北京四中高考数学总复习 对数与对数函数知识梳理

1、log N对与数log N【纲求1.掌握对数的概念、常用对数、数式与指数式互化，对数的运算性质、换底公式与自然对数； 2.掌握对数函数的概念、图象和.3.正确使用对数的运算性质；底 a 图象的影响及对数函数性质的作.4.通过对指数函数的概念、图象性质的学习，培养观察、分析归纳的能力，进一步体会数形合的 思想方法；【识络对数与对数函数对数的概指对互化对数运算对数函数的图象与性质【点理考一对概及运我们在学习过程遇到 2=4 的题时可凭经验得到 x=2 解，而一旦出现 2 过的知识来解决，从而引入出一种新的运算对数运.(一)对数概:=3 时，们就无法用已学1.如果aN ，那么数 b 叫以 a 为底

2、的数，记作:log 其 a 叫对数的底数N 叫做. ab N 2.对数恒等式： N aN3.对数 a 具有下列性质： 和数没有对数，即N ； 的数为 0，即log a；(3)底的对数等于 1，即log a a.(二)常用对数与自然对数通常将以 10 为底对数叫做常对数，log10N简记 N.以 e 为底的对数叫做自然对数，log 简记 e.(三)对数式与指数式的关系由定义可知对就是指数变换而来的，因此对数式与指数式联系密切，且可以互相转. 它们的关系可由下图表示.由此可见 a，b，N 三字母在不同的式子中名称可能发生变. (四)积、商、幂的对数已知 M N M 、N a(1)logM ；推广：

3、 N N log log N 1 2 a 、 、 2 (2)logaM M log N a a；(3)log .(五)换底公式同底对数才能运算，底数不同时可考虑进行换底，在 a0 1， M0 的前提下:(1)log M logaaMn n R令 log M=b， 则 a=M， (a)=M，即 an M ，即 logaMn，即:log M logaaMn.(2)log alog Mclog ac( c ，令 log M=b， 则有 a=M， 则有log c M 0, c ca a a a a a 即b a M ， 即 log Mclog ac，即log alog Mclog ac( c 当然，细

4、心一些的同学会发现(1)可由2)推出，但在解决某些问(又它的灵活性 而且由2)还可以得到一个重要结:1 ( b b b.考二对函及图、质1.函数 y=log x(a0，a1)叫做数函.2.在同一坐标系内，当 a1 时，随 a 的大，对数函的图像愈靠近 x 轴当 时对数函数的图象随 a 增大而远离 轴.(图 1)(1)对数函数 y=log x(a01)定义域(，+)，值域为 R(2)对数函数 y=log x(a01)图像过(，0) (3)当 a1 时， log 0(0 x 当 时，log x 0(0 【型题类一指式对式化其用例 1.将下列指数式与对数式互化(1)log 8 3；(2)log 9

5、；(3) ； 3 642 3 5 3 642 3 5 (4)54 625；(5)3 1 ；(6)3 16.【解析】 ；(2) ；(3)3 x；(4)log 625 45；(5)log313；(6) 16 1.4【总结升华】对数的定义是对数形式和指数形式互化的依据，而对数形式和指数形式的互化又解决 问题的重要手段举反：【变式】求下列各式中 x 的值(1)log64x 23(2)log 6x(3)lg100=x (4)-ln e2 【解析】(1) 233)2342 )3116；(2)x6所 x x 6 )16(8)16(2316122；(3)10=100=10，是 x=2；(4)由 ，得 e2，即

6、e2所以 .类二对运法的用 例 2.求值(1) log 9log 32 1 1 log 32 25 8 9(3)log log 34log 36)(4)(log 125+log 25+log 5)(log 8+log 4+log 2) 2 10【解析】原式= 3 25 2 3 9.(2)原式 2 5 log 5 log log 2 5(3)原式log 2234log 22) 2234log 2 2(4)原式(log 125+log 25+log 5)(log 8+log 4+log 2) 2 2 2 5 422 2 12 2 2 5 422 2 log 5)(3log 3133 5 5 2举反

7、：【变式】已知： 3=a， log 7=b，求log 56=? 【解析】 3 32log 1a， 56 log 7 56 3 3 3 3 7 2 3 3 7 log 23 33b a ab 1 b a类三对函性的合用例 3.已知数 x) x)（1）求函数f ( x)的值域）求f ( x)的单调性【解析】(1)由题得 2 x 0 时， x2 x 2 x (0,1 log x12 x) 1 12 函数 x122 x的值域 (2)设 2 x(0 12函数u x2 x在0,1）上是增函数，在1,2）上是减函数。 是减函数12复合函数的单调性得函数f (- x12 x)2在0,1上是减函数在）上是增数。

8、 举反：【变式】已知 f(log x)=a a 且 a1)，试判断函数 f(x)单调.2 2 2 2 2 【解析】设 t=log x(x， R).2 2 2 2 2 当 a1 时，t=log x 为函数， t t 则 0 x x ， f(t )-f(t a( x 1x ( 1a( x 2x ( 2a( x x x 1 2 1 x ( 1 2， 0 x 1， f(t )1 或 0a1， f(x)在 总是增函.例 函数 y= (-x+2x+3)值域和单调区间12【解析】设 t=-x+2x+3，则 t=-(x-1)+4. y= log t 减函数，且 00，即1x1)， 的面积为 S.(1)求 S=

9、f(a)的表达式； (2)求数 f(a)的值域；(3) 判函数 S=f(a)的单调性并予以证明(4) S2求 的值范围【解析】依题意有 g(x)=log 并且 A、B、C 三点的坐标分别为A(a， log a)， B(a+4， log (a+4) C(a+8 log (a+8) (a1). 1A 中 D 的坐标为 log a+log (a+8)2 S=12|BD|42=4|BD|=4log (a+4)-2log (a+8). (2)把 S=f(a)变形得：( a 4) (a+4)-log a-log (a+8)=2log =2log (1+ ). a a由于 a1 时，+8a9， 11+16 25 ， a a 又函数 y=log x 在(，+)上是增函数，16 25 02log (1+ )2log ，a a 9即 0S2log259.(3)S=f(a)在定义域1，