2022年高中数学第三章不等式4基本不等式第2课时练习含解析人教版必修5

1、PAGE 6 -第2课时一、选择题1已知正数a、b满足ab10，则ab的最小值是()A10B25C5D2eq r(10)答案D解析ab2eq r(ab)2eq r(10)，等号在abeq r(10)时成立，选D.2已知m、nR，m2n2100，则mn的最大值是()A100B50C20D10答案B解析由m2n22mn得，mneq f(m2n2,2)50，等号在mn5eq r(2)时成立，故选B.3若a0，b0且ab4，则下列不等式恒成立的是()A.eq f(1,ab)eq f(1,2)Beq f(1,a)eq f(1,b)1C.eq r(ab)2Deq f(1,a2b2)eq f(1,8)答案D

2、解析a0，b0，ab4，eq r(ab)eq f(ab,2)2，ab4，eq f(1,ab)eq f(1,4)，eq f(1,a)eq f(1,b)eq f(ab,ab)eq f(4,ab)1，故A、B、C均错，选D.4已知正数x、y满足eq f(1,x)eq f(4,y)1，则xy有()A最小值eq f(1,16)B最大值16C最小值16D最大值eq f(1,16)答案C解析x0，y0，eq f(1,x)eq f(4,y)2eq r(f(4,xy)4eq r(f(1,xy)，又eq f(1,x)eq f(4,y)1，4eq r(f(1,xy)1，eq f(1,xy)eq f(1,16)，xy

3、16，故选C.5设a、b是实数，且ab3，则2a2bA6B4eq r(2)C2eq r(6)D8答案B解析2a0,2b0，ab2a2b2eq r(2a2b)2eq r(2ab)2eq r(23)4eq r(2)，等号成立时，2a2b，abeq f(3,2).6实数x、y满足x2y4，则3x9y的最小值为()A18B12C2eq r(3)Deq r(4,3)答案A解析x2y4，3x9y3x32y2eq r(3x32y)2eq r(3x2y)2eq r(34)18，等号在3x32y即x2y时成立x2y4，x2，y1时取到最小值18.二、填空题7已知eq f(5,x)eq f(3,y)2(x0，y0

4、)，则xy的最小值是_答案5解析x0，y0，eq f(5,x)eq f(3,y)2，22eq r(f(15,xy)，xy15，当且仅当eq f(5,x)eq f(3,y)，且eq f(5,x)eq f(3,y)2，即x5，y3时，取等号8建造一个容积为8 m3，深为2 m答案1 760解析设水池池底的一边长为 x m，则另一边长为eq f(4,x) m，则总造价为：y48080eq blc(rc)(avs4alco1(2x2f(4,x)2480320eq blc(rc)(avs4alco1(xf(4,x)4803202eq r(xf(4,x)1 760.当且仅当xeq f(4,x) 即x2时，

5、y取最小值1 760.所以水池的最低总造价为1 760元三、解答题9已知a、b、cR，求证：eq f(a2,b)eq f(b2,c)eq f(c2,a)abc.证明a、b、cR，eq f(a2,b)，eq f(b2,c)，eq f(c2,a)均大于0，又eq f(a2,b)b2eq r(f(a2,b)b)2a，eq f(b2,c)c2eq r(f(b2,c)c)2b，eq f(c2,a)a2eq r(f(c2,a)a)2c，三式相加得eq f(a2,b)beq f(b2,c)ceq f(c2,a)a2a2b2c，eq f(a2,b)eq f(b2,c)eq f(c2,a)abc.10已知a、b

6、、cR，求证：eq r(a2b2)eq r(b2c2)eq r(c2a2)eq r(2)(abc)证明eq f(ab,2)eq r(f(a2b2,2)，eq r(a2b2)eq f(ab,r(2)eq f(r(2),2)(ab)(a，bR等号在ab时成立)同理eq r(b2c2)eq f(r(2),2)(bc)(等号在bc时成立)eq r(a2c2)eq f(r(2),2)(ac)(等号在ac时成立)三式相加得eq r(a2b2)eq r(b2c2)eq r(a2c2)eq f(r(2),2)(ab)eq f(r(2),2)(bc)eq f(r(2),2)(ac)eq r(2)(abc)(等号

