2022年新教材高中数学第一章预备知识3不等式3.2基本不等式第2课时基本不等式的应用素养作业北师大版必修第一册

1、PAGE 5PAGE 第一章33.2第2课时A组素养自测一、选择题1若xx|2x0，则x(2x)的最小值是(C)A2Beq f(3,2)C1Deq f(1,2)解析因为xx|2x0，所以2x0，所以x(2x)(x)(2x)eq blc(rc)(avs4alco1(f(x2x,2)eq sup12(2)1，当且仅当x1时，等号成立2某工厂第一年产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b，这两年的平均增长率为x，则(B)Axeq f(ab,2)Bxeq f(ab,2)Cxeq f(ab,2)Dxeq f(ab,2)3当x1时，不等式xeq f(1,x1)a恒成立，则实数a的取值范围是(D)A

2、a2Ba2Ca3Da3解析由于x1，所以x10，eq f(1,x1)0，于是xeq f(1,x1)x1eq f(1,x1)1213，当eq f(1,x1)x1即x2时等号成立，即xeq f(1,x1)的最小值为3，要使不等式恒成立，应有a3，故选D4设x，y为正数，则(xy)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,x)f(4,y)的最小值为(B)A6B9C12D15解析x，y为正数，(xy)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,x)f(4,y)14eq f(y,x)eq f(4x,y)9，当且仅当y2x时等号成立选B5若对所有正数x，y，不等式xyaeq r(x2y2)都

3、成立，则a的最小值是(A)Aeq r(2)B2C2eq r(2)D8解析因为x0，y0，所以xyeq r(x2y22xy)eq r(2x22y2)eq r(2)eq r(x2y2)，当且仅当xy时等号成立，所以使得xyaeq r(x2y2)对所有正数x，y都成立的a的最小值是eq r(2)故选A6若点A(2，1)在直线mxny10上，其中m，n均大于0，则eq f(1,m)eq f(2,n)的最小值为(C)A2B4C8D16解析因为点A在直线mxny10上，所以2mn10，即2mn1因为m0，n0，所以eq f(1,m)eq f(2,n)eq f(2mn,m)eq f(4m2n,n)2eq f

4、(n,m)eq f(4m,n)242eq r(f(n,m)f(4m,n)8，当且仅当meq f(1,4)，neq f(1,2)时取等号故选C二、填空题7已知x、y都是正数，(1)如果xy15，则xy的最小值是_2eq r(15)_；(2)如果xy15，则xy的最大值是_eq f(225,4)_解析(1)xy2eq r(xy)2eq r(15)，即xy的最小值是2eq r(15)；当且仅当xyeq r(15)时取最小值(2)xyeq blc(rc)(avs4alco1(f(xy,2)eq sup12(2)eq blc(rc)(avs4alco1(f(15,2)eq sup12(2)eq f(22

5、5,4)，即xy的最大值是eq f(225,4)当且仅当xyeq f(15,2)时xy取最大值8已知正数a、b满足eq f(9,a)eq f(1,b)3，则ab的最小值为_4_解析eq f(9,a)eq f(1,b)32eq r(f(9,ab)eq r(ab)2ab4当且仅当eq f(9,a)eq f(1,b)，即a6，beq f(2,3)时取等号三、解答题9若正数a、b满足：eq f(1,a)eq f(2,b)1，求eq f(2,a1)eq f(1,b2)的最小值解析正数a、b满足eq f(1,a)eq f(2,b)1，则eq f(1,a)1eq f(2,b)eq f(b2,b)，则eq f

6、(1,b2)eq f(a,b)，由正数a、b满足eq f(1,a)eq f(2,b)1，则eq f(2,b)1eq f(1,a)eq f(a1,a)，则eq f(2,a1)eq f(b,a)，eq f(2,a1)eq f(1,b2)eq f(b,a)eq f(a,b)2eq r(f(b,a)f(a,b)2，当且仅当ab3时取等号，故eq f(2,a1)eq f(1,b2)的最小值为210某公司今年3月欲抽调一批销售员推销A产品，根据过去的经验，每月A产品销售数量y(万件)与销售员的数量x(人)之间的函数关系式为yeq f(920 x,x23x1600)(x0)在该月内，销售员数量为多少时，销售

