外接球模型技巧训练老师专用

1、外接球模型技巧训练老师专用 、墙角模型例1：已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为4，体积为16,则这个球的表面积是（）A. 16nb. 20nC. 24nD. 32n【答案】C【解析】V = a2h =16 , a = 2 , 4R2 = a2 + a2 + h2 = 4 + 4 +16 = 24 , S = 24n .二、对棱相等模型例2:如下图所示三棱锥A - BCD，其中AB = CD = 5 , AC = BD = 6 , AD = BC = 7,则该三棱锥外接球的表面积为-【答案】55兀【解析】对棱相等，补形为长方体，如图，设长宽高分别为a,b,c ,2(a2 + b2 + c2

2、) = 25 + 36 + 49 = 110 , a2 + b2 + c2 = 55, 4R2 = 55 , S = 55n .卜三、汉堡模型例3：个正六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上,且该六棱柱的体积为-，底面周长为3，则这个球的体积为8 4n【答案】4n3【解析】设正六边形边长为a，正六棱柱的高为h，底面外接圆的半径为r,则a = 2，正六棱柱的底面积为S = 6 亍（2）2 =计,则 V = Sh =仝3 h = 9，二 h 仝,8 84R2 =12 +（间2 = 4，也可R2 =爭2 + （2）2 =1，R =1，设球的体积为V，则V二4n

3、.3四、切瓜模型例4 :正四棱锥S - ABCD的底面边长和各侧棱长都为 富，各顶点都在同一球面上，则此球体积为-4 n 【答案】4n3【解析】方法一：找球心的位置，易知r =1，h =1，h =厂，故球心在正方形的中心ABCD处，R =1，V二.3方法二：大圆是轴截面所截的外接圆，即大圆是SAC的外接圆， 此处特殊，RSC的斜边是球半径，2R = 2，R =1，V = 丁五、垂面模型例5:一个几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为（）A. 3nB. 2nCA. 3nB. 2nC.16 nD.以上都不对【答案】C【解析】法一：（勾股定理）利用球心的位置求球半径，球心在圆锥的高线上，

4、G/3 - RG/3 - R)2 +1 二 R2S = 4nR 2 =n法二：（大圆法求外接球直径）如图，球心在圆锥的高线上,故圆锥的轴截面三角形PMN的外接圆是大圆，于是2故圆锥的轴截面三角形PMN的外接圆是大圆，于是2R =2_ 4sin 60。 3下略.六、折叠模型例6:三棱锥PABC中，平面PAB丄平面ABC，PAB和ABC均为边长为2的正三角形,则三棱锥P ABC外接球的半径为.【答案】芈【解析】如图，2r _ 【解析】如图，2r _ 2r1 2sin 60。丐OH _-L2 a/345R 2 二 OH 2 + r 2 45R 2 二 OH 2 + r 2 二 += _ 333法二O

5、H =iAH = 1,R 2 二 AO 2 二 ah 2 + OiH 2 + OiO 2 二 3A七、两直角三角形拼接在一起例7:在矩形ABCD中，AB = 4 , BC = 3，沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角B-AC-D,则四面体ABCD的外接球的体积为（）A.125n12125125A.125n12125125C. n6D.125n3【答案】C【解析】2R = AC 【解析】2R = AC = 5 , R = 2 , V = 4 展=4 n -乎125n6故选C.对点增分集训、选择题1 已知底面边长为1,侧棱长为2的正四棱柱的各顶点均在同一球面上，则该球的体积为（）A.32nB. A

6、.32nB. 4nC. 2nD.4nT【答案】D【解析】根据正四棱柱的几何特征得：该球的直径为正四棱柱的体对角线,即得R 即得R =144n所以该球的体积卩-3 nR = 32.已知三棱锥S - ABC的三条侧棱两两垂直，且SA二2 , SB二SC二4，则该三棱锥的外接球的半径 为（）A. 3B. 6C. 36D. 9【答案】A【解析】因为三棱锥S ABC的三条侧棱两两垂直，所以该三棱锥的外接球就是以三棱锥S ABC的三条侧棱为棱的长方体的外接球，长方体的外接球的直径等于长方体对角线；所以外接球的半径为2巨F =3 3.在半径为1的球面上有不共面的四个点A ,B , C , D且AB二CD =

7、 x , BC = DA = y , CA二BD = z ,贝Ix贝Ix2 + y2 + z2等于A. 2【答案】C)B. 4C. 8D. 16【解析】如图，构造长方体，设长方体的长，宽，高分别为a , b , c ,则a2 + b2 + c2 = 22 = 4 ,根据题意a 2 + b2 =x2,b2+ c2 =y2 ,a2+ c2 = z2，贝x2+y2+ z2 = 2(a2+ b2 + c2)= 8 .BB4.正四面体的棱长为4帯6,顶点都在同球面上，则该球的表面积为()A. 36nb. 72nc. 144nd. 288n【答案】Cn【解析】正四面体底面三角形的外接圆的半径r二-4J6-

