中考数学压轴题专题平行四边形的存在性

1、专 平四形存性破策以二次函数为载体的平行四边形存在性问题是近年来中考的热点，其图形复杂，知 识覆盖面广，综台性较强，对学生分析问题和解决问题的能力要求高，这类题，一般有两个类型：（1个定点、一个动点”的平行四边形存在性问题：以 ， 三为顶点的平行四边形构造方法有：_x0001_ 作行线：如图，连结 ，AC，分别过点 A， 作对边的平行线， 三条直线的交点为 ，E，则四边形 ABCD， 均为平行四边形D CF倍长中线：如图，延长边 ， 上的中线，使延长部分与中线相等，得点 ， E，连结 DEEFD则四边形 ABCD，ACBE 均平行四边形DCF（2个定点、两个动点”的平行四边形存 在问题：先确定

2、其中一个动点的位置，转化为“三个定点、一个动点”的平行四边形存在性问 题，再构造平行四边形解平行四边形存在性问题，无论是以上哪种类型，若没有指定四边形顶点顺序，都需 要分类讨论通常这类问题的解题策略有：（1）几何法：先分类，再画出行四边形，然后根据平行四边形的性质来解答 如图，若 且 ABCD分别过点 B 一组平行线 BE，别过点 A 作组平 行线 AE，则AEB DFC，而得到线段间的关系式解决问题1 / DF（2）代数法：先罗列四个顶点坐标，再分类讨论 列方程，然后解方程并检验 如图已知平行四边形 ABCD连结 AC 交点 设顶点坐标为 （ ，y ，y B C（ ， （x D DC_x00

3、01_用平移的性质求未知点的坐标： DD D D利用中点坐标公式求未知点的坐标：xxxxyyyy有时候几何法和代数法相结合，可以使得解题又快又好例题讲解例 1 如在平面直角坐标系 xOy 中物线 y 经点 （33 P 是直 上的一个动点，过点 P 作 x 轴垂线交抛物线于点 M（1）分别求出直线 和这条抛物线的表达式；（2）是否存在这样的点 ，使得以点 P， 为点的四边形为平行四边形？若存在， 请求出点 P 横坐标；若不存在，请说明理由O M2 / ， P 的横坐标为 1 ， P 的横坐标为 1 解）将点 ， 的标代入物线的表达式，得 23设直线 的表达式 为 ，点 ， 的标代入，得 x3（2

4、）存 在因为 PMOB所以当 PMOB 时，四边形即为平行四边形根据题意设点 P 的标为（，p3点 的坐标为（，p23所以 ( 解得 p3) ( p 3) 3 3 21 21 故满足条件的点2 例 边为 2 的方形 OABC 在平直角坐标系中的位置如图所示 是 边的中点， 连结 CD，点 E 在一象限，且 ，直线 AB 为对轴的抛物线过 C 两 （1）求抛物线的表达式；（2） 为线一动点 为物线上一动点，问：是否存在点 ，使得以点 M， E 为顶的四边形是平形四边形？若存在，请求出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明 理由CBEO AG xO x 解 （1如图 1，过点 E 作 轴点 易证OD

5、CGED（AAS以 OD 2所以点 E 的坐为3而直线 AB 为物线的对称轴，线 的达式为 x2， 所以可设抛物线的表达式为 ya（2，将 ， 两的标代入表达式，得 a 2, k 解得,.所以抛物线的表达式为 （2）存在 1 1 4 x x 3 3 3 3由题意可设点 M 的坐标为（， 的坐为1n 343n 以点 ，D， 顶点的四边形是平行四边形有以下可能：3 / 当 DE 为行四边形的边时，（i）如图 2，若 DEMN，MD， 由平移的性质可得 1 4m n 3 3解得 m 4.此时点 M 的标为（2，1 的坐标为4，2 （ii）如图 3，若 ，D由平移的性质可得 n 解得 m 0.此时点

