大一下高数第三节三重积分

1、物质密度函数为(xyzC,内的物质的M . 解决方法类似二重积分解决问题的思想“大化小常代变, 近似和可nM lim (k,k,k0 k (k ,k , k )1、定义1、定义. 设f(xyzxyz若对 作任意分割vkk12n),任意取点(k,k,kvk,下列“乘积和式” 极限nlim f( , , )v 记f (x, y,z)k存在, 则称此极限为函数f(xyz在上的三重积分dv称为体积元素, 在直角坐标系下常写作 2、性质:三重积分的性质与二重积分相似. 例3、中值定理f(xyz在有界闭域上连续V为的体积, 则存在(, , 使得 f (x, y,z)dv f (,二、二、三重积分的计1.

2、利用直角坐标计算三重积先假设连续函数 f (xyz0并将它看作某物的密度函数, 通过计算该物体的质量引出下列各计算方法1 . 投影法(“先一后二方法2 . 截面法(“先二后一方法3 . 三次积分最后, 推广到一般可积函数的积分计算方法1. 方法1. 投影法(“先一后二”z z2(x, :z1(x,y) z z2(x, (x,y)f(x,y,z)dz z1(x, z (x,yf (x,y,z)dz dxdz1(x,y记作 dxdyz2(x,y) f (x, y,dxd z1(x,f (x, y,z)dxd例1 化三重积分 I fxyz)dxdydz次积分，其中积分区域z x2 2及z2 x2所围

3、成的闭区域例1例1 化三重积分 I fxyz)dxdydz为次积分，其中积分区域为由曲z x2 2及z2 x2所围成的闭区域z x2 2y解 由 z 2 x得交线投影区Dxy :x y 1 x 1 x y 1 x x2 2y2 z 2 x先一后2I dxdyx22y2 f (x,y,2 1dx 1x2 dyx2 2y2 f (x,y,例 2 计算三重积分zdxdydz，其中坐标面及平面x y z 1所围成的闭区域z1y1x例3例3 计算三重积分 y 1 x2dxdydz，其中由曲y 1 x2 z2x2 z2 1y 1所方法方法2. 截面法(“先二后一:(x, y) a z该物体的质量y f (

4、x,y,z)d 面密度f (x, y,z)dxd f (x, y,z)d 记作Dz f (x, y,z)dxd截面法的一般步把积分区域向某轴（例如z 轴）投影，得投影区间c1c2；对zc1c2 用过z轴且平行xoy平面的平面去截，得截面Dz; 计算二重积分 f(x,y,其结果为z的函数F(z)；c最后计算单积分 F(z)dz即得三重积分值例 2 例 2 计算三重积分zdxdydz，其中坐标面及平面x y z 1所围成的闭区域z1y1x例 2 计算三重积分zdxdydz，其中坐标面及平面x y z 1所围成的闭区域1解（一）zdxdydz 0 zdzz Dz (x,y)|x y1dxdy 2(1

5、z)(1 1 原式 z1(1z)2dz方法方法3. 三次积z1(x,y) z z2(x,设区域 :y (x) y y (x) (x, y) D : 1a x利用投影法结果 , 把二重积分化成二次积分即得 f (x, y,z)d bdx y2(x) dy z2(x,y) f (x, y,y1(z1(x,投影z (x,yf(x,y,z)dv dxdy f (x,y,z)d3 化三重积分I fxyz)dxdydz为次积分，其中 积分区为由曲面zx2 y2, y x2y1, z 0所围成的空间闭区域如图，33 化三重积分I fxyz)dxdydz为次积分，其中 积分区为由曲面zx2 y2, y x2y

6、1, z 0所围成的空间闭区域如图，解 0 z x2 y2x2 y 1, 1 x x2I 1dxx2 f (x, y,z)dz小结: 小结: 方法1. “先一后二z (x, f(x,y,z)dv dxdy f (x,y,z)d z1(x,方法2. “先二后一 f(x,y,z)dv bdf (x, y,z)dxdZ方法3. “三次积分y (z (x, f (x,y,z)dv dx dy f (x, y,z)d y1(z1(x,例4. 计算三重积分 z2dxd ydz z z其中b x用“例4.例4. 计算三重积分 z2dxd ydz z z其中c zb 解: yzDz : 2 2 1 用“先二后

