一元二次方程与一元二次不等式的解法分析及例题

1、2 2 一元二次程、二次函数与一元二次不等式总结分析及例题(一一元二次方程的一般形式：ax 其中 , , 为常数，为未知数。根的判别式： 一元二次方程根的个数与根的判别式的关系：时，方程无实根；时，方程有且只有一个实根，或者说方程有两个相等的实根； b2时，方程有两个不相等的实根。 b 2 （二）二次函数的一般形式：形如y ax 2 b 4ac 2 4a2其中 , , 为常数， 为变量。顶点坐标为b ,2 a ，其中直线 x 为 对称轴，1 0 时数 的象开口向下 在 x b2取到最大值，即y 2，对任意x R ac a2（） a ，函数 y ax 的图象开口向上，函数y ax 在 x b2取

2、到最小值，即ymin a2，对任意x R ac a2、二次函数y 2 轴交点个数的判断：时，函数y 轴无交点；时，函数y 切有且只有一个交点；时，函数y 2 轴有两个交点。、二次函数图象的基本元素：开口方向（即首项系数a的正负称、（三）一元二次不等式的概念：形如ax 其中连接ax2 与 的不等号可以是或1 1 2 2（四）三个两次之间的关系一元二次方程、一元二次不等式、二次函数三二y bx 2图 象 x 2 x 或 x 12 x 2 a无 解 2 x x 或x 2 x 2 x x 基本步骤：化正-计算 【典型例题】-求根-解集（大于取两边，小于取中间）【类型一】一元二次方程【方法一】求根公式法

3、 的解法步骤算程实根求公式 b ac2【例 】求解下列方程（1x x （） 2 【练习】解下列方程.（1 x2 （2 x 【方法二】十字相乘法2 2 2 2 2 2 利用十字相乘法求解方程ax 的前提条件是： ，就是保证方程ax 必须有实根.十字分解依据于程 而言a, b, 均为整数 时分解为两个约数之和为；当 时，将分解为两个约数之差为或【例 】求解下列方程（1x2 （2）x2 【练习】解下列方程（1x 20（） x x 【类型二】二次函数最值的求法 【方法一】公式法a 时，函数y 在 取到最大值，即y 2，对任意x R, ac a2a 时，函数y 在 a取到最小值，即y min a2，对任

4、意x R, ac a2【方法二】配方法 2bx b b b x a 2 a 2 4 a a【例 】求下列函数的最值（1y x （2y x x 【类型三】一元二次不等式的解法【例 】解下列不等式（13x x ； （） x 2 【练习）等式4 x2 的解集是 .（2不等式的解集是 .（3不等式x的解集是 【类型四】分式不等式的解法解分式不等式的基本思路是将其转化为整式不等式（组就考虑分母不等于零， 有根式就考虑大于等于零）f ( ) f ( x) f x x ( g ( x f f ( ) f ( x) f x x 0, ( g ( x) 【例 】解下列不等式 f （1； 2） x；（3 2； ）

5、1 39 2 2 2 2 解下列程（1x （） x 2 （3 x2 （4x2 不等式 x 2 的解集是 .不等式1 xx 的解集是不等式2 的解集是不等式 x x 的解集是解下列等式或方程（1 x2 ； （） x2 ；（3 2 ； （4x2 ；（5xx ； （6）； 已知集合的是 A xx ，合 y x ，则下列式子中正确（ ）A. B B A A B D AB2 2 一元二次程习题 3一、填空题：1下列方程中一元二次方程的序号是 x2 xy 5 33 5 x2 3 15 2x x 3 x 。x( x x 2 x2已知，关于 X 的方程( a x 是一元二次方程，则a3当k 时，方程( 2 2

6、 k 0不是关于 X 的元二次方程4解一元二次方程的一般方法 ， ， ， 5一元二次方程ax bx a 的求根公式为： 6方程 x x 的根是 7不解方程，判断一元二次方 x x 2 x 的根的情况是 8(锦州市若关于 X 的程 x 0有实数根，则 k 的取值范围是 9已知：当m时，方程x x 0有实数根10关于 x 的方( 2 x 2 k 0的根的情况是 二、选择题：11(北京市海淀)若 a 的使得A5 8 C3 D2x x 2) 2 成立，则 a 的值为 )12把方程 化为 ax 2 后，a、b、c 的值别为( )A B C.1.3. D 13方程 的解是 )A x=土 1.x 0C x

