天津擂古台中学高三数学理模拟试卷含解析

1、天津擂古台中学高三数学理模拟试卷含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. “牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）其直观图如下左图，图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线当其主视图和侧视图完全相同时，它的俯视图可能是参考答案：B考点：空间几何体的三视图与直观图因为俯视图显然是B故答案为：B2. 年，我校从国外引进一套新型教学设备，已知该设备的最佳使用年限是年均消耗费用最低的年限

2、（年均消耗费用=年均成本费用+年均保养费）设买该装备总费用为元，前年总保养费用满足则这种设备最佳使用年限为A年 B年 C年 D年参考答案：B3. 复数的虚部是A. B. C. D. 参考答案：B4. 在中,内角A,B,C的对边分别是,若，,则（ ）ABCD参考答案：C5. 已知向量，且，若变量满足约束条件，则的最大值为 A.1 B.2 C.3 D.4参考答案：C因为，所以，即，得，即，做出可行域，作直线，平移直线，由图象可知当直线经过点F时，直线的截距最大，此时最大。由得，即,代入得，所以的最大值为3，选C. 6. 已知集合，则集合为（ ） A B C D参考答案：C试题分析：因,故,应选C.

3、考点：集合的交集运算.7. 已知三个平面，若，且相交但不垂直，分别为内的直线，则（ ）A B C. D参考答案：A略8. 如图，是边长为1的正方体，是高为1的正四棱锥，若点在同一球面上，则该球的表面积为（ ）A B C D 参考答案：D按如图所示作辅助线，为球心，设，则，同时由正方体的性质知，则在中，即，解得，所以球的半径，所以球的表面积为，故选D9. 已知椭圆的右焦点为,过点的直线交椭圆于两点.若的中点坐标为,则的方程为（）A B C D参考答案：D10. 执行如图的程序，则输出的结果等于A B C D 参考答案：【知识点】对程序框图描述意义的理解. L1A 解析：根据框图中的循环结构知，此

4、程序是求下式的值：，故选A. 【思路点拨】由程序框图得其描述的算法意义. 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 若实数x，y满足x2+2cosy=1则xcosy的取值范围是 参考答案：1，1+ 12. 函数f（x）=lnx+ax存在与直线2xy=0平行的切线，则实数a的取值范围是_.参考答案：略13. 已知函数，如果存在实数，使得对任意的实数都有，则的最小值是 。参考答案：略14. 点P是圆x2y22x30上任意一点，则点P在第一象限的概率为参考答案：15. 已知实数x，y满足不等式组则z=x+y的最小值为参考答案：13【考点】简单线性规划【分析】作出题中不等式组表示的平面

5、区域，得如图的ABC及其内部，再将目标函数z=2x+y对应的直线进行平移，可得当x=y=1时，z=2x+y取得最小值【解答】解：作出不等式组表示的平面区域：得到如图的阴影部分，由解得B（11，2）设z=F（x，y）=x+y，将直线l：z=x+y进行平移，当l经过点B时，目标函数z达到最小值，z最小值=F（11，2）=13故答案为：13【点评】本题给出二元一次不等式组，求目标函数的最小值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题16. 设函数f（x）=|x22x|axa，其中a0，若只存在两个整数x，使得f（x）0，则a的取值范围是参考答案：（0，【考点】5B：

6、分段函数的应用【分析】分别画出y=|x22x|与y=a（x+1）的图象，则存在两个整数，使得y=|x22x|在直线y=ax+a的下方，结合图象即可求出函数a的范围【解答】解：f（x）=|x22x|axa0，则|x22x|ax+a，分别画出y=|x22x|与y=a（x+1）的图象，如图所示，只存在两个整数x，使得f（x）0，当x=1时，y=|122|=1，2a=1，解得a=，此时有2个整数，结合图象可得a的取值范围为（0，故答案为（0，【点评】本题分段函数的问题，涉及数形结合和转化的思想，属中档题17. 直三棱柱ABCA1B1C1的六个顶点都在球O的球面上若ABBC2，ABC90，AA12，则球

7、O的表面积为_参考答案：三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. 如图，是圆的直径，为圆上位于异侧的两点，连结并延长至点，使，连结求证：参考答案：证明：连接。 是圆的直径，（直径所对的圆周角是直角）。 （垂直的定义）。 又，是线段的中垂线（线段的中垂线定义）。 （线段中垂线上的点到线段两端的距离相等）。 （等腰三角形等边对等角的性质）。 又为圆上位于异侧的两点， （同弧所对圆周角相等）。 （等量代换）。19. Sn为等差数列an的前n项和，且a1=1，S7=28记bn=lgan，其中x表示不超过x的最大整数，如0.9=0，lg99=1（）求b1，b1

8、1，b101；（）求数列bn的前1 000项和参考答案：【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式【分析】（）由题意求得数列an的公差，求得数列an的通项公式，根据对数函数的运算性质，即可求得求b1，b11，b101；（）根据对数函数的性质，bn=，数列bn的前1000项和190+2900+31=1893【解答】解：（）设等差数列an公差为d，S7=7a1+d=28，则d=1，an=n，b1=lg1=0，b11=lg11=1，b101=lg101=2；（）由题意可知：bn=，数列bn的前1000项和190+2900+31=1893数列bn的前1000项和189320. 已知函数. (1)求函数

9、的最小值k；(2)在(1)的结论下，若正实数a，b满足，求证：. 参考答案：(1)因为所以函数的最小值为3. 5分(2)由(1)知，因为所以所以. 10分21. （本小题满分14分）已知函数f(x)axxlnx的图象在点xe（e为自然对数的底数）处的切线的斜率为3（）求实数a的值；（）若f(x)kx2对任意x0成立，求实数k的取值范围；（）当nm1（m，nN*）时，证明：参考答案：【知识点】导数的运算；导数的几何意义；导数的应用.B11 B12【答案解析】（）a1（）k1（）见解析 解析：（）求导数，得f (x)alnx1 1分由已知，得f (e)3，即alne13a12分（）由（），知f(x

10、)xxlnx，f(x)kx2对任意x0成立?k对任意x0成立，4分令g(x)，则问题转化为求g(x)的最大值求导数，得令g(x)0，解得x15分当0 x1时，g(x)0，g(x)在(0，1)上是增函数；当x1时，g(x)0，g(x)在(1，)上是减函数6分故g(x)在x1处取得最大值g(1)1k1即为所求8分mnlnnnlnnmnlnmmlnm，12分即mnlnnmlnmmnlnmnlnn，即lnnmnlnmmlnmmnlnnn，即ln(mnn)mln(nmm)n， 13分(mnn)m(nmm)n，14分【思路点拨】（）利用导数的几何意义即可；（）把原不等式转化为求g(x) 的最大值的问题，再利用导数求之即可；（）先