轴对称及最短路径问题

1、最短路径问题（一）利用轴对称解决最短路径问题类型一类型二问题作法连接AB ，与lB的交点即为点PAB作点 A 关于 l 的A对称点A,连接lAB, 与 l 的交点即为点 P图形原理PA+PB的 最 小值为 AB 的值，两点之间，线段最短BAP+PB 的 最 小A值为 AB 的值，P两点之间，线段A最短类型三L2PL 1在直线 l1，l2 上分别找点 M,N ，使 PMN 周长最小分别作点 P 关于两直线 l1， l2 的对称点 P,P,连接 PP,与两直线的交点为 M,NPMNL2PM+PN+MN的最小值为 PP 的值，两点之间，线段最短L 1P类型四L1PQL 2在直线 L 1,L 2 上分

2、别找点M,N ，使四边形PMNQ的周长最小做点 P,Q 分别关L 1PM+MN+PN 的于直线L1,L 2 的最小值为 PQ的对称点P,Q,连MP值，两点之间线接 PQ,与两直Q段最短线的交点 M,NNL 2（二）用平移解决造桥选址问题例 1，如图， a/b， N 为直线 b 上的一个动点，MN 垂直于直线b，交直线 a 于点 M ，当点 N在直线 b 的什么位置时，AM+MN+NB最小？aMbN由于 MN 的长度是固定的，因此当AM+NB最小时， AM+MN+NB最小。这样，问题就进一步转化为：当点N 在直线 b 的什么位置时，AM+NB最小？详解：将 AM 沿与 a 垂直的方向平移，点M

3、移动到点 N，点 A 移动到点A，则AA =MN,AM+NB=AN+NB. 这样，问题就转化为：当点 N 在直线 b 的什么位置时， AN+NB最小？如图，在连接与直线 b 的交点A,B 两点的线中，线段N 的位置即为所求，即在点AB 最短。因此，线段ABN 处造桥 MN ，所得路径最短。因此，线段ABAMNB是最短的。L 1L 2AMABN例 2，在 P、Q 两村之间有两条河，且每条河的宽度相同，从P 村到 Q 村，要经过两座桥MN 、EF。现在要设计一条道路，并在两条河上分别架这两座垂直于桥的大桥，问：如何设计这两座桥 MN,EF 的位置，使由 P 村到 Q 村的路程最短？PL 1L 2Q

4、L 1L2解析：河的宽度（桥的宽度）固定，利用“平移交换”解决问题。答案：如图所示，PFCL 1L 2EMDL 4NQL 3过点 P 作 PA 垂直于 L1, 垂足为 A ，过点 Q 作 QB 垂直于 L3，垂足为 B ；分别在 PA 和 QB 上截取 PC=QD= 河的长度；连接 CD，分别交 L2 和 L4 于点 E 和 M；(4) 过点 E 和点 M 分别作 L1 和 L3 的垂线段，垂足分别为F 和 N；(5) 连接 PF 和 QN，则路线P F E M N Q 就是满足题意的从P 到 Q 的最短路线（三）求圆上点，使这点与圆外点的距离最小的方案设计在此问题中可根据圆上最远点与最近点和

5、点的关系可得最优设计方案。例: 一点到圆上的点的最大距离为9，最短距离为1，则圆的半径为多少？（四）点在圆柱中可将其侧面展开求出最短路程将圆柱侧面展成长方形，圆柱体展开的底面周长是长方形的长，圆柱的高是长方形的宽可求出最短路程例：如图所示，是一个圆柱体，ABCD是它的一个横截面，AB=，BC=3，一只蚂蚁，要从A点爬行到C点，那么，最近的路程长为（）A 7BCD 5（五）、在长方体（正方体）中，求最短路程1）将右侧面展开与下底面在同一平面内，求得其路程2）将前表面展开与上表面在同一平面内，求得其路程3）将上表面展开与左侧面在同一平面内，求得其路程了然后进行比较大小，即可得到最短路程.例：有一长

6、、宽、高分别是5cm，4cm， 3cm 的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体的一个顶点 A 处沿长方体的表面爬到长方体上和A 相对的顶点B 处，则需要爬行的最短路径长为（） A 5cmBcmC 4cmD 3cm例：如图是一个长 4m，宽 3m，高 2m的有盖仓库，在其内壁的 A 处（长的四等分）有一只壁虎， B 处（宽的三等分）有一只蚊子，则壁虎爬到蚊子处最短距离为（ ）A 4.8BC 5D例：有一棵 9 米高的大树，树下有一个 1 米高的小孩，如果大树在距地面全折断），则小孩至少离开大树 米之外才是安全的4 米处折断（未完例：如图，在一个长为2 米，宽为 1 米的矩形草地上，如图堆放着一根长方体

7、的木块，它的棱长和场地宽AD平行且 AD，木块的正视图是边长为0.2 米的正方形， 一只蚂蚁从点到达 C 处需要走的最短路程是米（精确到0.01 米）A 处，例：如图， AB为 O直径，AB=2，OC为半径，OC AB,D 为AC三等分点，点 P 为OC上的动点，求AP+PD的最小值。（七）、在圆锥中，可将其侧面展开求出最短路程将圆锥侧面展开，根据同一平面内的问题可求出最优设计方案例：如图，一直圆锥的母线长为QA=8，底面圆的半径r=2 ，若一只小蚂蚁从A 点出发，绕圆锥的侧面爬行一周后又回到A 点，则蚂蚁爬行的最短路线长是（结果保留根式）（八）、题中出现一个动点。当题中只出现一个动点时, 可

8、作定点关于动点所在直线的对称点, 利用两点之间线段最短, 或三角形两边之和小于第三边求出最值.例：如图，在正方形 ABCD中，点 E 为 AB上一定点，且 BE=10,CE=14,P 为 BD上一动点，求PE+PC最小值。（九）、题中出现两个动点。当题中出现两个定点和两个动点时, 应作两次定点关于动点所在直线的对称点. 利用两点之间线段最短求出最值。例：如图，在直角坐标系中有四个点, A(-8,3),B(-4,5)C(0， n),D(m,0),当四边形ABCD周长最短时, 求m/n。( 十) 、题中出现三个动点时。在求解时应注意两点：线之间的最短问题.(1) 作定点关于动点所在直线的对称点,(2)同时要考虑点点,点