人教版数学高一B版必修4示范教案 向量数量积的坐标运算与度量公式

1、高中数学-印版示教整设教学分析这一节，主要是把数量积运算完全坐标化向量的数量积，教材将其分为三部分 一部分向量的数量积中首研平面向量所成的角，其次绍了向量数量积的定义，最 后研究了向量数量积的基本运算法则和基本结论二分中专门探究了数量积满足的运 算律，在第三部分平面向量数量积的坐标表示中，在平面向量数量积的坐标表示的基础上， 利用数量积的坐标表示研讨了平面向量所成角的计算方式，得到了两向量垂直的判定方法， 本节是向量数量积的第三部分前面我们学习了平面向量的数量积及平面向量的坐标表示方在有了平面向量 的坐标表示以及坐标运算的经验和引进平面向量的数量积后其自然地要考虑到平面向 量的数量积是否也能用

2、坐标表示的问题另一方面，由于平面向量数量积涉及了向量的模、 夹角因在实现向量数量积的标表示后量的模夹角也都可以与向量的坐标联系起 来用面向量的坐标表示和标运算合面向量与平面向量数量积的关系来推导出 平面向量数量积以及向量的模、夹角的坐标表示教师应在坐标基底向量的数量积的基础上向量数量积的坐标表示例题分析、 课堂训练让生总结归纳出对向量的坐标、数量积量成角及模等几个因素知 其中一些因素出其他因素基本题型的求解方法面向量数量积的坐标表示是在学生学 习了平面向量的坐标表示和平面向量数量积的基础上进一步学习的数量积的坐标表 示奠定了知识和方法基础三维目标通过探究平面向量的数量积的坐标运算，掌握两个向量

3、数量积的坐标表示方法 掌握两个向量垂直的坐标条件以及能运用两个向量的数量积的坐标表示解决有关度、角度、垂直等几何问题通过平面向量数量积的坐标表示，进一步加深学生对平面向量数量积的认识，提 学生的运算速度，培养学生的运算能力，培养学生的创新能力，提高学生的数学素质重点难点教学重点：平面向量数量积的坐标表示教学难点：向量数量积的坐标表示的应用课时安排 时教过导入新课思 1.平面向量的表示方法几何法和坐标法量的表示形式不同其算的表示 方式也会改变向的坐标表示为我们解决有关向量的加数运算带来了极大的方 便上一节，我们学习了平面向量的数量积向量的坐标表示，对平面向量的数量积的 表示方式又会带来哪些变化呢

4、？由此直接进入主题思 2.在平面直角坐标系中面向量可以用有序实数对来表示个面向量共线的 条件也可以用坐标运算的形式刻画出来么习了平面向量的数量积之后能否用坐标 来表示？若能，如何通过坐标来实现呢？平面向量的数量积还会是一个有序实数对吗？同 时面量的模角该如何用坐标来表示呢？通过回顾两个向量的数量积的定义和向 量的坐标表示，引导学生推导、探索平面向量数量积的坐标表示推进新课精心校对1 2 21 1 1 21 1 1 2 21 1 1 21 1 1 1 2 2 1 1 2 2 1 2 2 2 1 2 1 11 1 1 新知探究提出问题数量积能否用坐标表示？零向，y ，y 与的坐标表b呢？的坐标表示

5、两个平面向量垂直的条件？所学知识推导出向量的长度、距离和夹角公式？活动 (1) a(a a )b )ab a )(b b ) e a b e e a e a b e e e e e 0ab b .a b a b (2) ab ab0 a ab a11ab20精心校对1 1 1 1 2 22 1 1 21 12 2 2 1 1 1 1 2 22 1 1 21 12 2 2 1 21 21 2 1 1 21 12 22 12 12 1 a b a b b.a a b a b 0. (a1a ) ba a b b b b(a1a)(b2b1 k k b (b )(3)引导学生自己推导公式如图 ，已知

6、 a(a ， )，则aaa(a ， )(a ， )a2a. 1因此 a 这就是根据向量的坐标求向量长度的计算公式 这个公式用语言可以表述为：向量的长度等于它的坐标平方和的算术平方根如果 ，y )，B(x ， )，AB(x ，y y )， 从而 x AB的长就是 AB 两点之间的距离，因此式也就是求两点的距离公式这与我们在 解析几何初步中得到的两点距离公式完全一样精心校对1 2 21 1 2高中数学-印版1 2 21 1 2由向量数量积的坐标表达式和向量长度计算公式及向量数量积的定义可直接 推得求两个向量夹角余弦的坐标表达式，a b bb2讨论结果：略应用示例思 1例 已 (3，b(1，2)求

7、ab，|b|，活动：解ab(3，3；a aa 1 ；b 2 5； 2因为 ， ，|a|b| 10 所以a，b .例 已知 ，B(2,3)，试判断ABC 的状，并给出证明活动 解在平面直角坐标系中标出 A(1,2)，B(2,3)，三点，我们发现 是直角 三角形下面给出证明AB(22)(1,1)，AC(22)3,3)， (30. ABAC. 是角角形.变式训练 在 中AB(2,3)， 的个内角为直角，求 k 的值精心校对1 2 1 2 1 1 2 ab1 21 21 2 21 2 1 2 1 1 2 ab1 21 21 2 2|AB|AC|解由于题设中未指明哪一个角为角，故需分别讨论 若A，则AB

8、AC所ABAC0.于是 13k故 k .同理可求，若B时， 的值为 ；3 13若C90时，k 的值为 11 3 13故所求 k 的为 或 或 例 3(1)已知三点 A(2， 的余弦值；(2)若 ()b，求 a 与 b 的夹角活动 a(x ) b(x ) x x y y ax ybx2 y2 |a|b|x x y yx2y xy 0 解(1)AB(5,1)(22)(3,3)，(1,4)(22)(1,6)， (615. 又|AB| 3 2 37， 15 5 74BAC 37 74(2)ab(，a|，|b5 2.ab 15 设 与 b 的角为 则 cos 又0， .| 3 2 变式训练 1 若点 分