7、x 1 2D. 14(广安市关 X 的元二次程有两个不相等的实数根，则 k 的值范围是 )A k Ck Dk 15(广州市一二次方程 的两个根分别为 )A.x . x .x x 1 2 D x 1 2216解方程2x 2 12 2 25较简便的方法是( )A依次为：开平方法、配方法公式法、因式分解法B依次为：因式分解法、公式、配方法、直接开平方法 . 用接开平方法， 用式法，用因式分解法D 用直开平方法，用公式法， 因式分解法17(2004云省用方法解元二次方程 2 0.则方程可变形为 )A B x 4) 9 .( 16D.( x 5718一元二次方程 ) x 2 x 有两个不相等的实数根，则

8、 k 的取值范围( Ak 2 Bk 且 19下列方程中有两个相等的实根的方程( D 且 x2 x 0.x C . 2 D.x2 020(大连市一二次方程 2 的根的情况( )A有一个实数根 B有个相等的实数根 C有两个不相等的实数根 D没有实数 21下列命题正确的是( ) 只有一个实根.x x 有两个不等的实根C方程 x 有两个相等的实根 D方程 2 x x 0无实根三、解答题：22(浙江省解程 x 2 2.(1)3 2 x 0;23用因式分解法解方程：24解关于 的程：(2)2 x 2 x x(2 x mx ( x ) ) (2)mx ) x 25不解方程，判别下列方程根情况(1)2 ( x

9、 (2) x x 0;(3)9 2 0; 2 y( y 2) 26已知关于 的方x2(2 x 2 当 k 为值时，(1)方程有两个不相等的实数根?(2)程有两个相等的实数根 (3)方程无实根?27已知： x a 0无实根，且 a 是实，化简4a aa 28k 取何值时，方程x2 k 4) 0有两个相等的实数根?并求出这时方程的根29求证：关于 2 的方程x 2 (2 x m 0有两个不相等的实数根30求证：无论 k 为何值，方程x22(2k k 0都没有实数根31当 b c是实数时，求证：方程x 2 a ) x 2 ) 必有两个实数根，并求两根相等的条件32如果关于 的一二次方程综合运用：一、

10、填空题： x 没有实数根，求 m 的小整数值33方程( 4 x 是关于 x 的元二次方程，则 n 34关于 z 的方mx 2 ( x x(2 x (1)当(2)当mm时，这个方程是一元二次方程； 时，这个方程是一元一次方程35已知方程 x ( 的是 2,则 二、选择题：36(郴州市方 x x 的左边配成完全平方后所得方程( A 14 .( x 14 C x 6)12D以上答案都不对37已知：关于 2 的方程mx x m 有两个实数根，则 m 的围为 )A 1 . 5 且 1 1 0 5 538已知 a、b、c 是 三条边，且方程 么，这个三角形( )( x 2 2( ) 有两个相等实数根，那A

11、等边三角形 B等腰角形 C直角三角形 D等腰直角三角形39(海南省已关于 2 的方x 2 有两个不相等的实数根，那么 m 的最大整数值( ) 三、解答题：A B .0 D40已知关于 x 的程( n x 有两个相等的实数.(1)求证：关于 y 的方程m y 2 my n 2 0必有两个相等的实数根。(2)若方程的一根的相反数恰好方程的一个根，求代数式m n n的值。41解方程x x | 42(1)已知方程x xy y2求证： x 或 y;(2)已知方程 x2 xz 2求证：x 或 x 34z.43m 为何值时，方程 m 2 mx (2m 有两个不相等的实数?44已知方程( m xmx 有实根，求 m 的值范围45若关于 的程x a 0有两个不相等的实数根，试化简代数式4 1 a 46、当 m 是么数时， 2 x 0 与 2 m 0的根都是整数?47求方程 2 y288 34 y 的实数解48设 a、6、c 为角形的三条长求证：方程 x b 2 2 ) x