线性代数课件：2-6 矩阵的秩

1、第二章 矩 阵 2.1 矩阵的定义 2.2 矩阵的运算 2.3 可逆矩阵 2.4 分块矩阵及其运算 2.5 矩阵的初等变换与初等矩阵 2.6 矩阵的秩 2.7 线性方程组的Gauss消元法2.6 矩阵的秩二、矩阵秩的概念 一、矩阵的子式 三、矩阵秩的求法 五、小结 四、矩阵秩的性质 定义2.9 在 mn 矩阵 A 中任意选定 k 行: i1, i2 , , ik和 k 列: j1, j2 , , jk , 位于这些选定的行和列交叉处的 k2 个元素按原来的次序所组成的 k 阶行列式, 称为矩阵 A 的一个 k 阶子式. 若 i1 j1, i2 j2, , ik jk , 则称这样的 k 阶子式

2、为 A 的一个主子式. 取 A 的前 k 行 k 列元素构成主子式称为 A 的 k 阶顺序主子式. 一、矩阵的子式 例2.23 在矩阵中, 选定第1、3行和第2、4列, A 的3阶顺序主子式为组成的一个 2 阶子式为 1. m n 矩阵 A 的 k 阶子式共有个. 2. 对于 mn 矩阵 A 的 k 阶子式, 有例2.24 设矩阵A 的三阶子式只有1个, 为 A 0; A 有二阶子式二、矩阵秩的概念 因此 rank A 2. 定义2.10 对于一个 mn 矩阵 A, A 的非零子式的最高阶数称为矩阵 A 的秩, 记为 rank A .规定零矩阵的秩为 0 . 注1. 若 A 中有一个 s 阶子

3、式不为零, 则 rank A s . 若 A 中所有 t 阶子式全为零, 则 rank A t .2. rank A r 说明 A 中至少有一个 r 阶子式不等于零, 而所有的 r 1 阶子式全为零,即所有阶数大于 r 3. rank A rank AT . 4. 0 rank Amn minm, n.的各阶子式全为零. 6. 5. rank (kA) rank A ( k 0 ). 例2.25 求矩阵问题 初等变换会改变矩阵的秩吗?一般地, 行阶梯形矩阵的秩就是其非零行的行数,同时, 任何矩阵总可经过有限次初等行变换化为行阶梯形矩阵.定理2.5 初等变换不改变矩阵的秩.三、矩阵秩的求法 推论

4、1 行阶梯形矩阵的秩等于其非零行的行数.推论2 一个矩阵的等价标准形是唯一的, 因此等价标准形中 1 的个数就是矩阵的秩.推论3 同型矩阵等价的充要条件是秩相同, 即有相同的等价标准形. 推论4 n 阶方阵 A 可逆的充要条件是 rank A n. 推论5 设 A 为 mn 矩阵, B 为 m 阶可逆矩阵, C 为 n 阶可逆矩阵, 则 rank(BA) rank(AC) rank(BAC) rank A .初等变换求矩阵秩的方法 对矩阵施行初等行变换变成为行阶梯形矩阵, 行阶梯 形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩.例2.26 设求 rank A. 定义2.11 设 A 为 mn 矩阵, 当 r

5、ank A m 时, 称 A 为 行满秩矩阵; 当 rank A n 时, 称 A 为列满秩矩阵; 行(列)满秩的方阵称为满秩矩阵. 满秩矩阵就是可逆矩阵, 不可逆矩阵称为降秩矩阵.例2.27 设 rank A 2, 求 和 . 四、矩阵秩的性质(1) 0 rank Amn minm, n.(2) rank A rank AT . (3) A B rank A rank B . (4) maxrank A, rank B rankA B rank A rank B . (5) rank A rank B rank(A B) rank A rank B .(6) 设 A Amn , B Bnk , 则 rank A rank B n rank(AB) minrank A, rank B.特别地, 当 Amn Bnk 0 时, 有 rank A rank B n .例2.28 设 n 阶方阵 A 满足 A2 A, 证明 rank A rank(E A) n .五、小结 (2) 初等变换法1. 矩阵秩的概念2. 求矩阵秩的方法(1) 利用定义(对矩阵施行初等行变换变成为行阶梯形矩阵, 行阶梯形矩阵中