7、一c z2dxd ydz z2dz dxd z2 ab(1 z )dz 4 例5例5 计算三重积分 y 1 x2dxdydz，其中由曲面y 1 x2 z2x2 z2 1y 1所例5 计算三重积分 y 1 x2dxdydz，其中由曲面y 1 x2 z2x2 z2 1y 1所解 如图将投影到zox平面得 Dxz : x2 z2 1, y积分，再求Dxz 上二重积分oo1原式1原式 y 1 1x2x2 dx1 1 1 x2(x2z z )| 1x3 1 1(1 x2 2x4)dx 1 练习. 练习. 计算 x y 5xy sin x y dxd ydz, 其z1(x2 y2z 1, z 4围成2z4

8、x练习. 计算 x y 5xy sin x y dxd ydz, 其z1(x2 y2z 1, z 4围成2z4x练习练习计 (x2 5xy2sin x2 y2 )dxd yd其z1(x2 y2z 1, z 4围成2解: I x2 dxd ydz5 xy2 sin x2 y2 dxd yd利用对称 1 (x2 y2 )dxd ydz 14dz (x2 y2 )dxd 2 14dz2 d 2z r3 dr 2 2. 利用柱坐标计算三重积设M (x, y, zR3,将x, y用极坐标,代替, （, 就称为点M的柱坐标. 直角坐标与柱面坐标的关系x 0 y 0 2 zM(x, y,坐标面分别为 常圆柱

9、 常半平(x, z 常平如图所示如图所示, dv ddd因 f (x, y,z)dxd F(,z)dd 其中 F(,z) f (cos, sin, zdd适用范围积分域表面用柱面坐标表示时方程简单 被积函数用柱面坐标表示时变量互相分离如图如图所示, 在柱面坐标系中体积元素dv ddd因 f (x, y,z)dxd F(,z)dd 其中 F(,z) f (cos, sin, zdd6 计算I zdxdydz，其中是球x2 y2 z2 4与抛物面x2 y2 3z 所围的立体66 计算I zdxdydz，其中是球x2 y2 z2 4与抛物面x2 y2 所围的立体xr解 y rsin 知交线z r2

10、z2 4 z 1, r2 把闭区域 投影到xoy 面上2: r z 4r30 r 0 4rI 0 d0 drrzdz 4 ，7 7 I x2 y2dxdydz是曲线 y2 2zx 0 绕oz轴旋转一周而成的曲面与两平面z 2, z 8所围的立体.7 I x2 y2dxdydz是曲线 y2 2zx 0 绕oz轴旋转一周而成的曲面与两平面z 2, z 8所围的立体.y2 解 由绕oz 轴旋转 x 旋转面方程为 x2 y2 所围所围成立体的投影区域如图D : x2 y2 10 : 0 r 4 D 1 r2 20 0 r D2 : x2 y2 2 : r2 I I1 (x2 y2)dxdydz (x2

11、 y2)dxdydzI rdrd 8 4 d drrr I2 rdrdrfdz d drrr dz原式I 例8.例8.计算三重积分 z x2y2dxdydz其中为柱面x2 y2 2x 及平面z 0, z a(a0), y0所成半圆柱体aoy 2x例8.计算三重积分 z x2y2dxdydz其中为柱面x2 y2 2x 及平面z 0, z a(a0), y0所成半圆柱体0 2解: 在柱面坐标系下0 20 zo原式 z2ddd2 2d 2cos 2 d 4a2 8 3 0 cos d 9dv dd例9. 计算三重积分例9. 计算三重积分 dxdydz , 其中1x2 yx2 y2 4z 与平面zh(

12、h0)所围成r2 z 4解: : 0 2 0 2 原式=2 d2 d1 2 h dv dd2 1 2 (h 4 )d (14h)ln(14h)4h dv 在 dxdydz 思考思考选择题为六个平面x 0 x 2y 1x 2y z xz 2围成的区域f x, yz)在则累次积 f(x, y,z)dv.0 dx2xdy2 f(x,y,22 dx 2 dy f(x,y,0 dx2xdyx f(x,y,22 dx 2 dy f(x,y,计计I y 1x2 dxd ydz ,其中 y 1 x2 z2 , x2 z2 1, y 1 所围成.分析：若用“先二后一”, 则有0I yd1 x2 dxd1yd 1 x2 dxd计算较繁! 采用“三次积分”较好解: 由y 1x2 z , x2 z2 1, y1 所围, 故表 1x2 z2 y: 1x2