天津杨柳青第三中学高三数学理模拟试卷含解析

1、天津杨柳青第三中学高三数学理模拟试卷含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 设是虚数单位，若，则的值是A、-1 B、1 C、 D、参考答案：C略2. 已知向量，若，则实数的值为（）A4B3C2D1参考答案：B【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系【专题】平面向量及应用【分析】直接利用向量的垂直的充要条件列出方程求解即可【解答】解：向量，若， =（2+3，3），=（1，1）则：（2+3）（1）+3（1）=0，解得=3故选：B【点评】本题考查向量垂直的充要条件的应用，基本知识的考查3. 曲线y=ex（e为自然对数的底数）

2、在点M（1，e1）处的切线l与x轴、y轴所围成的三角形的面积为（）ABCeD2e参考答案：B【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；直线的截距式方程【分析】根据导数的几何意义可求得在点M（1，e1）处的切线的斜率，再由点斜式即可得切线方程，分别求出切线与x轴、y轴的交点A、B，利用直角三角形的面积公式即可求得【解答】解：f（x）=ex，f（1）=e1，f（x）=ex，f（1）=e1，函数f（x）在点M（1，e1）处的切线方程为ye1=e1（x1），即y=e1x+2e1，设切线与x轴、y轴的交点分别为A、B，A（2，0），B（0，2e1），三角形的面积为2e1=，故选：B4. 在等差数列an中，

3、若a2=4，a4=2，则a6=( )A1B0C1D6参考答案：B【考点】等差数列的性质 【专题】等差数列与等比数列【分析】直接利用等差中项求解即可【解答】解：在等差数列an中，若a2=4，a4=2，则a4=（a2+a6）=2，解得a6=0故选：B【点评】本题考查等差数列的性质，等差中项个数的应用，考查计算能力5. 下列说法错误的是 ( )A命题“若，则”的否命题是：“若 ，则”B如果命题“”与命题“或”都是真命题，那么命题一定是真命题.C若命题：，则；D“”是“”的充分不必要条件；参考答案：D6. 已知点P（1，），则它的极坐标是（）ABCD参考答案：C【考点】点的极坐标和直角坐标的互化【专题

4、】计算题【分析】根据点的直角坐标求出，再由2=cos，=sin，可得，从而求得点P的极坐标【解答】解：点P的直角坐标为 ，=2再由1=cos，=sin，可得，结合所给的选项，可取=，即点P的极坐标为 （2，），故选 C【点评】本题主要考查把点的直角坐标化为极坐标的方法，属于基础题7. 若i为虚数单位，则复数=（）Ai Bi C D参考答案：A考点：复数代数形式的乘除运算专题：计算题分析：两个复数相除，分子和分母同时乘以分母的共轭复数，运算求得结果解答：解：复数=i，故选A点评：本题主要考查两个复数代数形式的乘除法法则的应用，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题8. 函数的定义域是，则其值域是 （

5、 ）A、 B、 C、 D、参考答案：A9. 一空间几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为 （ ） A B2 C D6参考答案：B略10. 已知圆C：x2+y22x+4y=0关于直线3xay11=0对称，则圆C中以（，）为中点的弦长为（）A1B2C3D4参考答案：D【考点】直线与圆的位置关系【分析】由已知直线3xay11=0过圆心C（1，2），从而得到a=4，点（1，1）到圆心C（1，2）的距离d=1，圆C：x2+y22x+4y=0的半径r=，由此能求出圆C中以（，）为中点的弦长【解答】解：圆C：x2+y22x+4y=0关于直线3xay11=0对称，直线3xay11=0过圆心C（1，2），3+

6、2a11=0，解得a=4，（，）=（1，1），点（1，1）到圆心C（1，2）的距离d=1，圆C：x2+y22x+4y=0的半径r=，圆C中以（，）为中点的弦长为：2=2=4故选：D二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 甲乙两人进行乒乓球单打决赛，采用五局三胜制（即先胜三局者获冠军），对于每局比赛，甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，则爆出冷门（乙获冠军）的概率为 。参考答案：答案： 12. 直线kx3y+3=0与圆（x1）2+（y3）2=10相交所得弦长的最小值为参考答案：2【考点】直线与圆的位置关系【分析】由条件可求得直线kx3y+3=0恒过圆内定点（0，1），则圆心（1，3

