初中数学北师大九年级上册 特殊平行四边形中考模拟试题命题揭秘对教材习题的改造

1、对一个简单的习题进行改造，使得一个知识点得以华，是目前中考的核心。近日我们学习了特殊的平行四边形，今天我们就用平行四边形中最特殊的图形正方形为例，共同研究一个简单题目如何华丽变幻的过程。基础题型展示【例1】已知如图四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，AEF=900,且EF交正方形外角的平分线于点F。求证：AE=EF。分析已知条件，AEF=900（6+AEB=900，3+AEB=900，6=3）外角的平分线，（1=2=450）ECF=1350提出问题1：这是一道比较常见的题目，通过上面的分析，我们应该如何解答，又应该如何添加辅助线？提示：目前证明线段相等利用三角形全等是一条比较好的思路。

2、小组交流，听取学生的意见。总结：在AB边上截取AM=EC ，连接ME。出示课件点E是边BC的中点EC=AM BM=BEBME=450, AME=1350又CF是正方形外角平分线。ECF=1350又AEF=900, AEB+FEC=900,AEB+BAE=900,BAE=FECAMEECFAE=EF提出问题2：这是一道最关键条件是？最关键思路是？【关键点】关键条件：外角平分线，AEF=900；关键思路：证明AMEECF这样一道比较常见的题目，我们是可以对他进行改造，改造后我们通过本题的解法进行类比，找出改造后题目的正确思路和解法。下面进行改造展示改造一：变特殊为一般【例2】已知如图四边形ABCD

3、是正方形，点E是BC边上任意一点，AEF=900,且EF交正方形外角的平分线CF于点F。求证：AE=EF.提出问题1：本题的已知条件与上题有什么不同（点E是BC边上的中点变成了任意一点）？出示几何画板验证AE=EF,改变点E在BC的位置，AE、EF始终相等，那么下面我们就用数学的语言对AE=EF进行证明。提出问题2：结合上题的解法，大胆的猜想一下本题的辅助线的作法？指定人回答。（在AB边上截取AM,使AM=EC，连接ME。）简单口述证明过程。通过此题的改造，我相信同学有了一些感觉，其实我们还可以对这个基础题型进行改造，比如可以改变题目条件的呈现方式。点PPT，点几何画板。改造二：改变条件的呈现

4、方式【例3】已知如图两个全等的正方形的其中一边CD完全重合，点M是BC边的中点，连接AM,且AMN=900,交CE于N. 求证：CN=NE.提出问题1：和基础题目进行比较，本题的改造点在哪里？指定人回答【改造点】将“外角平分线”这一条件呈现的方式改为“正方形的对角线”。（正方形有一个重要的性质是对角线平分一组内角）提出问题2：CN与NN在同一条直线上，要直接证明相等，不太可能，那么常规的思路是？（找相等的量进行转化）假设CN=NE，那么CN=1/2CE；这是两个全等的正方形，全等多边形的对应线段相等有AC=CE，也就是说CN=1/2AC通过类比我们可以制造与MNC全等的，在AB边上截取AP=E

5、C ，易证AMPMNC，把CN转化到PM，这样可以得到PM=1/2AC，所以CN=1/2AC，和我们的假设不谋而合，所以CN=NE。【关键点】证明AMEECF，PM是ABC的中位线，全等多边形对应线段相等。【解析】取AB边的中点P，连接ME,AC.ABCDEFMABCDEFMNPMC=AP BM=BPBPM=450, APE=1350又CE是正方形CDEF的对角线。MCE=1350又AMN=900, AMB+NMC=900, AMB+BAM=900,BAM=NMCAMPMNVPM=CN点P,M分别是AB,BC的中点，AC=2PM,CE=2CNCN=NE【改造点】将“外角平分线”这一条件呈现的方

6、式改为“正方形的对角线”。我们还可以进行改造三：改变问题呈现的背景【例4】（2023乌鲁木齐）如图，边长为5的正方形OABC的顶点O在坐标原点处，点A,C分别在x轴，y轴的正半轴上，点E是OA边上的点（不与点A重合），EFCE,且与正方形外角平分线AG交于点P，当点E坐标为（3,0）时，试证明：CE=EP.如果将上述条件“点E坐标（3，0）”改为“点E坐标为（t,0)(t0),结论CE=EP是否仍然成立？请说明理由。在y轴上是否存在点M，使得四边形BMEP是平行四边形？若存在，用t表示M的坐标；若不存在，请说明理由。提出问题1：通过对上面几个题进行探讨，第1小题会吗？提出问题2：“点E坐标（3

7、，0）”改为“点E坐标为（t,0)(t0)可以换个说法吗？（回答：可以说成点E是OA边上任意一点，） 这个小题会做吗？有一重要的定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可以过点B作EF的平行线，交y轴于点M，如果我们能证明BM=EF，你认为 四边形BMEP是平行四边形吗？改造四：留其灵魂，换其躯壳【例5】（2023无锡）（1）如图1，在正方形ABCD中，M是BC边（不含端点B、C）上任意一点，P是BC延长线上一点，N是DCP的平分线上一点若AMN=90，求证：AM=MN下面给出一种证明的思路，你可以按这一思路证明，也可以选择另外的方法证明证明：在边AB上截取AE=MC，连ME正方形ABCD

8、中，B=BCD=90，AB=BCNMC=180AMNAMB=180BAMB=MAB=MAE（下面请你完成余下的证明过程）图1图1图2（2）若将（1）中的“正方形ABCD”改为“正三角形ABC”（如图2），N是ACP的平分线上一点，则当AMN=60时，结论AM=MN是否还成立？请说明理由（3）若将（1）中的“正方形ABCD”改为“正边形ABCDX”，请你作出猜想：当AMN=时，结论AM=MN仍然成立（直接写出答案，不需要证明）我们来认真回顾一下前面的题目，四边形ABCD是正方形时，AMN=90；当三角形ABC是正三角形时，AMN=60；前面两种情况AMN的度数都等于这个多边形一个内角的度数，那么我们是可以猜想当正五边形ABCDE，AMN=108时，结论AM=MN仍然成立？下面我们就一起来分析一下。【解析】解：（1）AE=MC，BE=BM， BEM=EMB=45， AEM=135， CN平分DCP，PCN=45，AEM=MCN=135在AEM和MCN中：AEMMCN，AM=MN（2）仍然成立在边AB上截取AE=MC，连接MEABC是等边三角形，AB=BC，B=ACB=60，AC