理论力学课件-17虚位移原理

1、10/7/2022虚位移原理110/3/2022虚位移原理1引言分析静力学: 考虑约束的限制运动方面，通过主动力在约束所容许的微小位移上的元功静力学分为刚体静力学和分析静力学刚体静力学（几何静力学）: 用几何的方法研究刚体的平衡.直接研究主动力和约束反力的关系2引言分析静力学:静力学分为刚体静力学和分析静力学刚体静力学（ 选取研究对象，取分离体；刚体静力学解题步骤 进行受力分析，画受力图； 建立平衡方程； 求解平衡方程。用虚位移原理处理平衡问题只在需要求解约束反力（包括内力）时，才有针对性地解除约束无须解除全部约束!3 选取研究对象，取分离体；刚体静力学解题步骤 进行受 约束的定义质点系分为自

2、由质点系和非自由质点系 约束方程非自由质点系受到的预先给定的限制称为约束用数学方程来表示的限制条件称为约束方程如1 约束 虚位移 虚功4 约束的定义质点系分为自由质点系和非自由质点系 约束方程几何约束和运动约束几何约束-只限制质点或质点系在空间的位置xyolMlABxoy实例r 约束的分类5几何约束和运动约束几何约束-只限制质点或质点系在空间的定常约束和非定常约束定常约束非定常约束f (x , y , z ) = 0f (x , y , z ，t )=0 xyolMv稳定约束不稳定约束如如-约束方程中不显含时间 t 的约束 。-约束方程中显含时间 t的约束。在任意瞬时t，其约束方程为6定常约束

3、和非定常约束定常约束非定常约束f (x , y ,-如果约束不仅限制质点在某一方向的运动，而且能限制其在相反方向的运动，称之为双面约束，或固执约束-如果约束仅限制质点在某一方向的运动，称之为单面约束，或非固执约束双面约束和单面约束双面约束单面约束如单摆刚性摆杆约束不可伸长的绳约束双面约束单面约束约束方程分别为：7-如果约束不仅限制质点在某一方向的运动，而且能限制-约束方程中不含导数或可积分为有限形式。完整约束和非完整约束完整约束非完整约束本章只讨论： 完整的、定常的、 双面的、几何约束！-约束方程总是微分形式。8-约束方程中不含导数或可积分为有限形式。完整约束二、虚位移在某瞬时，质点系在约束所

4、允许的条件下，可能实现的、任何无限小的位移称为虚位移在稳定几何约束下，质点系无限小的实位移是其虚位移之一虚位移的特点：虚位移仅与约束条件有关，是纯粹的几何量与实位移相比：虚位移是无限小的位移；实位移可为无限小，也可为有限值虚位移是假想的位移，与时间、力、质点系的运动情况无关9二、虚位移在某瞬时，质点系在约束所允许的条件下，可能实现的、虚位移常用r、 x、s、等表示；-等时变分算子符号（变分符号）；-表示无限小的变更； 的运算规则与微分算子“d ”的 运算规则相同。 说明关于符号10虚位移常用r、 x、s、等表示；-等时变AB三、虚功质点或质点系所受的力在虚位移上所作的功称为虚功，用W 表示。

5、W = F rB力偶 M 的虚功： W = M 力 F 的虚功： = Fr cosFrmMxoyF于是，rB W = F r11AB三、虚功质点或质点系所受的力在虚位移上所作的功称为虚功，2 虚位移原理 具有完整、双面、定常、理想约束的质点系，在给定位置保持平衡的必要和充分条件是： 所有作用于该质点系上的主动力在任何虚位移中所作的虚功之和等于零。 矢量表达式为 坐标分解式为虚功原理虚功方程静力学普遍方程122 虚位移原理 具有完整、双面、定常、理想约束 虚位移原理的应用研究平衡状态1、确定主动力之间的关系或平衡位置2、求解其内力或约束反力13 虚位移原理的应用研究平衡状态1、确定主动力之间的关