7、在abc时成立).一、选择题1设x3y20，则3x27y1的最小值为()A7B3eq r(3,9)C12eq r(2)D5答案A解析由已知得x3y2，3x0,27y0，3x27y12eq r(3x3y)1617，当且仅当3x27y，即x1，yeq f(1,3)时等号成立2已知a0，b0，且ab1，则eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,a2)1)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,b2)1)的最小值为()A6B7C8D9答案D解析ab1，a0，b0，abeq f(1,4)，等号在abeq f(1,2)时成立eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,a2)1)e

8、q blc(rc)(avs4alco1(f(1,b2)1)eq f(1a2,a2)eq f(1b2,b2)eq f(1ab,a2)eq f(1ba,b2)eq f(1a1b,ab)eq f(2ab,ab)eq f(2,ab)1eq f(2,f(1,4)19，故选D.3若直线2axby20(a0，b0)被圆x2y22x4y10截得的弦长为4，则eq f(1,a)eq f(1,b)的最小值为()A.eq f(1,4)Beq f(1,2)C2D4答案D解析圆的标准方程为(x1)2(y2)24，圆的直径为4，而直线被圆截得的弦长为4，则直线应过圆心(1,2)，2a2b20，即abeq f(1,a)eq

9、 f(1,b)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,a)f(1,b)(ab)11eq f(b,a)eq f(a,b)22eq r(f(b,a)f(a,b)4(等号在abeq f(1,2)时成立)故所求最小值为4，选D.4设a、b是两个实数，且ab，a5b5a3b2a2b3，a2b22(ab1)，eq f(a,b)eq f(b,a)2.上述三个式子恒成立的有()A0个B1个C2个D3个答案B解析a5b5(a3b2a2b3)a3(a2b2)b3(b2a2)(a2b2)(a3b3)(ab)2(ab)(a2abb2)0不恒成立；(a2b2)2(ab1)a22ab22b2(a1)2(b1)2

10、0恒成立；eq f(a,b)eq f(b,a)2或eq f(a,b)eq f(b,a)0，(xy)(eq f(1,x)eq f(a,y)1aeq f(y,x)eq f(xa,y)1a2eq r(a)，由条件知a2eq r(a)19，a4.6若实数x、y满足x2y2xy1，则xy的最大值是_答案eq f(2r(3),3)解析x2y2xy1，(xy)2xy1.又xy(eq f(xy,2)2，(xy)2(eq f(xy,2)21，即eq f(3,4)(xy)21.(xy)2eq f(4,3).eq f(2r(3),3)xyeq f(2r(3),3).xy的最大值为eq f(2r(3),3).三、解答

11、题7已知a、b均为正实数，且2a8bab0，求ab解析2a8bab0，eq f(8,a)eq f(2,b)1，又a0，b0，ab(ab)(eq f(8,a)eq f(2,b)10eq f(8b,a)eq f(2a,b)102eq r(f(8b,a)f(2a,b)18，当且仅当eq f(8b,a)eq f(2a,b)，即a2b时，等号成立由eq blcrc (avs4alco1(a2b,f(8,a)f(2,b)1)，得eq blcrc (avs4alco1(a12,b6).当a12，b6时，ab取最小值18.8某单位决定投资3 200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元试求：(1)仓库面积S的取值范围是多少？(2)为使S达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计多长？解析(1)设正面铁栅长x m，侧面长为y m，总造价为z元，则z40 x245y20 xy40 x90y20 xy，仓库面积Sxy.由条件知z3 200，即4x9y2xy320.x0，y0，4x