7、）到定点的距离为，因此最短弦长为【解答】解：由条件可求得直线kx3y+3=0恒过圆内定点（0，1），则圆心（1，3）到定点（0，1）的距离为，当圆心到直线kx3y+3=0的距离最大时（即等于圆心（1，3）到定点（0，1）的距离）所得弦长的最小，因此最短弦长为2=故答案为：2【点评】题考查直线和圆的位置关系，以及最短弦问题，属于中档题13. 已知定义在R上的偶函数，f(x)在时，若，则a的取值范围是_参考答案：【分析】函数，在上都为增函数，从而得到在上为增函数，从而由为偶函数及得到，从而得到，解该不等式即得的取值范围【详解】时，在上都是增函数，在上为增函数；由已知条件知，得，解得的取值范围是。答

8、案为：。【点睛】考查指数函数、对数函数的单调性，在区间上都为增函数时，+在上也是增函数，偶函数的定义，以及增函数定义的运用14. 如图，椭圆C：，与两条平行直线：，：分别交于四点A，B，C，D，且四边形ABCD的面积为，则直线AD的斜率为_参考答案：【分析】设D的坐标，四边形的面积等于2个三角形的面积之和可得D的横坐标，代入椭圆方程求出D的纵坐标，进而求出直线AD的斜率【详解】解：设，由椭圆的对称性，可得，由题意，所以，代入椭圆中可得，即，所以，所以直线AD的方程为，故答案为：【点睛】本题考查了直线与椭圆的知识，待定系数法是解决本题很好的途径，准确运算是解题的关键.15. 若实数x，y满足，且

9、z=mxy（m2）的最小值为，则m=参考答案：1【考点】简单线性规划【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最值，判断目标函数的最优解，求解即可【解答】解：实数x，y满足约束条件的可行域如图所示，z=mxy（m2）的最小值为，可知目标函数的最优解过点A，由，解得A（，3），=a3，解得m=1，故答案为：116. .已知随机变量,且,则_.参考答案：0.4【分析】随机变量,根据正态分布曲线的特征，可以知道曲线关于对称，所以通过，可以求出，根据对称性可以求出的值.【详解】因为随机变量，所以正态分布曲线关于对称，因此有,.【点睛】本题考查了正态分布，正确掌握正态分布曲线的性质，是解题的关键.17

10、. 圆的圆心之间的距离为 。参考答案：略三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. 已知f（x）=，g（x）=2lnx，曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线方程为2xy2=0（1）求a，b的值；（2）若当x1时，g（x）mf（x）恒成立，求m的取值范围；（3）已知=1.732，试估算ln的近似值（精确到0.01）参考答案：考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数求闭区间上函数的最值 专题：分类讨论；导数的概念及应用；导数的综合应用；不等式的解法及应用分析：（1）求出函数f（x）的导数，由切线方程可得切线的斜率和切点，解方程可得a，b的值；（

11、2）求出f（x）的解析式，由g（x）mf（x）得2lnxm（x），即2lnxm（x）0，令?（x）=2lnxm（x），对m讨论，当m=0时，当m1时，当1m0时，当0m1时，当m1时，讨论函数的单调性，即可判断；（3）对任意的k1，?（k）=2lnkm（k），由（2）知，当m=1时，?（k）=2lnkk+0恒成立，以及由（2）知当0m1时，得到的结论，取k=，代入计算即可得到所求近似值解答：解：（1）f（x）=ax+，f（x）=a，由于f（x）在点（1，f（1）处的切线方程为2xy2=0，则f（1）=2，f（1）=0即ab=2，a+b=0，解得a=1，b=1；（2）f（x）=x，由g（x）mf

