫振动的前提。112 结构振动的自由度在动力荷载作用下，结构将发生弹性变形，其上的质点将随结构的变形而振动。质点 在振动过程中任一瞬时的位置，可以用某种独立的参数来表示。例如图111a 所示简支梁111b 所示的计算简图。如果不考虑质点m 的转动和梁轴的伸缩，则质点 m 的位置只要用一个参数y11l 所示的梁在振动中将只1。图 11-

5、1在确定结构振动的自由度时， 应注意以下几点：不能根据结构有几个集中质点就判定它有几个自由度，而应该由确定质点位置所需的 例如图 112a 所示结构，在绝对刚性的杆件上附有三个集中质点， 1。又如图 112b 3位置却只需由挠度yyy112c123点，但其位置需由水平位移y 和竖直位移y ：两个独立参数才能确定，因此自由度为2。12图 11-2在确定刚架的自由度时，我们仍引用受弯直杆上任意两点之间的距离保持不变的假定。根据这个假定并加入最少数量的链杆以限制刚架上所有质点的位置，则该刚架的自由度数目即等于所加入链杆的数目。例如图 112d(112)，故其自由度为 自由度的数目不完全取决于质点的数

6、目，也与结构以上是对于具有离散质点的情况而言的。但是，在实际结构中，质量的分布总是比较 112f 所示的梁， 其分布质量集度为 m(kgm)，mdx 的集中质量，所以它是无限自采用一定的简化措施，把实际结构简化为单个或多个自由度的结构进行计算。例如图 11 3a113b 所示的水塔，顶部水池较重，塔身重量较轻，在略去次要因素后，就可简化为图示的直立悬臂梁在顶端支承集中质量的单自由度结构。图 11-3113 单自由度结构的自由振动研究结构的动力计算，我们先从单自由度的简单结构开始。所谓自由振动，是指结构在振动进程中不受外部干扰力作用的那种振动。产生自由振动的原因只是由于在初始时刻的干扰。初始的干

7、扰有两种情况1由于结构具有初始位移；（2）由于结构具有初始速度；或者这两种干扰同时存在。114m114图 11-41、不考虑阻尼时的自由振动115amy y系为 11，称为弹簧的柔度，但两者的关系为1k 1111图 11-5为了寻求结构振动时其位移以及各种量值随时间变化的规律，应先建立振动微分方程， 然后求解。建立振动微分方程有两种基本方法：（ ；（ 2）是列位移方程，又称柔度法。下面分别讨论。列动力平衡方程 设质点m(图115b)，若不考虑质点运动时所受到的阻力，则作用于其上的外力有：弹簧拉力s k11y负号表示其实际方向恒与位移y向静力平衡位置。此力有把质点m 拉回到静力平衡位置的趋势，故

8、又称为恢复力。I my y d 2 y的方向相反，故有一负号。dt 2至于弹簧处于静力平衡位置时的初拉力，则恒与质点的重量mg 相平衡而抵消，故在振动过程中这两个力都毋须考虑。质点在惯性力I 与弹簧的恢复力S 作用下将维持动力平衡，故应有I+S0ISmy k11或my ky 0y 0命 21)11k11(11 km则有y 2 y 0(11 2)这就是单自由度结构在自由振动时的微分方程。列位移方程 上述振动微分方程也可以按下述方法来建立mI my y115c)：y Imy1111亦即my k11y 0可见与方法 1 结果相同。式(112)是一个具有常系数的线性齐次微分方程，其通解形式由高等数学知

9、：y(t) A1cost A2(b)取 y 对时间t 的一阶导数，则得质点在任一时刻的速度y(t) A1sint A2cost(c)此两式中的积分常数A 和 A 可由振动的初始条件来确定。l2若当 t0 时， 位移 yy ， 速度 y yo0y则有A，A 0102因此y y0cost y00sinty 称为初速度。01 ）是由初位移 引起的，表现为余弦规律；（2）y 116ab)。二者之间的相位差为一0直角，后者落后于前者 900详见下图 （116）图 11-6若令yasin（d）00yacos。(e)0显然有a y20y22tgy20y22y / 0则位移方程可写成：y a sin(t)且有

