高等数学多元函数的极值及其求法

1、高等数学多元函数的极值及其求法1第1页，共40页，2022年，5月20日，21点25分，星期四一、 多元函数的极值 定义: 若函数则称函数在该点取得极大值(极小值).例如 :在点 (0,0) 有极小值;在点 (0,0) 有极大值;在点 (0,0) 无极值.极大值和极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.的某邻域内有2第2页，共40页，2022年，5月20日，21点25分，星期四定理1 (必要条件)函数偏导数,证:据一元函数极值的必要条件可知定理结论成立.取得极值 ,取得极值取得极值且在该点取得极值 ,则有存在故3第3页，共40页，2022年，5月20日，21点25分，星期四4第4页，共

2、40页，2022年，5月20日，21点25分，星期四 仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的点，均称为函数的驻点.驻点极值点问题：如何判定一个驻点是否为极值点？注意：5第5页，共40页，2022年，5月20日，21点25分，星期四时, 具有极值定理2 (充分条件)的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数, 且令则: 1) 当A0 时取极小值.2) 当3) 当时, 没有极值.时, 不能确定 , 需另行讨论.若函数6第6页，共40页，2022年，5月20日，21点25分，星期四7第7页，共40页，2022年，5月20日，21点25分，星期四例1.求函数解: 第一步 求驻点.得驻点: (1, 0) ,

3、(1, 2) , (3, 0) , (3, 2) .第二步 判别.在点(1,0) 处为极小值;解方程组的极值.求二阶偏导数8第8页，共40页，2022年，5月20日，21点25分，星期四在点(3,0) 处不是极值;在点(3,2) 处为极大值.在点(1,2) 处不是极值;9第9页，共40页，2022年，5月20日，21点25分，星期四解10第10页，共40页，2022年，5月20日，21点25分，星期四11第11页，共40页，2022年，5月20日，21点25分，星期四12第12页，共40页，2022年，5月20日，21点25分，星期四二、最值应用问题函数 f 在闭域上连续函数 f 在闭域上可达

4、到最值 最值可疑点 驻点边界上的最值点特别, 当区域内部最值存在, 且只有一个极值点P 时, 为极小 值为最小 值(大)(大)依据13第13页，共40页，2022年，5月20日，21点25分，星期四解如图,14第14页，共40页，2022年，5月20日，21点25分，星期四15第15页，共40页，2022年，5月20日，21点25分，星期四16第16页，共40页，2022年，5月20日，21点25分，星期四解由17第17页，共40页，2022年，5月20日，21点25分，星期四18第18页，共40页，2022年，5月20日，21点25分，星期四 对于实际问题可根据实际问题的意义判断最大值和最小

5、值的存在性。例5某公司在生产中使用甲、两种原料,已知甲和乙两种原料分别使用x单位和y单位可生产Q单位的产品，且已知甲原料单价为20元/单位，乙原料单价为30元/单位，产品每单位售价为100元，产品固定成本为1000元，求该公司的最大利润。解 利润函数为19第19页，共40页，2022年，5月20日，21点25分，星期四（利润函数）解方程组求得唯一驻点（5，8）所以 在（5，8）取得极大值20第20页，共40页，2022年，5月20日，21点25分，星期四无条件极值：对自变量除了限制在定义域内外，并无其他条件.21第21页，共40页，2022年，5月20日，21点25分，星期四三、条件极值极值问

6、题无条件极值:条 件 极 值 :条件极值的求法: 方法1 代入法.求一元函数的无条件极值问题对自变量只有定义域限制对自变量除定义域限制外,还有其它条件限制例如 ,转化22第22页，共40页，2022年，5月20日，21点25分，星期四方法2 拉格朗日乘数法.如方法 1 所述 ,则问题等价于一元函数可确定隐函数的极值问题,极值点必满足设 记例如,故 故有23第23页，共40页，2022年，5月20日，21点25分，星期四引入辅助函数辅助函数F 称为拉格朗日( Lagrange )函数.利用拉格极值点必满足则极值点满足:朗日函数求极值的方法称为拉格朗日乘数法.24第24页，共40页，2022年，5

7、月20日，21点25分，星期四推广拉格朗日乘数法可推广到多个自变量和多个约束条件的情形. 设解方程组可得到条件极值的可疑点 . 例如, 求函数下的极值.在条件25第25页，共40页，2022年，5月20日，21点25分，星期四例6抛物面 被平面x+y+z=1截成一个椭圆，求这个椭圆到坐标原点的最长与最短距离。解 该问题即求函数在条件 及x+y+z=1下的最大值与最小值。求偏导得到可能的极值点：26第26页，共40页，2022年，5月20日，21点25分，星期四由该问题的实际意义知该问题确实存在最大值与最小值，其最大值与最小值为27第27页，共40页，2022年，5月20日，21点25分，星期四

8、解则28第28页，共40页，2022年，5月20日，21点25分，星期四例8 某公司通过电台和报纸两种方式做销售其产品的广告，根据统计资料分析可知，销售收入R（万元）与电台广告费x（万元）、报纸广告费y（万元）有如下经验公式：R=15+14x+32y-8xy-2x2-10y2（1） 在广告费用不限的情况下，求使销售净收入最大的广告策略；（2）若提供的广告费用为1. 5万元,求相应的最优广告策略.29第29页，共40页，2022年，5月20日，21点25分，星期四解(1)销售净收入为L=R-(x+y)=15+13x+31y-8xy-2x2-10y2由极值必要条件Lx=13-8y-4x=0 , L

9、y=31-8x-20y=0 得驻点(x0,y0)=(0.75,1.25)由于 Lxx=-40,Lxy=-8,Lyy=-20 得B2-AC= -160 (x0,y0)=(0.75,1.25)为极大值点,亦最大值点于是,电台广告费为0.75万元,报纸广告费为1.25万元时,销售净收入最大,最大值为39.25万元. 30第30页，共40页，2022年，5月20日，21点25分，星期四31第31页，共40页，2022年，5月20日，21点25分，星期四例9某企业在两个互相分割的市场上出售同一种产品，两个市场的需求函数分别是 P1=18-2Q1,P2=12-Q2总成本为C=2Q+5,Q=Q1+Q2（1）

10、如果该企业实行价格差别策略，试确定两个市场上该产品的销售量和价格，使该企业获得最大利润；（2）如果该企业实行价格无差别策略，试确定两个市场上该产品的销售量和其统一的价格，使该企业的总利润最大化；并比较两种价格策略下的总利润大小。 32第32页，共40页，2022年，5月20日，21点25分，星期四解（1）33第33页，共40页，2022年，5月20日，21点25分，星期四（2）34第34页，共40页，2022年，5月20日，21点25分，星期四例10： 某公司准备用2百万元的资金，通过两种方式做广告，一种是电台广播，一种是在日报上登广告，根据以王经验，销售收入与广告费用之间有如下关系费和日报广

11、告费，单位均为百万元.试确定广告费使用的最佳方案，使销售金额最大。 解35第35页，共40页，2022年，5月20日，21点25分，星期四且为最大值36第36页，共40页，2022年，5月20日，21点25分，星期四即时有极大值，也就是最优方案。37第37页，共40页，2022年，5月20日，21点25分，星期四例11 设产品的产量是劳动力x和原料y的函数为假定每单位劳动力花费100元，每单位原料原料花费200元，现有资金30000元用于生产，应如何按排劳动力与原料，使产量达到最大.解:该问题是在劳动力x与原料y满足条件100 x+200y=30000的条件下，求目标函数 的最大值。构造函数:38第38页，共40页，2022年，5月20日，21点25