12、（x）得2lnxm（x），即2lnxm（x）0，令?（x）=2lnxm（x）则?（x）=m（1+）=，当m=0时，?（x）=0恒成立，即有?（x）在（1，+）上单调递增，则?（x）?（1）=0，这与?（x）0矛盾，不合题意；若m0，令=44m2=4（1+m）（1m），当m1时，0恒成立且m0即有mx2+2xm0恒成立，即?（x）0恒成立即?（x）在（1，+）上单调递增，即有?（x）?（1）=0，这与?（x）0矛盾，不合题意；当1m0时，0，方程mx2+2xm=0有两个不等实根x1，x2（不妨设x1x2），由韦达定理得x1?x2=10，x1+x2=0，即x1x20，则当x1时，mx2+2xm0恒

13、成立，即?（x）0恒成立，即有?（x）在（1，+）上单调递增，则?（x）?（1）=0，这与?（x）0矛盾，不合题意；当0m1时，0，方程mx2+2xm=0有两个不等实根x1，x2（不妨设x1x2），0 x1=1，x2=1即有0 x11x2，即有?（x）在（1，x2）单调递增，当x（1，x2）时，?（x）0，即有?（x）在（1，+）上单调递增，即有?（x）?（1）=0，这与?（x）0矛盾，不合题意；当m1时，0且m0，则?（x）0恒成立，即有?（x）在1，+）上单调递减，?（x）?（1）=0，合题意综上所述，当m1，+）时，g（x）mf（x）恒成立；（3）对任意的k1，?（k）=2lnkm（k）

14、，由（2）知，当m=1时，?（k）=2lnkk+0恒成立，即2lnkk，取k=得ln（）0.289由（2）知当0m1时，?（x）在（1，）上单调递增，?（x）?（1）=0，令x1=得：m=，?（x）=2lnxm（x）0?（k）=2lnkm（k）=2lnk+10，即有lnk（1），取k=得：ln0.286，0.286ln0.289，取ln=（0.286+0.289）=0.28750.29，ln0.29点评：本题考查导数的运用：求切线方程和求单调区间，主要考查判断函数的单调性和不等式的恒成立问题，具有一定的运算量，运用分类讨论的思想方法和两边夹及取均值思想是解题的关键19. ABC中，角A，B，C

15、所对的边分别为a，b，c，向量=（，1），=（cosA+1，sinA），且?的值为2+（1）求A的大小；（2）若a=，cosB=，求ABC的面积参考答案：【考点】余弦定理；正弦定理【分析】（1）由已知及平面向量数量积的运算可求sin（A+）=1，结合A的范围即可得解A的值（2）利用同角三角函数基本关系式可求sinB，进而利用正弦定理可求b的值，根据三角形面积公式即可计算得解【解答】解：（1）=2+（2），由，得，20. 在中，且，若以为左右焦点的椭圆经过点.（1）求的标准方程；（2）设过右焦点且斜率为的动直线与相交于两点，探究在轴上是否存在定点，使得为定值？若存在，试求出定值和点的坐标；若不存

16、在，请说明理由.参考答案：（1）在中，由余弦定理.又，代入上式得，即椭圆长轴，焦距，所以椭圆的标准方程为.（2）设直线方程，联立，得，设交点，.假设轴上存在定点，使得为定值，要使为定值，则的值与无关，解得，此时为定值，定点为.21. （本小题满分12分）设椭圆 的左、右焦点分别为F1，F2，右顶点为A，上顶点为B.已知|AB|F1F2|.(1)求椭圆的离心率；(2)设P为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB为直径的圆经过点F1，经过原点O的直线l与该圆相切，求直线l的斜率参考答案：(1)设椭圆右焦点F2的坐标为(c，0)所以直线l的斜率为4或4.12分22. （本小题满分12分）如图，在七面体ABCDMN中，四边形ABCD是边长为2的正方形，平面ABCD，平面ABCD，且MD =2，NB=1，MB与ND交于P点（）在棱AB上找一点Q，使QP / 平面AMD ，并给出证明；（）求平面BNC与平面MNC所成锐二面角的余弦值参考答案：（）当时，有/平面AMD.证明：MD平面ABCD，NB平面