8、sin二4迈,3，正四棱锥顶点到底面的距离为h(4 6)2 (4j2)2二8 ,设正四棱锥的外接球的半径为R，则有R2 = r2 + (h-R)2, 即 R2 = (4 2)2 + (8 R)2，解得R = 6 .则所求球的表面积为S = 4nR2 = 144n .则球O的半径为()B. 6C. J7D则球O的半径为()B. 6C. J7D3答案】 A3【解析】球O的半径满足直三棱柱底面三角形外接圆半径r =.n sm3 TOC o 1-5 h z 21R2 = (-)2 + 3)2 n R = 1-6.已知直三棱柱ABC - AiBiCi的6个顶点都在球O的球面上，若AB = 3，AC =

9、4，AB丄AC，* =12， 则球O的半径为()D131 HYPERLINK l bookmark23 o Current Document 3_一D131A.尹B. 10【答案】 D【解析】可判断球心应在连接上下直角三角形斜边中点的线段的中点F513那么半径，就是R = ：(2)2 + 62 =.7 已知三棱锥D ABC中，AB = BC = 1 , AD = 2 , BD =、污,AC =、 , BC丄AD，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）A. 6nb. 6nc. 5nD. 8n【答案】B【解析】如图所示，由已知，BC丄AD , AB丄BC ,BC丄面ABD , :. Be丄BD, CD

10、2 = J BC 2 + BD2 =76，二 AD2 + AC 2 = CD2，二 AD 丄 AC, 取CD的中点O，由直角三角形的性质，O到A，B，C，D的距离均为兰6，2其即为三棱锥的外接球球心，故三棱锥的外接球的表面积为S = 4兀（还）2 = 6n .28在三棱锥A-BCD中，ABC与ABCD都是边长为6的正三角形，平面ABC丄平面BCD， 则该三棱锥的外接球的体积为（ ）A. 515nb. 60nc. 60运nd. 207T5n【答案】 D【解析】取BC的中点为M，E，F分别是正三角形ABC和正三角形BCD的中心，O是该三棱锥外接球的球心，连接AM，DM，OF，OE，OM，OB，则E

11、，F分别在AM，DM 上, OF丄平面BCD，OE丄平面ABC，OM丄BC，AM丄BC，DM丄BC，所以ZAMD为二面角A - BC - D的平面角，因为平面ABC丄平面BCD，所以am丄DM，1又 AM = DM = 3、茫，所以 EM = FM = AM =込3，所以四边形OEMF为正方形，所以OM =嘗6，在直角三角形OMB中，球半径 OB = JOM2 + BM2 =耳（J6）2 + 32 =帀，好教育云平台教育因你我而变 7I所以外接球的体积为V- 4n号5）3 - 20 岳.9 在矩形ABCD中，AC - 2，现将ABC沿对角线AC折起，使点B到达点B的位置，得到三棱锥B-ACD，

12、则三棱锥B-ACD的外接球的表面积为（）A. nB. 2兀C. 4n【答案】 CD.大小与点B的位置有关【解析】由题意，AC的中点为三棱锥B- ACD的外接球的球心，/ AC - 2，二球的半径为1,二三棱锥B-ACD的外接球的表面积为S -4兀二、填空题10.已知正四棱锥的顶点都在同一球面上，且该棱锥的高为4 ,底面边长为2迈,则该球的体积为125 n【答案】6【解析】如图所示，正四棱锥P - ABCD的外接球的球心O在它的高PO上，设球的半径为R，底面边长为2J2，所以AC - 4 ,在RtAAOO 中，OA2 -O O2 + OA2，即R2-（4 R）2 + 22,所以R - 2，所以球

13、的体积V - 4 nR3 -罟.23611.如果三棱锥的三条侧棱两两垂直，它们的面积分别为6、4、3 ,那么它的外接球的表面积 .【答案】29兀【解析】由已知得三条侧棱两两垂直，设三条侧棱长分别为b, c (a b，c e R +),ab = 12 则 be = 8 ，二 abc = 24，二 a = 3 , b = 4 , c = 2 ,(2R)2 = a2 + b2 + c2 = 29 ,ac = 6S = 4nR2 = 29n .12 .在三棱锥A 一 BCD中，AB = CD = 2 , AD = BC = 3 , AC = BD = 4，则三棱锥A 一 BCD外接球的 表面积为.29

