线性代数课件：3-6 向量空间_第1页
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文档简介

1、第三章 向量与线性空间 3.5 向量组的线性相关性 3.6 向量空间 3.7 线性方程组解的结构 3.8 n 维欧氏空间 3.9 线性空间与线性变换3.6 向量空间一、向量空间的定义二、向量空间的基和维数三、向量的坐标五、小结四、基变换和坐标变换一、向量空间的定义则称 V 为数域 上的向量空间.如果 V 对于加法及乘数两种运算封闭, 即 定义3.7 设 V 为数域 上 n 维向量构成的非空集合, 2. 向量空间 V 中一定包含零向量. 3. 2 维实向量的全体构成向量空间3 维实向量的全体构成向量空间n 维实向量的全体构成向量空间n 维复向量的全体构成向量空间时, 称 V 为复向量空间.时,

2、称 V 为实向量空间, 1.若无特别声明, 向量空间都指实向量空间.例3.8 判别下列集合是否为向量空间. (1) (2)(3) V3 称为由两个向量 生成的向量空间. 一般地, 由向量 生成的向量空间定义为的一切线性组合, 记作定义3.8 设 U, V 为两个向量空间, 若 U V, 则称 U 是 V 的子空间.例1中V1, V3为 的子空间. 和 是 的子空间,称之为平凡子空间, 其它的子空间称为非平凡子空间. 二、向量空间的基和维数 定义3.9 设 V 是向量空间, 若存在 使 (1)线性无关;(2) 能表示成的线性组合,则称为向量空间V 的基, r 为 V 的维数, 记为 dim V

3、r, 并称 V 为 r 维向量空间. 规定: 零空间的维数为0. dimension1. 零空间0没有基3. 若向量组 是向量空间V 的一组基, 2. 若把向量空间V 看作向量组, 则V 的基就是向量 组的极大线性无关组, V 的维数就是向量组的秩.4. 向量空间的基不是唯一的.5. 等价的向量组生成相同的向量空间.则即 向量空间的基的例子 1. 基本向量组 e1 e2 en 是 n 的一组基.2. 基本向量组 e2 e3 en 是向量空间 的一个基, V1 的维数为 n 1. 3. 向量组 的极大线性无关组是向量空间的秩就是的一个基, 的维数. 例3.9 求求 V 的一组基. 三、向量的坐标

4、 设定义3.10 是向量空间 V 的一组基, 则 能唯一地表示成 称为关于基的坐标. 例3.10 已知(1) 证明是的一组基; (2) 求关于基的坐标. 四、基变换和坐标变换定义3.11 设和是向量空间 V 的两组基, 则有 过渡矩阵. 称 C cijrr 为由基到基的的坐标. 则 是由基到的过渡矩阵. 又且 C 的第 i 列 是向量关于基显然, C 可逆,和下的坐标分别为 x 和 y, 则有 定理3.5 设在向量空间 V 中, 基到基 的过渡矩阵为 C, 在 向量例3.11 设 3 有两组基 (1) 求基到基的过渡矩阵;(2) 求在基下的坐标. 1. 向量空间的概念: 向量的集合对加法及数乘两种运算封闭; 由向量组生成的向量空间2. 子空间的概念

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