6、系或螺旋千斤顶中，旋转手柄OA=l=0.6m，螺距h=12mm。今在OA的水平面内作用一垂直手柄的力P=160N，试求举起重物B的重量。不计各处摩擦。WAolPPPPB14螺旋千斤顶中，旋转手柄OA=l=0.6m，螺距h=12mm。WAolPPPPB千斤顶受理想约束，给P力点A虚位移rA = l由虚功方程Pl W rB =0rB : = h : 2，相应地W力点B有rBWF =0可知，当P=160N时，能举起50.27KN的重物，是P 的314倍！rA rB15WAolPPPPB千斤顶受理想约束，给P力点A虚位移rA 曲柄滑块机构如图，已知曲柄OA = r，连杆AB = l，曲柄上作用力偶M，

7、滑块上作用力P，求系统在图示位置平衡时，M与P的关系。ABxoyPM16曲柄滑块机构如图，已知曲柄OA = r，连杆AB = l，曲 给OA以虚位移 ，由 WF = 0PrB M = 0 求虚位移间的关系法一:投影定理rAAB=rBAB r cos90()=rB cosMABxoyP且rA= r 相应地滑块B有rBrBrA90()17 给OA以虚位移 ，由 WF = 0PrB 法2用虚速度法。vAAB=vBABrOAcos90( )=vBcos 且ABxoy由速度投影定理rB90()18法2用虚速度法。vAAB=vBABrOAcMABxoyP法3方程变分法19MABxoyP法3方程变分法19图

8、示机构中，当曲柄OC绕O轴摆动时，滑块A沿OC滑动，从而带动杆AB沿铅直槽K滑动。OC=a，OK= l，在C点垂直曲柄作用一力Q，AB上作用力P沿AB方向，求机构在图示位置平衡时力Q、P的关系。BCAOKlQPQPQP20图示机构中，当曲柄OC绕O轴摆动时，滑块A沿OC滑动，从而带BCAOKlQPQPQP给杆OC以虚位移 ，虚功方程为以OC为动系，A为动点，则有虚速度合成式为B点有虚位移rB，rBAB杆作平动,于是得21BCAOKlQPQPQP给杆OC以虚位移 ，虚功方程为abPABC用虚位移原理，求 B 处的反力BNBPAB1NBC1CB、用反力代替B支座、给结构一虚位移、写虚功方程22ab

9、PABC用虚位移原理，求 B 处的反力BNBPAB1NB已知三铰拱上作用有集中载荷P及力偶M，求B支座的约束反力。三铰拱是受有完全约束的系统，必须解除部分约束，赋予运动自由度，才能应用虚位移原理。 分析PMABCaaaD23已知三铰拱上作用有集中载荷P及力偶M，求B支座的约束反力。PMaaABCaD(1)求B铰水平约束力：给虚位移，FBxC则相应有根据虚位移原理，有(AC作定轴转动； BCD作平面运动，瞬心为C。)解除B支座的水平约束，代之以水平反力FBx 24PMaaABCaD(1)求B铰水平约束力：给虚位移，FBPMaaD根据虚位移原理，有（AC作定轴转动； BCD作平面运动，瞬心为A。）

10、(2)求B支座的垂直约束反力：给虚位移则相应有解除B铰的垂直约束，代之以垂直反力FBy解得FBy25PMaaD根据虚位移原理，有（AC作定轴转动； BCD作平面P2P1llllABCDEqM图示ABCD为一静定连续梁，作用于其上的载荷M=5kN.m，P1 = P2 = 4kN，q= 2kN/m，=30，l= 2m，求支座A处的反力偶。26P2P1llllABCDEqM图示ABCD为一静定连续梁，解:将固定端约束解除给xA ，而令yA =0 、 A=0，则：xB =xA虚功方程为XAxAP1cosxA0(XAPlcos)xA0XA P1cos 3.46 (kN)XAYAxAxBxDxAxBxDx