10、y )116c)，a ， 称为sin t cos t2若给时间tT ，则位移yy 的数值均不变，故T，其常用单(s1 即TT为2 秒内完成的振动次数，称圆频，通 用得较多，又简称为频率，其单位为次(2秒)频率也可用下式计算：k11mk11m1mk11gmg111mk11gmg11ggst式中gst表示由于重量mg 所产生的静力位移。结论：计算单自由度结构的自振频率时，只需算出刚度k11或柔度或位移，11st代入式(118) 即可求得。由该式可知，结构自振频率随刚度k 的增大和质量m 的减小而增大，11这一特点在结构设计中对如何控制结构自振频率有重要意义。因为结构的自振频率只（即为固有频率。外部

11、干扰力只能影响振幅和初相角的大小而不能改变结构的自振频率振频率，则它们对动力荷载的反应也将是相同的。公式表明随st的增大而减小，也期。图 11-7例 111： 图 117 所示三种支承情况的梁，其跨度都为 l，且 El 都相等，在中点有一集中质量m。当不考虑梁的自重时，试比较这三者的自振频率。解：由式(118)可知，在计算单自由度结构的自振频率时，可先求出该结构在重量 p=mg 作用下的静力位移。根据以前学过的位移计算的方法，可求出这三种情况相应的静力位移分别为：pl348EI ,pl348EI127pl3,pl3192EI768EIpl3192EI代入式(118) 即可求得三种情况的自振频率

12、分别为：48EIml3 ,48EIml3768EI , 192EIml3127ml3192EIml3据此可得 : :123 1:1.51: 2 .此例说明随着结构刚度的加大，其自振频率也相应地增高。前面的计算没有考虑阻尼的影响，实际结构的振动是有阻尼的影响的，下面予以考虑。2考虑阻尼作用时的自由振动物体的自由振动由于各种阻力的作用将逐渐衰减下去，而不能无限延续。（）是外部介质的阻力，例如空气和液体的阻力、支承的摩擦等；（2）来源于物体内部的作用，例如材料分子之间的摩擦和粘着性等。由于内外阻尼的规律不同，且与各种建筑材料的性质有关，因而确切估计阻尼的作引用福格第(Voigt)假定，即近似认为振动

13、中物体所受的阻尼力与其振动速度成正比， 这称为粘滞阻尼力，即r y(f)式中 称为阻尼系数，负号表示阻力它的方向恒与速度的方向相反。图 11-8当考虑阻尼力时，质点 m 上所受的力将如图 118 所示，增加阻尼一项。考虑其动力平衡，应有my y k11kI+R+S0y 0(g)(h)仍令 2 11m并令2k m则有2ky 2 y 0这是一个线性常系数齐次微分方程，设其解的形式为y cert代入原微分方程(119)，可得确定r 的特征方程k 2 2r 2 2k 2 20其两个根分别为：r1,2 k根据阻尼大小不同的情况有以下三种情况：k 即小阻尼情况 此时特征根r 、r12是两个复数，式(119

14、)的通解为y ekt (B1cos2 k2tB2sin2 k2 t) e kt (B1cost B2sint)（i）其中 2 k2B B12可由初始条件确定：将t 0 时 y y0和 y y0代入式（i）可得B y ，B102yky00 yky故y ekt(y0上式也可写为cost0 0 sint)y be kt sin( t)其中 yky2b y2 00 0 tg y0(1114)yky00式(1112)的位移时间曲线如图 119 所示，即为衰减的正弦曲线，其振幅按e kt 的规律减小，故k 称为衰减系数。图 11-9在工程中还经常采用阻尼比 k作为阻尼的基本参数。由式(1110)有12 1

15、2(1115)可见 0.010.1之间，因此有阻尼自振频率 与无阻尼自振频率 很接近，可认为 (k)若在某一时刻t 振幅为y ，经过一个周期后的振幅为y，则有nnn1ybektn上式两边取对数得 nyn1 eeT eTbek (tn T )ylnnyn1 称为振幅的对数递减量。同理，当经过j 个周期后，有lnyn yn j若由实验测出y 及y或y，则可由(1115)或(1115a)求出阻尼比 。nn1n jk 即大阻尼情况 此时特征根r 、r ，式(119)的通解为12y ektC chk 2 2 t C12shk 2 2t这是非周期函数，因此不会产生振动，结构受初始干扰偏离平衡位置后将缓慢地