14、【答案】29 n2【解析】设补形为长方体，三个长度为三对面的对角线长，设长宽高分别为a，b，c ,贝Ia2 + b2 = 9， b2 + c2 = 4， c2 + a2 = 16，二 2(a2 + b2 + c2) = 9 + 4 +16 = 29，2929292，2， 2 n13.在直三棱柱ABC ABC中，AB = 4， AC = 6， A = 3， AA】=4，则直三棱柱ABC ABC的外接球的表面积为答案】160n3【解析】BC2=16答案】160n3【解析】BC2=16+36 -2 -4 -6 - 2=28BC = 2.7，22戸160160n .3R 2 = r 2 + （型）2

15、= 28 + 4 = 4023314 已知三棱锥S ABC的所有顶点都在球O的球面上，ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的 直径，且SC = 2，则此棱锥的体积为.【解析】1 八、 6 7 _ 2.6 “ _ 1 _ 1 3 2 J6 2 TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark63 o Current Document 丫 333 球 33 43615在直角梯形ABCD中，ADBC , ZA = 90 , ZC = 45 , AB = AD =1，沿对角线BD折成四面 体A-BCD，使平面ABD丄平面BCD，若四面体A-BCD的顶点在同一个球面上，则该球的表面

16、积 为【答案】4兀16.在边长为2、.：3的菱形ABCD中，/BAD = 60 ,沿对角线BD折成二面角A-BD-C为120的四面体ABCD，则此四面体的外接球表面积为【答案】28兀【解析】如图，取BD的中点M , ABD和BD的外接圆半径为r = r = 2 ,12ABD和MBD的外心o ,O到弦BD的距离（弦心距）为d = d = 1 ,1 2 1 217.个四棱柱的底面是正方形，侧棱与底面垂直，其长度为4,棱柱的体积为16,棱柱的各项点在一个球面上，则这个球的表面积是（ ）A. 16n【答案】A. 16n【答案】CB. 20nC. 24nD. 32n解析】正四棱柱的高为4，体积为1 6

17、，则底面面积为4，即底面正方形的边长为则外接球的半径R =勇，故表面积为S 4nR则外接球的半径R =勇，故表面积为S 4nR2 12n .20.点A , B , C , D在同一球的球面上，AB = BC = AC = :3 ,若四面体ABCD体积的最大值为P3 ,18.一个几何体的三视图如图所示，其中主视图和左视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形则几何体的外接球的表面积为（ ）宅視图左观图宅視图左观图俯视图A. 3nb. 4.3nC. 12nd. 123n【答案】 A【解析】把原来的几何体补成以DA , DC , DP为长、宽、高的长方体， 原几何体四棱锥与长方体是同一个外接球，332

18、R二l = Q12 +12 +12 =f3 R S =4nR2 二4nx二3n .，2，球419.直三棱柱ABC A1B1C1中，AB丄BC , AB = BC = AA1 = 2 ,则该三棱柱的外接球的表面积为（）A. 4nA. 4nB.8nC. 12n答案】解析】在直三棱柱ABC- ABC 中 AB 丄BC AB BC AA 2解析】1 1 1 1ABBABBC，AA1为棱构造一个正方体,A.169n289nA.169n289n1625n16D. 8n【答案】B【解析】设AABC的中心为E，过点E作平面ABC的垂线I, TOC o 1-5 h z 2则有题意可知，点D在直线1上，ABC的面

19、积为S二X桓心3X sin 60。=翦. HYPERLINK l bookmark105 o Current Document 4由体积的最大值可得X S X DE = X 3 V X DE f ，则DE= 4 .3 4由题意易知，外接球的球心在de 上,设球心为点O，半径OD = OB = R .ABC的外接圆半径满足= 2r，即二二2r，二丫二BE= sin Asin 60。在 Rt 在 Rt OBE 中，oe 2 + BE 2 二 OB 2即 (4 - R)2 +12 = R2，解得R二7289 289据此可得这个球的表面积为S = 4nR 2 = 4n X斎=苍n21.个正四面体的所有

20、棱长都为2，四个顶点在同一个球面上，则此球的表面积为（）A. B. 4nc. 3、3nD. 6n【答案】 A【解析】如图，将四面体补成正方体，则正方体的棱长是1，正方体的体对角线长为J3， 即此球的半径R =斗，故球的表面积S = 4nR2 = 3n .22.已知三棱锥P-ABC的四个顶点都在同一个球面上，底面AABC满足BA = BC = J6 , ZB = 90。 若该三棱锥体积最大值为3，则其外接球的表面积为（ ）A. 21nB. 32 nC. 16nD. 16n33【答案】D【解析】因为ABC为等腰三角形，所以AC为截面圆的直径，AC =QAB2+ AC2 =2j3,即该三棱锥的外接球

