高中数学人教A版高中必修1第三章 函数的应用方程的根与函数的零点教案

1、3.1.1 方程的根与函数的零点 一、教学目标1知识与技能理解函数零点的意义，了解函数零点与方程根的关系，掌握零点存在性定理，会求简单函数的零点.2过程与方法通过体验零点概念的形成过程、探究零点存在的判定方法，提高学生善于应用所学知识研究新问题的能力.3情感、态度与价值观通过本节课的学习，学生能从“数”“形”两个层面理解“函数零点”这一概念，进而掌握“数形结合”的方法.二、教学重点与难点重点：理解函数零点的概念，掌握函数零点与方程根的求法，零点存在的判断.难点：方程的根与函数零点的关系（体现函数与方程的关系），零点存在判定方法的探究及应用（体现判定方法：条件、结论、应用）.三、教学过程（一）发

2、现问题，引出课题问题1 观察下表，求出表中一元二次方程的实数根，画出相应的二次函数图象的简图，并写出函数图象与x轴交点的坐标方程x2-2x-3=0 x2-2x+1=0 x2-2x+3=0方程的实数根函数y=x2-2x-3y=x2-2x+1y=x2-2x+3函数图象（简图）图象与x轴的交点设计意图 从学生熟知、具体的二次函数入手，设置学生的最近思维发展区，使新知识与原有知识形成练习.提出疑问：方程的根与函数图象与x轴交点的横坐标之间有什么关系？结论：方程的根就是函数图象与x轴交点的横坐标.师生活动【教师】 出示表格，引导学生填写表格，并分析填出的表格，从二次方程的根和二次函数的图象与x轴的交点的

3、坐标，去探究一元二次方程与相应二次函数的关系.【学生】 填表，并回答问题.【师生】 交流，归纳：如果一元二次方程没有实数根，相应二次函数图象与x轴就没有交点；如果一元二次方程有实数根，它的实数根就是相应二次函数图象与x轴交点的横坐标。反之，如果二次函数图象与x轴没有交点，相应的一元二次方程就没有实数根；如果二次函数图象与x轴有交点，其横坐标是相应的一元二次方程的实数根.教学内容 填写下表，并探究一般得一元二次方程ax2+bx+c=0()相应的二次函数y=ax2+bx+c=0()的关系：ax2+bx+c=0()的实根y=ax2+bx+c=0()的图像与x轴的交点=0设计意图 由具体的一元二次方程

4、和二次函数到一般的一元二次方程和二次函数，既有利于学生掌握知识，又有助于学生抽象思维能力的形成.师生活动【教师】 出示表格，提出问题.【学生】 填表，并回答问题.【师生】 交流，归纳：如果一元二次方程没有实数根，相应二次函数图象与x轴就没有交点；如果一元二次方程有实数根，它的实数根就是相应二次函数图象与x轴交点的横坐标。函数y=ax函数y=ax2+bx+c=0()的图像与x轴的交点情况（有没有？有几个？）方程ax2+bx+c=0()的实根情况（有没有？有几个？）（二）总结归纳，形成概念1、函数的零点：对于函数y=f（x）我们把使方程f（x）=0的实数x叫做函数y=f（x）的零点.注意：函数零点

5、不是一个点，而是具体的自变量的取值；你能说说方程的根、函数图象与x轴的交点、函数的零点三者之间的关系吗？等价关系：方程f（x）=0有实数根 函数y=f（x）的图象与x轴有交点 函数y=f（x） 有零点（零点是针对函数而言的，根是针对方程而言的）。给出零点的概念后，教师可向学生提出，借助方程可研究相应函数的性质，反之，借助函数也可研究方程的根的情况.思考： 对于给出的结论f（a）f（b）0，是否在（a,b）上就一定没有零点？举例验证结论.说明： （1）教师可以再给出一些例子，如函数（2）分析出结论后，建议强调：前提：函数的图象在区间a，b上是连续不断的曲线；结论：函数的零点存在，也即方程的实根存

6、在，可能是一个，也有可能有多个.【教师】 提出问题，是否所有连续函数的零点都可以利用定理去判定？引导学生举出实例.教学内容例1：求函数f(x)=lnx+2x-6的零点个数.设计意图让学生意识到函数图象及基本性质（特别是单调性）在确定函数零点中的重要作用，提高学生综合运用数学知识解决问题的能力.师生活动【教师】 出示问题，并鼓励学生从数据表格和函数图象两个方面对函数f(x)=lnx+2x-6的性态进行分析，数据表格可使学生获得函数值符号的变化规律，而图象则直观显示了函数零点的有无及数量.【学生】 填写数据表格，并画出函数的图象.数据表格x123456789f(x)-4.0-1.31.13.45.

7、67.89.912.114.2【教师】适时提出引导性问题：从函数f(x)=lnx+2x-6的图象与x轴的位置关系来看，函数f(x)有几个零点？它（们）在什么范围内？【师生】学生观察图象，分析数据表格，回答教师的问题. 通过观察图象，学生可能很容易得到函数f(x)有一个零点，但其范围可能略有不同，如：区间（1,3），（1,4），（2,3），（2,4）等。教师要尊重学生的不同视角. 函数f(x)是否只有一个零点呢？是否可能有其他零点？教师需不失时机地引导学生自己提出疑问，并寻求可能的解题途径。有些学生可能认为，由图象和数据表格得到的结论不可能错误；但另一些学生可能随即会提出：由于图象和表格的局限性

8、，不排除存在其他零点的可能性. 教师引导学生分析函数的解析式f(x)=lnx+2x-6随着x的逐渐增大，lnx和2x-6的值都逐渐增大，从而f(x)越来越大，即函数f(x)在其定义域内是增函数，学生进一步草拟解题过程，然后由某生口述，教师板书.教学内容不计算函数值、不列出数据表格，也不画函数f(x)=lnx+2x-6图象，能得到本题的结论吗？设计意图信息技术的使用有助于学生理解数学概念和数学思想，但不利用信息技术，也可能帮助学生从另一角度理解问题，从而加深学生对知识理解的深度，所以教师要适时地超越技术的羁绊，为学生的发展奠定良好的基础.师生活动【师生】 引导学生反思前面的解法，如何回避计算，如

9、何利用基本初等函数的图象和性质求解？思路1：寻找函数值符号的变化规律，以f(2)，f(4)为例：函数值符号得变化x123456789f(x)的符号-+思路2：将函数f(x)=lnx+2x-6的零点个数转化为函数y=lnx和y= -2x+6的图象交点的个数。函数y=lnx和y= -2x+6都是基本初等函数，图象极易画出，如下图.【教师】 出示问题，函数在（a,b）上是否有零点，可以根据来判定，若给出方程，如何判断在区间（a,b）上是否有零点？教学内容让学生总结：（1）方程的根与函数的零点的关系；（2）判定方程在某个区间上存在根的基本步骤.求零点方法总结：代数法：令f（x）=0；解方程f(x)=0；写出零