16、回复到原有位置。k 即临界阻尼情况 此时特征根是一对重根r1,2 k ，式(119)的通解为y e kt (C1C t)2这也是非周期函数，故也不发生振动。这是由振动过渡到非振动状态之间的临界情况，此时阻尼比 1 ，相应的 值称为临界阻尼系数，用cr表示。在式(h)中，令k 可得(l)cr由式(j)及(h)、(1)又有 cr表明阻尼比 即为阻尼系数 与临界阻尼系数cr之比。114 单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动强迫振动，是指结构在动力荷载及外来干扰力作用下产生的振动。若干扰力 P(t) 直接作用在质点m 上，则质点受力将如图 11l0 所示。同理由动力平衡条件得：I R S P(t)

17、0即my y k11 p(t)1或yy2y mp(t)图 11-10这个微分方程的解也包括两部分：为相应齐次方程的通解(i)表示为y0 et (B1cost B2sin t)是与干扰力p(t) 相适应的特解 y P(t) Psin t(11 17)其中 为干扰力的频率，p 为干扰力的最大值。代入微分方程解出如教材所述结果。表达式较繁，实际应用只应用平稳阶段。由上述推导可知，振动系由三部分组成：是由初始条件决定的自由振动；第二部分是与初始条件无关而伴随干扰力的作用发生的振动率与体系的自振频率 一致称为伴生自由振动由于这两部分振动都含有因子e t，故它们将随时间的推移而很快衰减掉； 1111)。故

18、一般只着重讨论纯强迫振动。下面仍分别就考虑和不考虑阻尼两种情况来讨论。图 11-11不考虑阻尼的纯强迫振动此时因 0(1119)的第三项可知纯强迫振动方程成为y psintm(2 2 )因此，最大的动力位移(即振幅)为Ap1(1121)m(2 2 )k1 2 m22但是， 2 11 ，代入上式，得：m1A 11 22 yst(1121a)式中y 代表将振动荷载的最大值p作为静力荷载作用于结构上时所引起st11的静力位移，而 11 Ayst2承 。若我们求出了内力的动力系数，也可仿此计算结构在动力荷载作用下的最大内力。需要指出：在单自由度结构上，当干扰力与惯性力的作用点重合时，位移动力系数和内力

19、动力系数是完全一样的，此时对这两类动力系数可不作区分而统称为动力系数。由式(1122)可知，动力系数随比值 而变化。当干扰力的频率接近于结构的自振频率时，动力系数就迅速增大；当二者无限接近时，理论上 将成为无穷大，此时内力和位共振。 但的，因此，在设计中应尽量避免发生共振。考虑阻尼的纯强迫振动取式(1119)的第三项，并命(2 2 )P2 Acosm 2 22 2 2P Asin（e）则将有m 2 2 2 222 y Asin（1123）A 是位移与荷载之间的相位差。由式得：2 22 2 2 2m（1124）动力系数 11 2 2 2（1125）2 2可见动力系数 不仅与 和 的比值有关，而且

20、还与阻尼比 有关，这种关系可绘成图11-12 所示的曲线。图 11-121112 随 作一简单讨论。当 远小于 时，则因而 。这表明可近似地将P sin t 作为恢复力所平衡。由式(1123y P(t) 之间有一个相位差 ，也就是说在有阻尼的强yP(t落后一个相位；然而在无阻尼的强迫振动中，由式(1120yP(t是同步的(当 远小于 (1125)可知，此时相位差 也很小，因而位移基本上与荷载同步。当 远大于 时，则 很小，这表明质量近似于不动或只作振幅很微小的颤动。位移的方向相反才能平衡。由式(1125)亦可知，此时相位差差 1800。图 11-13下面通过一个例题来说明方法的应用。112 重

21、量Q35kN1113I8.8105m4，E210GPa，发电机转动时其离心力的垂直分力为Psin t，且 p10kN。 500rmin 时，梁的最大弯矩和挠度(梁的自重可略去不计)。解：在发电机的重量作用下，梁中点的最大静力位移为Ql335103 43 2.53103mst48EI48210109 8.8105g9.81故自振频率为 62.31/s2.53103st n 23.14500 52.31/ s6060根据公式可计算出动力系数 112211 52.31 62.3 3.4求得跨中点最大弯矩3543.4104Mmax M Q MP st44 69kN m梁中点最大挠度为ymax yPst

