昆虫繁殖问题

1、实验 昆虫繁殖问题试验目的：建立昆虫繁殖数学模型，掌握简单程序设计，运用线性代数知识解决实际问题 一、问题描述有一种昆虫，最长寿命为六周，将其分为三组：第一组02周龄；第二组24周龄；第三组46周龄。第一组为幼虫(不产卵)；第二组每只两周内平均产卵100个；第三组每只两周内平均产卵150个。每个卵的孵化成活率为9%，第一组能成长为第二组昆虫的存活率为10%，第二组能成长为第三组昆虫的存活率20%。20%10%存活率9%9%无孵化率150100不产卵产卵数46周龄24周龄02周龄现有三个组昆虫各100只，计算第2周、第4周、第6周后各组昆虫数目，并考虑下面问题：(1)以两周为一时间段，分析各组昆

2、虫数目变化规律。 昆虫数目是无限增长还是趋于灭亡？(2)如果使用一种除虫剂，可以使得各组昆虫的成活率以及孵化成活率减半，问这种除虫剂是否有效？二、问题分析与与数学模型 初始时刻 两周以后 X(0) = 100, 100, 100T X(1) =?x1(0)x2(1)=0.1x1(0)x2(0)x3(1)=0.2x2(0)x3(0)x1(1)=0.09(100 x2(0)+150 x3(0)一般, 有根据数学模型计算数据结果如下45220100 x33622510100 x220503602250100 x1k=36周后k=24周后k=12周后现在k根据模型X(k) = Lk X(0) ,当k

3、时X(k)的变化是逐渐增大的趋势MATLAB程序n=input(input n(3)A=0,9,13.5;0.1,0,0;0,0.2,0,X0=100;100;100,X1=A*X0,X2=A*X1,X3=A*X2, Xn=An*X0 %若要取整：round(An*X0)使用除虫剂，可以使得各组昆虫的成活率以及孵化成活率减半，此时数学模型修改为 X(k+1) = L X(k) = L(k+1) X(0) (k = 0,1,2,3,)MATLAB程序如下n=input(input n(3)L=0,4.5,6.75;0.05,0,0;0,0.1,0,X0=100;100;100,X1=L*X0,X

4、2=L*X1,X3=L*X2, Xn=Ln*X0 %round(Ln*X0) 对不同的n进行计算实验，得数据结果如下0.01050.05960.6138k=1224周后5.62504.5000256.50k=36周后0.5056.2590k=24周后1051125k=12周后100100100现在x3x2x1k对问题的进一步思考利用eig(A)和eig(L)命令可得特征值分别为:d1= 1.0731d2= -0.7271d3= -0.3460d1= 0.5366d2= -0.3635d3= -0.1730由此可知，An趋一无穷大，而Ln趋于0数学原理:设A的三个特征值为1, 2, 3,对应特征向量为1, 2, 3 , 则有令 P=1, 2, 3 , D=diag(1, 2, 3),则AP=PD = A= PDP-1 = An = (PDP-1 )(PDP-1 )= PDnP-1三、试验内容1、建立三个周龄组的昆虫的种群动态分析的数学模型建立数学模型并写出X(k)和X(k+1)的递推关系式，以及莱斯利矩阵L2、根据数学模型计算并将数周后各组昆虫数填写到下表空白单元处100 x3100 x2100 x1k=2550周后k=24周后k=12周后现在k3、写出计算所用程序4、在除虫剂作用下，情况将有所变化，重建数学模型建立新的数学模型并写出X(k)和X(k+1)的递推关系式，