9、向线段A所成的比为 ，则 有向线PA成的比是( ) 1A B 2答：A精心校对1 1 21 2 2 1 1 1 21 2 2 1 1 1 2 例 已知点 ，b)点 A(b，证：直线 x 是段 AA垂平分(图 图 活动 x x y 0 x y x y 0 证明：线段 AA的中点为 M(x，则依据中点公式，有a ax ，y . 由此得 xy，点 M 在线 yx 在直线 x 上任取一点 P，可设 P(x， 是OP，x)又因为A(b，所以 AAa)x(ab)所以OP因此，直线 yx 是段 AA的直平分线点： 变式训练求证：一次函数 y2x 图(直线 l 与一次函数 y x 的图象(线 l )互相垂直1

10、 2 2解在 l ：y2x 中，令 x1 得 ；令 x2 得 y1，即在 l 上取两点 A(11)， 同理，在直线 l 上取两点 ，D(，于是：AB(2,1)(1，1)(1,2)，CD(41)2,1)由向量的数量积的坐标表示，可得 ABCD1(2)120精心校对1 21 2 1 21 21 1 2 21 2 1 21 2 21 21 2 1 21 21 1 2 21 2 1 21 2 21 2 21 1 1 2 2n 1 2n 2n ABCD，即 l l .课堂小结在知识层面上，先引导学生归纳平面向量数量积的坐标表示，向量的模，两向量 夹角向量垂直的条件其引学生总结数量积的坐标运算规律，夹角和

11、距离公式向 量垂直的坐标表示在思想方法上，教师与学生一起回顾探索过程中用到的思维方法和数学思想方法 如类比，分类讨论等，使自己的认识在这一大节知识方法的整合中得以提升作业课本本节习题 2.4 A 组 8、10.设感由于本节课是对平面向量的进一步探究与应用，是对平面向量几何意义的综合研究提 高因此教案设计流程是探究现用高符合新课程理念符合新课标要求 们知道平面向量的数量积是本章最重要的内容，也是高考中的重点，既有选择题、填空题， 也有解答题大多同立体几何、解析几何综合考，故学习时要熟练掌握基本概念和性质及 其综合运用且量积的坐标示又是向量运算的一个重要内容坐表示直角坐标平 面内点的位置解析几何的

12、一个基本特征而以坐标为桥梁可以建立向量与解析几何的 内在联系以角函数表示点的标可以沟通向量与三角函数的相互关系由此就产生 出一类向量与解析几何及三角函数交汇的综合性问题平面向量数量积的坐标表示使得向量数量积的应用更为方便，也拓宽了向量应用的途 径通学习本节的内容要更加深对向量数量积概念的理解同时善于运用坐标形式运 算解决数量问题，尤其是有关向量的夹角、长度、垂直等，往往可以使问题简单化灵活使 用坐标形式，综合处理向量的线性运算、数量积、平行等，综合地解决向量综合题，体现数 形结合的思想本节的学习中可以通过对实际问题的抽象来培养学生分析问题决题 和应用知识解决实际问题的意识与能力备资一、a 的用

13、若 a(x ， ，(x ， )，则平面向量的数量积的性质 的标表示为 x xy y y xy(x y y )2(xy)(xy)不等式x x y y )(x2y2)(xy) 有非常广的应用，由此还可以推广到一般(柯西不等式：(a b )2 a a )(b b b )例 1(1)已知实数 ，y 满 x，则 x2y2的最小值是_(2)已知实数 x，y 满足(x2)2y1则 2xy 的大值解：(1)令 m(x，n(1,1) |n，|x xy ，即 y)(x216.xy8故 xy的最小值是 (2)令 m，(2，1)，yt.由 |n，|2(xy| y 5，即4| 5.解得4 54.所求的最大值是 5精心校

14、对 cos2 2高中数学-印版 cos2 2答：(1)8 (2) 4 a2 b例 已知 ，bR， ，试比较 与(ab)的大小a b解构造向量 m( ， ，ncos，)由m |n得cos sina a2 b2( cos sin2( 2)，cos sin (a2a2 . sin同类变式：已知 aR，且 mn，2a2b2，令 M n2，Nb比较 M、 大小a b解构造向量 p( ， )q(n，m)，由p p 得 a a22b2n ( ( ) (m2 m n n2mMN.n2) B 1Cm D 2 在平行四边形 ABCD 中， 为一条对角线，若AB(2,4)，AC(1,3)则BD等于 ( )A(24)

15、 B(，C D在平行四边形 ABCD 中AC 与 BD 交点 O，E 是线段 OD 的点AE 的长线 与 CD 交于点 ，AC，AF等于( )精心校对a | b|b 2AB高中数学-印版a | b|b 2AB 1 2 a B. 2 3 2C. a b a b 3已知向量 与 b 的角为 ，且a 4那么 的值已知 a，b 都是非零向量，且 ab 与 ab 垂b 与 7b 直，求 b 的夹角已知ABC 的三个顶点为 A(1,1)，C(4,5)， eq oac(,求)ABC 的积参答： 3.B 4.B 5.8解：已知abab (a3)(7)0 716a b152，又(aba2)4b)(7a2)7 820得 46a 23b2 b 2 ，即 a . 将代入，可得 7|28|15| 0即ab 2，有a ，b 1若记 与 b 的夹角为 ，则 cos .又 ，180，即 b 夹角为 分析： AB| |AC| BAC. 解AB，(3,4)|AB|2，|AC|5 30 3 BAC si