22、stQl3Pl348EI48EI(35 3.410) 103 43 4.98103 m 4.98mm48 210 109 8.8105图 11-14以上的分析都是干扰力 p(t)直接作用在质点 mp(t1114a 所示简支梁，集中质点m12 处。建立质点m设单位力作用在点1时使点1产生的位移为；单位力作用在点2时使点1产生的位11移为：(图1114b、c)。若在任一时刻质点m处的位移为y，则作用在质点m上的惯性12力为 I my ，在惯性力I 和干扰力p 共同作用下，如图 1114d 所示，质点m 处的位移将为：y Ip(t)(my)p(t)11121112即 ： my k11 p(t)(11

23、.28)11这就是质点 m 的振动微分方程。由此可见，对于这种情况，本节前面导出的各个计算公式都是适用的，只不过须将公式中的p(t) 用p(t) 来代替。11115 单自由度结构在任意荷载作用下的强迫振动下面讨论几种特殊荷载的作用。1、瞬时冲量：该荷载就是荷载p 只在极短的时间t 0 内给予振动物体的冲量。如图1115a 所示，设荷载的大小p，作用的时间为t ，则其冲量以QPt 影线所表示的面积。图 11-15设在 t0 时，有冲量Q 作用于单自由度质点上，且假定冲击以前质点原来的初位移和my Q0使其增加动量，动量增值即为my，故由Q my 可得00y Q0m当质点获得初速度 y 后还未产生

24、位移时，冲量即行消失，所以质点在这种冲击下将产0生自由振动。将y0方程为 0 和 y0(1111)，便得到瞬时冲量QmQmQ yy et ysint Qmet sinty(t) y0cost sint1m t )sin(t)d(1134)0(1131)(1134 ) 可解算此种干扰力作用下的强迫振动。下面研究两种特殊荷载作用下的解答。图 11-16突加荷载 这是指突然施加于结构上并保持常量继续作用的荷载，我们以加载那一 瞬间作为时间的起点，其变化规律如图1116a P(1631)进行积分求得y P et costsin y1etst sinst tt将此式对t 求一阶导数，并令其等于零。即可求

25、得产生位移极值的各时刻。当t 时，最大动力位移y为dyd y (1 e )由此可得动力系数为 1eP若不考虑阻尼影响，则 0 ，式（16-35）成为P最大动力位移为y m2(1 cost) yst(1cost)（11-38）y 2ydst图 11-16b所示的振动曲线，此时质点在静力平衡位置附近作简谐振动。116 多自由度结构的自由振动些高等数学知识。重点要理解力学原理和处理的方法，不要为数学知识所迷惑。 1振动微分方程的建立多自由度结构的振动微分方程，同样可按前述两种基本方法来建立：列动力平衡方程，即刚度法列位移方程，即柔度法图 11-18设图 1118a 所示无重量的简支梁支承着n 个集中

26、质量m 、m 、m ，若略去梁的轴12n向变形和质点的转动，则为 n 个自由度的结构。设在振动中任一时刻各质点的位移分别为y ，y 、y 。12n按刚度法建立振动微分方程时，可以采取类似于位移法的步骤来处理。首先加入附加链杆阻止所有质点的位移(图 1118b)，则在各质点的惯性力miy (i 1、2、n）作用i下，各链杆的反力即等于miy ；其次令各链杆发生与各质点实际位置相同的位移 (图 11i18c)，此时各链杆上所需施加的力为Ri(i1、2、n)。若不考虑各质点所受的阻尼衡方程。以质点m 为例，有im y Riii0（a）而 Ri 的大小取决于结构的刚度和各质点的位移值，由叠加原理，它可

27、写为R kyii1 1kyi2 k yiii k yijjkyinn(b)式中k、kiiij等是结构的刚度系数，它们物理意义见图 1618d、e。例如kij为 j 点发生单位位移(其余各点位移均为零)时i 点处附加链杆的反力。把式(b)代入(a)，有m y kyiii1 1kyi2kyinn0(c)同理，对每个质点都列出这样一个动力平衡方程，于是可建立n 个方程如下：m y ky1 111 1ky122ky01nnm yky2221 1ky222ky02nn（1143）m ykynnn1 1kyn22ky0nnn写成矩阵形式为m0 ykk 011 111n 1 mkk 02 2 212n 2

