初中数学人教八年级下册第十八章 平行四边形嘉陵一中 提炼模型 问题简单化

1、提炼模型 复杂问题简单化广元市利州区嘉陵第一初级中学 贾丽君 一、原题呈现2023年内蒙古鄂尔多斯市中考题如图1，EOF的顶点O在正方形ABCD两条对角线的交点处，EOF=90，将EOF绕点O旋转，旋转过程中，EOF的两边分别与正方形ABCD的边BC和CD交于点E和点F（点F与点C，D不重合）则CE，CF，BC之间满足的数量关系是。【类比应用】 如图2，若将（1）中的“正方形ABCD”改为“BCD=120的菱形ABCD”，其他条件不变，当EOF=60时，上述结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请猜想结论并说明理由（3）【拓展延伸】 如图3,BOD=120，OD= ，OB=4，OA平

2、分BOD ，AB= ，且OB2OA，点C是OB上一点，CAD=60，求OC的长设计意图此题分三个小题，由易到难，先分析（1）题，类比(1)题得出（2）题的解题思路，再由（2）题得出结论来解（3）题，符合新课标要求，主要考察学生的读图，分析，类比，归纳的能力，以及推理论证的能力等。考点分析：本题属于四边形综合题，是一道中考压轴题，考察了正方形的性质、菱形的性质、解直角三角形以及四点共圆、全等三角形的判定和性质以及角平分线的性质等。本题所用的数学思想:：类比思想，方程思想 ，数形结合思想， 建模思想。一题多解第一问很容易想到通过证证明BOECOF,得到BE=CF,所以得到结论CE+CF=BC. 本

3、题重点是第二小问的解决，第（2）问的解法，一小问的EOF等于90，BCD=90，两全等的三角形可以通过旋转90得到。而小题的EOF=60，BCD=120，所以我们想到把OC绕着O点顺时针旋转60的方法制造全等三角形的方法。方法一：旋补法结论不成立，CE+CF= BC,理由如下：把OC绕着O点顺时针旋转60，交BC于M四边形ABCD是菱形，BCD=120BCO=60，OMC=60COM=BCO=OMCCOM是等边三角形OM=CM=OC,OMC=EOF=60又MOC=EOF=60MOE=COFOMEOCF（ASA)ME=CFCE+CF=CE+ME=CM=OC在RtBCO中，OBC=30CO=BCC

4、E+CF= BC方法二：双垂法过点O作OMBC于M,ONCD于点N四边形ABCD是菱形BCO=ACD=60OM=ON而OC=OCOMCONC得CM=CN再证OMEONF得ME=NFCE+CF=2CM又在RtDMC中，COM=302CM=OCCE+CF=OC= BC方法三：四点共圆CE+CF= BC , 理由如下在CO 上取CM=CE,CN=CF,连接EM、FN四边形ABCD是菱形，BCD=120BCO=OCD=60CME、CNF是等边三角形CE=CM=ME, CF=CN=NFEMO=ONF=120NOF+OFN=120又EOM+NOF=120EOM=OFNBCD+EOF=180O、E、C、F四

5、点共圆而ECO=OCF=60OE=OFOMEFND（AAS)OM=FNCE+CF=OC在RtBOC中，OBC=30CO= BCCE+CF= BC对角互补模型由于在初中阶段，学生主要接触到得是90，120的特殊情况，所以我们把这两种特殊情况下的结论总结一下：如图，AOB=DCE= 90 ,OC平分AOB结论：OD+OE= OC CD=CE如图,AOB= 120 ,DCE= 60 ,OC平分AOB结论：OD+OE= OC CD=CE归纳：对角互补模型如图DCE+DOE=180,OC平分DOE,DOE=结论：CD=CE四模型应用 【拓展延伸】 如图3,BOD=120，OD= ，OB=4，OA平分BO

6、D ，AB= ，且OB2OA，点C是OB上一点，CAD=60，求OC的长2.如图，BC是O的直径，AD平分BAC交O于点D，已知AB=6,AC=8，求AD的长 3如图，在四边形ABCD，ADBC,A=90，EBF=C,若AD:AB=1： ，C=60.求证：DE+DF=BC五拓展延伸如图，AOB+DCE=180,OC平分AOB,AOB=，将DCE绕点C旋转一定角度与OA反向延长线交于点D则OC、OD、OE有何关系？六题后小结对角互补模型的证明方法主要有三种，旋补法、双垂法、四点共圆法。其中，双垂法是一种通法，有些变型题其他两种方法不好解决，但双垂法屡试不爽，也是学生比较容易想到的方法。通过对本题的研究提炼出对角互补模型，从一道题目多思路多解法的训练、变式训练及模型的提炼，更能让学生的思维迁移