7、的数量最大？最大销售量为多少？(精确到0.1万件)解析依题意得yeq f(920,x3f(1600,x)(xN*)因为xeq f(1600,x)2eq r(xf(1600,x)80，当且仅当xeq f(1600,x)，即x40时上式等号成立，所以ymaxeq f(920,83)11.1(万件)所以当销售员为40人时，销售量最大，最大销售量约为11.1万件B组素养提升一、选择题1已知m，nR，且m2n2100，则mn的最大值是(B)A100B50C20D10解析由m2n22mn得mneq f(m2n2,2)50，当且仅当mn5eq r(2)时等号成立2已知0 x1，a，b为常数，且ab0，则ye

8、q f(a2,x)eq f(b2,1x)的最小值为(A)A(ab)2B(ab)2CabDab解析yeq f(a2,x)eq f(b2,1x)eq blc(rc)(avs4alco1(f(a2,x)f(b2,1x)x(1x)a2b2eq f(a2(1x),x)eq f(b2x,1x)a2b22ab(ab)2，当且仅当xeq f(a,ab)时取等号3已知不等式(xy)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,x)f(a,y)9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为(B)A2B4C6D8解析(xy)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,x)f(a,y)1aeq f(y,x

9、)eq f(ax,y)1a2eq r(f(y,x)f(ax,y)1a2eq r(a)，当且仅当eq f(y,x)eq f(ax,y)，即yeq r(a)x时取等号依题意得1a2eq r(a)9，即(eq r(a)2)(eq r(a)4)0，又eq r(a)40，eq r(a)2，解得a4，故a的最小值为4，故选B4(多选题)已知集合UR，Ap|paeq f(1,a2)，a2，Bq|qx28，xR，则下列正确的是(ABD)AABx|4x8BABRCABDUAB解析由a2，故paeq f(1,a2)(a2)eq f(1,a2)24，当且仅当a3时取等号所以Ap|p4，Bq|q8故选ABD二、填空题

10、5已知xeq f(5,2)，则f(x)eq f(x24x5,2x4)的最小值是_1_解析f(x)eq f(x2)21,2x4)eq f(x2,2)eq f(1,2x4)eq f(2x4,4)eq f(1,2x4)2eq r(f(2x4,4)f(1,2x4)1当且仅当eq f(2x4,4)eq f(1,2x4)，即x3时取“”6(2021湖南湘潭高二期末)一批救灾物资随51辆汽车从某市以vkm/h的速度匀速直达灾区，已知两地公路线长400km，为了安全起见，两辆汽车的间距不得小于eq f(v2,800)km，那么这批物资全部到达灾区，最少需要_10_h解析当最后一辆汽车出发，第一辆汽车走了eq

11、f(50f(v2,800),v)eq f(v,16)小时，最后一辆车走完全程共需要eq f(400,v)小时，所以一共需要eq f(400,v)eq f(v,16)小时，结合基本不等式，计算最值，可得eq f(400,v)eq f(v,16)2eq r(f(400,v)f(v,16)10，故最小值为10小时三、解答题7(2022福建厦门双十中学高二上第二次月考)设a0，b0，且abeq f(1,a)eq f(1,b)(1)求ab的最小值；(2)证明：a2a2与b2b2不可能同时成立解析由abeq f(1,a)eq f(1,b)eq f(ab,ab)，且a0，b0，得ab1(1)由基本不等式及a

12、b1，知ab2eq r(ab)2，当且仅当ab1时取等号，故ab的最小值为2(2)证明：由(1)知a2b22ab2，且ab2，因此a2b2ab4，假设a2a2与b2b2同时成立，则a2b2ab4，两式矛盾，故a2a2与b2b2不可能同时成立8某厂家拟在2020年举行促销活动，经调查测算，某产品的年销售量(也即该产品的年产量)x万件与年促销费用m(m0)万元满足x3eq f(k,m1)(k为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件已知2020年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金)(1)将2020年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；(2)该厂家2020年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？解析(1)由题意知，当m0时，x1，13kk2，x3eq f(2,m1)，每件产品的销售价格为