28、（11nnnn 043）m y kknkynn0或简写为MY KY 0（1143）其中 M它是对称矩阵；Y 式(1143)或式(1143)就是按刚度法建立的多自由度结构的无阻尼自由振动微分方程。图 11-19如果按柔度法来建立振动微分方程，则可将各质点的惯性力看作是静力荷载 (图 11- 19a)，在这些荷载作用下，结构上任一质点mi处的位移应为y ii1(m1y ) i(m2y )ii(miy )(mjy )(mny )(d)n式中、等是结构的柔度系数，它们的物理意义见图1119b、c所示。据此，我们可iiij以建立n 个位移方程：y m y1111 1 m y1222 m y01nnny2

29、m y211 m y2222m y02nnn(11-44)ynm yn11 m yn222m y0nnnn写出矩阵形式，就有y 0 y0 1 111n 1 y2 21222n y2 02 nn nnnn1n nnm 0(11-44)或简写为Y MY 0(11-44)其中 为结构的柔度矩阵，根据位移互等定理，它也是对称矩阵。式(1144)或(1144)就是按柔度法建立的多自由度结构的无阻尼自由振动微分方程。若对式(1144”)左乘以 1 ，则有 MY 0(e)与式(1243”)对比，显然应有 1K即柔度矩阵和刚度矩阵是互为逆阵的。可见不论按刚度法或柔度法来建立结构的振动 宜采用柔度法，反之则宜采

30、用刚度法。2按柔度法求解现在讨论按柔度法建立的振动微分方程的求解。设式(1644)的特解取如下形式：y Aiisin(t )(i 1,2,n)(g)亦即设所有质点都按同一频率同一相位作同步简谐振动，但各质点的振幅值各不相同。将式(g)代入式(1644)并消去公因子sin(t ) 可得 m 1 A m A m A 0A 111A2 1221nnn m Am1 m A 0211 1222 2nnn m A m A m1 0n11 1(11-46)n22nn2 nA写成矩阵形式则为A M 10（112 E A46）这里AAA12A Tn为振幅列向量，E 是单位矩阵。式(1146)为振幅，且 A 、A

31、 、A 的齐次方程，称为振幅方程。当 A 、A 、A12nl2nAAA12n则必须是该方程组的系数行列式等于零，即： m 1 m m 1112 121nn m m 1 m211 1112 2nn0 m m 1 (11-47)或写成n1n22 M 12 1112 E 0（11-47）1将行列式展开，可得到一个含 21的 n 次代数方程，由此可解出 2的 n 个正实根，从而得n 、 、 ，若按它们的数值由小到大依次排列，则分别称为第一、12nn。我们把用以确定 (1647)或式(1647)称为频率方程。将 n 个自振频率中的任一个k代入式(g)，即得特解为y( k ) A( k ) sin( ti

32、ik)(i 1,2,n)此时各质点按同一频率k作同步简谐振动，但各质点的位移相互间的比值y(k) : y(k) :y(k) A(k) :A(k) :A( k )12n12n却并不随时间而变化，也就是说在任何时刻结构的振动都保持同一形状，整个结构就像一个单自由度结构一样在振动。我们把多自由度结构按任一自振频率k进行的简谐振动称为主振动，而其相应的特定振动形式称为主振型或简称振型。要确定振型便要确定各质点振幅间的比值。为此，可将k值代回振幅方程(1146)而得 m 1 A(k m A(k) A(k) 01 1 2 1221nnn m A(k)m A(k) A(k) 0211 1222 2nnn(k

33、 1,2,n) m A(k) m A(k) m A(k) 01 1 n11 1(11-49)n22nn2 n或写为 M EA(k) 0(k 1,2,n)2k(11-49)(1149)的系数行列式为零，故其n 个方程中只有(n-1)个是独立的，因而不能A(k) A(k) A(k) 振12n型。式(1149)中的A(k )A(k1A(k2A(k)n称为振型向量。如果假定了其中任一个元素的值，例如通常可假设第一个元素的A( k )1便可求出其余各元素的值，这样求得的振型称为规准化振型。 1，nnn：y A(1) sin( t ) sin(t ) A( n)t )ii11i22inn nk 1A(k) it k)(i ,n)(11 50)即在一般情况下，各质点的振动将是由 n 个不同频率的主振动分量叠加而成。各主振动分量Ak) 及初相角i将取决于初始条件。由于在每一主振动分量中，各质点振幅之比即振型是固定的，故只要确定了任一质点的振幅，所有质点的振幅便可确定。这样在式(1150Ak ) 中，独立的参数便只