21、的球心O在截面ABC中的射影为AC的中点D，当P，0，D三点共线且P，0位于截面同一侧时，三棱锥的体积最大，此时三棱锥的高为PD , 所以x x J6 x 06 x PD =3，解得 PD =3，32设外接球的半径为R，则0D = 3 R，OC = R，在Rt CD中，cd = Ac =爲，由勾股定理得（3 - R）2 + &3）2二R2，解得R = 2，2所以外接球的表面积为S二4nx 22二16n .23 已知四面体ABCD中，AB = AD = 6， AC= 4， CD = 213， AB丄平面ACD，则四面体ABCD外接球的表面积为（ ）A. 36nb. 88nc. 92nd. 128

22、n好教育云平台教育因你我而变 13【答案】B【解析】在ACD 中，由 AD= 6 , AC= 4 , CD = 2、1,可得 AD 2 + AC 2 = CD 2 ,则 AC 丄 AD,又 AB丄平面 acd，故 2R =斜2 + 62 + 62 =二 ;22 ,则 V 二 4n x -22)2 二 88n .24 已知A , B是球0的球面上两点，ZAOB = 60。, C为该球面上的动点，若三棱锥0 - ABC体积的 最大值为I8，则球0的体积为()A. 81nb. 128nc. 144nd. 288n【答案】 D【解析】由题意可知V= ( R2 sin60o)h W ( R2 sin60

23、o)R = 18j3 R = 6 V = nRs 二 288n c-oAB 3、23 21，球 325 已知A，B，C，D是同一个球面上的四个点，其中血C是正三角形，AD丄平面ABC，AD = 2AB = 6，则该球的表面积为()A. 16nB. 24nC. 32j3nd. 48n【答案】 C【解析】把A , B , C，D扩展为三棱锥，上下地面中心连线的中点与A的距离为球的半径，AD = 2AB = 6 ,0E=3ABC 是正三角形，2 1 0E=3ABC 是正三角形，2 1 所以 AE = 3； AB2 -(2 AB)2=J3，Ao 32 + &3)2 = 2朽.所以球的体积为x (2j3

24、)3 = 32j3n .好教育云平台一一教育因你我而变1426.已知三棱锥P - ABC的所有顶点都在球的球面上，PA丄AB , PA丄AC , ZBAC = 60 , pA= 2 ,AB二2, AC = 3，则球的表面积为(C.C.竺n3A. n 【答案】 A【解析】设ABC外接圆半径为r，三棱锥外接球半径为R-AB = 2 AC = 3 ZBAC = 605551 BC2 = AB2 + AC2 2AB - ACcos60 = 4 + 9 - 2x 2x 3x - = 7 , 即 BC =眉, 2r =需=畔，解得r再. PA 丄 AB, PA 丄 AC，二 PA 丄平面 ABC, TOC

25、 o 1-5 h z PA21 10则将三棱锥补成三棱柱可得，R2 = ()2 + r2 = 1 +=-,93即球的表面积为S = 4nR2 = 4nx巴=40n HYPERLINK l bookmark33 o Current Document 3 27如图，在四面体27如图，在四面体P 一 ABC中，PA = PB = PC = 4，点是点P在平面ABC上的投影,A. 8J6nb. 24nc. 32*3nd. 48n【答案】 A【解析】在四面体P - ABC 中, PA = PB = PC = 4 ,J2 点0是点P在平面ABC上的投影，且tanZAPO二*s心po ,cos zap。仝,

26、 ao 二罟,po 二 436由题意知四面体P - ABC的外接球的球心在线段P0上,二 0 0 2 二 0 0 2 + A0 2 - A0 2R)2 + ( 3 )2 - R2，解得 R = 6 .四面体p-ABC的外接球的体积为8J6兀.28 .已知四面体ABCD的外接球球心0恰好在棱AD上，且AB = BC = 2 , AC= 2 , DC = 2J3 , 则这个四面体的体积为（ ）22再4勇5再a. 3BC.d. I-【答案】B【解析】/ AB = BC =富,AC = 2，二 AB2 + BC2 = AC2. AB丄BC , ABC外接圆的直径为AC,球心0为AC的中点.球心0恰好在侧棱DA上， 00丄面ABC ,又外接球球心0恰好在棱AD上，所以0为AD中点，所以ADBC .即BC丄面ABC , DC = 2常3 .则四面体的体积为1则四面体的体积为1S3 ABC1 1_ 2 ；3 DC=3 X 2 “：2 r2 X 2占=亍二、