6、M 的标为（2，3 的坐标为0，2当 DE 为行四边形的对角线时，如图 4 .由平行四边形对角线互相平分性质可得 1 40 m 2 n 2. 34 / 2,3 2,3 1 .解得 3n 2.此时点 M 的标为 1 ， 的标为2,23.例 3 如抛线y x2bx 的顶点为 14 y 轴于点 3与 x 轴交 A，B 两点点 A 在 B 的左侧（1）求抛物线的表达式；（2）若点 在物线的对称轴上，抛物线上是否存在点 ，以 ， 为点的四 边形为平行四边形？若存在，求出所有满足条件的点 的标；若不存在，请说理由解 （1）将点 C，D 的坐标代入抛物线的表达式，得y x2 x （2）存在令x 2所以点 A

7、 的标为（，0 的标为1，0由点 在物线上可设点 F 的坐标为 m 方法一：如图 1、图 2，当 AC 为行四边形的边是，F PEFOAB C图 1图 2过点 作 垂于抛物线的对称轴，垂足为 P5 / 易证A所以 PFAO3从而点 F 的标为（2，5）或（4，5如图 3，当 AC 平行四 边的对角线时，过点 作 轴 点 P令抛物线的对称轴交 x 轴点 Q易 证A所以 PF2，从而点 F 的坐为（23 时点 F 与 纵坐相同，所以 点 E 在 轴EA B xFPD图 3方法二：如图 3，当 AC， 为平行四边形的对角线时，可得 x y 又因为点 E 在抛物线的对称轴上，所以 ，则点 的标为（2，

8、3如图 1，当 ， 为平行 四边的对角线时，可得 x +，Ey 2 m E又因为点 E 在抛物线的对称轴上，所以 4则点 的标为（2，3如图 2，当 ， 为平行四边形的对角线时，可得 x Ey E又因为点 E 抛物线的对称轴上，所以 m2则点 F 的坐标为（）综上可得，满足 平四边形的点 的标为（2，3），5），5）进阶训练1如图，四边形 ABCD 是直角梯形，/BC B90，24cm，28cm点 从 A 出发沿 AD 1cm/s 的度向点 动；点 Q 从点 同出发，沿 以 3cm/ 的度向 点 B 运动其中一个动点到达终时，另一个点也随之停止运动问：从运动开始，经过多 长时间，四边形 成平行

9、四边形？6 / D2如图，抛物线 过 （3，0（1，0）（0） 三，抛物 线的顶点位 P（1） 求物线的表达式；（2线 y23 是否存在点 M得 A 为顶的四边形是平行四边形？ 若 存在，请求出点 M 的 坐；若不在，请说明理由PA B3如图，在矩形 中，OA5，4，点 D 为边 上一点，将BCD 沿直线 折叠， 使点 B 恰好落在 边的点 处分别以 OC， 所在的直线为 轴y 轴立平面直角坐 标系若点 N 在 OD 三的抛物线的对称轴上，点 抛物线上，问是否存在这样的 点 M 与点 ，使得以 ，C， 为顶点的四边是平行四边?若存在请求出 点标 若不存在，请说明理由答案：存在满足条件的点 ，坐标为，16）（2， 提示：易证DAE，而点 D 的标为 ,-5)，得到过点 O， 的物线的解析式为 = + 3再分类讨论，由对角线互相平分，中点横纵坐标相等列出方程，从而找到符合条件的点 考 的方二）4如图，抛物线与 轴于点 （5（3，0 交于点 （0一度 为 1，长度足够的矩形（阴影部分）沿x 轴方向移，与 轴行的一组对边交物线于点 P，交直线 AC 于 M，在矩形的平移过程中，当以点 P， 为点的四边形是 平行四边形时，求点 M 的标7 / 2 1 2 1答案：点 M 坐标为（2，3(-2 - 6) ( 6)提示由点 A，C 的坐可得抛物线的表达式为 2 - x - x 3，