11、AxBxDxAxBxDP2P1llllqABCDMEABDCP2P1EqMXAYAXAYAMAXAYAyA =0！ AB不能有转动A=0！ A不能有竖直向位移27解:将固定端约束解除给xA ，而令yA =0 、 yByAyEyD给yA ，而令xA 、 A =0，则yA =yE =yB ，yC = 0yB = l =yD ， YAyA(YA 2ql P1sin +P2)yA0YA =2ql +P1sinP26.0 (kN)虚功方程为yByAyEyDyByAyEyD+ 2qlyE+P1sinyB P2yD0llllYAABDCEMAXAP2P1qM28yByAyEyD给yA ，而令xA 、 给 ，

12、而令xA 、yA=0，则yE = l , yB=2l ，yC = 0， MA(MA +M2ql 22lP1sin +2lP2)0虚功方程为 MA M2ql 22lP1sin2lP2 3.0 (kNm)llllyEyD =l= 2l ， M+2qlyE+P1sinyB P2yD0YAABDCEMAXAP2P1qMyDyB29 给 ，而令xA 、yA=0，则yE = lP2P1llllABCDEqM图示ABCD为一静定连续梁，作用于其上的载荷M=5kN.m，P1 = P2 = 4kN，q= 2kN/m，=30，l= 2m，求支座A处的反力偶。MAXAYAP2llCDXBYBYCYC30P2P1ll

13、llABCDEqM图示ABCD为一静定连续梁，图示机构中各杆之间均用铰连连接，杆长AE=BD=2l，DH = EH = l。D、E间连着一刚度系数为K、原长为l的弹簧，杆和弹簧的自重及各处摩擦均不计。今在铰链H上加一力Q，使机构处于静止平衡状态，试确定Q与的关系。ABHEDQKC31图示机构中各杆之间均用铰连连接，杆长AE=BD=2l，DH ABHEDQCFFxy由 WF = 0QyyH + FxxE + FxxD = 0，求变分得各主动力作用点的坐标为弹簧的伸长量为 = 2lcosl = (2cos1) l 弹性力的大小为F = F = k = k l (2cos1) 解：解除弹簧约束，代之

14、以弹性力F、F，并视为主动力。ABHEDQKC32ABHEDQCFFxy由 WF = 0QyyH +代入虚功方程得Q3lcos 2kl(2cos 1)sin 3Qcos = 0于是得平衡时Q与应满足的关系为：各主动力在坐标轴上的投影为ABHEDQCFFxykl(2cos 1)(2lsin )= 033代入虚功方程得Q3lcos 2kl(2cos建立虚位移之间的关系的方法1. 作图给出机构的微小运动，直接由几何关系来定2. 给出各主动力作用点的坐标方程，求变分，各变分间的比例。 即为虚位移间的比例；3 .“虚速度”法 （点的合成运动、平面运动基点法、速度投影法、瞬心法等）34建立虚位移之间的关系

15、的方法1. 作图给出机构的微小运动，aADCBMOPBD图示机构中，曲柄OA上作用一力偶，其矩为M，另外滑块D上作用一水平力P，机构尺寸如图。求当机构平衡时P与力偶矩M的关系。（用虚位移原理）解：虚位移分析如图用虚位移原理35aADCBMOPBD图示机构中，曲柄OA上作用一力偶，其PBD静力学方法验证DBaAMOAB、BC、CD均为二力杆对OA杆NABNABNONBCND y36PBD静力学方法验证DBaAMOAB、BC、CD均为二力ADCBMOE解：虚位移分析如图用虚位移原理曲柄压缩机如图，在曲柄OA上作用力偶M，已知 OA = r，BDC 为一个杆， ，滑块B上作用力F，系统在图示位置时平衡，求M 与F 的关系。（用虚位移原理）（10分）3