天津惠灵顿国际学校高二数学理测试题含解析

1、天津惠灵顿国际学校高二数学理测试题含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 若点P为共焦点的椭圆和双曲线的一个交点, 、分别是它们的左右焦点.设椭圆离心率为，双曲线离心率为，若,则（ ）A1 B 2 C3 D4 参考答案：B2. 已知椭圆和双曲线有相同的焦点是它们的一个交点，则的形状是 （ ）A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 随的变化而变化参考答案：B略3. 命题“若xy=0，则x2+y2=0”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为（）A0B1C2D4参考答案：C【考点】四种命题的真假

2、关系；四种命题【专题】常规题型【分析】先写出其命题的逆命题，只要判断原命题和其逆命题的真假即可，根据互为逆否命题的两个命题真假相同，即可判定其否命题、逆否命题的真假【解答】解：“若xy=0，则x2+y2=0”，是假命题，其逆命题为：“若x2+y2=0，则xy=0”是真命题，据互为逆否命题的两个命题真假相同，可知其否命题为真命题、逆否命题是假命题，故真命题的个数为2故选C【点评】本题考查四种命题及真假判断，注意原命题和其逆否命题同真假，属容易题4. 函数的零点所在的区间为（）A B C( D参考答案：C5. 已知函数和都是定义在R上的偶函数，当时，则（ ）A. 2B. C. D. 参考答案：B【

3、分析】由和都是定义在上的偶函数，可推导出周期为4，而，即可计算.【详解】因为都是定义在上的偶函数，所以，即，又为偶函数，所以，所以函数周期，所以，故选B.【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性，周期性，利用周期求函数值，属于中档题.6. p：x1，q：x0，则p是q的（）A必要不充分条件B充分不必要条件C充要条件D既不充分也不必要条件参考答案：A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】由p，q的x的范围，结合充分必要条件的定义判断即可【解答】解：p：x1，q：x0，则p?q，当q推不出p，故p是q的充分不必要条件，故选：A7. 已知函数在区间0,1有极值，且函数在区间0,1上的最小值不小

4、于 ，则a的取值范围是（ ）A. 4,+)B. (2,+)C. (1,4D. (2,4 参考答案：D【分析】求出函数的导函数，根据函数在上有极值，求得，再根据函数在最小值不小于，列出不等式，即可求解.【详解】由题意，函数，则，令，因为函数在上有极值，则，即，解得，则函数在先增后减，且，要使得函数在上的最小值不小于，则，解得，综上可知，实数的取值范围是，故选D.【点睛】本题主要考查了函数的单调性，极值与最值的应用，其中解答中熟练应用导数求解函数的单调性与极值、最值，列出相应的不等式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.8. 函数 的值域是( )参考答案：B略9. 曲线y=x3+11

5、在点P（1，12）处的切线与y轴交点的纵坐标是( )A9B3C9D15参考答案：C【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【专题】导数的概念及应用【分析】根据导数的几何意义求出函数f（x）在x=1处的导数，从而求出切线的斜率，再用点斜式写出切线方程，化成一般式，最后令x=0解得的y即为曲线y=x3+11在点P（1，12）处的切线与y轴交点的纵坐标【解答】解：y=x3+11y=3x2则y|x=1=3x2|x=1=3曲线y=x3+11在点P（1，12）处的切线方程为y12=3（x1）即3xy+9=0令x=0解得y=9曲线y=x3+11在点P（1，12）处的切线与y轴交点的纵坐标是9故选C【点评】本题

6、主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及直线与坐标轴的交点坐标等有关问题，属于基础题10. 定义平面向量之间的一种运算“*”如下：对任意的，令。给出以下四个命题：（1）若与共线，则；（2）；（3）对任意的，有；（4）。（注：这里指与的数量积）其中假命题是 （ ）A（1） B（2） C（2）（3） D（2）（4） 参考答案：B略二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知直线与平面区域C:的边界交于A，B两点，若，则的取值范围是 .参考答案：12. 不等式的解集为 参考答案：13. 从1、2、3、4这四个数中一次随机地取两个数，则其中一个数是另一个数的两倍的概率是 。参考

7、答案：略14. 将正偶数按下表排成5列：第1列第2列第3列第4列第5列第1行2468第2行16141210第3行182022242826那么2 014应该在第_行第_列参考答案：252,2略15. 向量在正方形网格中的位置如图所示.设向量,若，则实数.参考答案：316. 设实数x，y，z均大于零，且，则的最小值是 . 参考答案： 略17. 已知当抛物线型拱桥的顶点距水面2米时，量得水面宽8米。当水面升高1米后，水面宽度是_米.参考答案：略三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. 设复数Z=lg（m2+2m14）+（m2m6）i，求实数m为何值时？（）

8、Z是实数；（）Z对应的点位于复平面的第二象限参考答案：【考点】复数的代数表示法及其几何意义【分析】（）Z是实数，即虚部为零，令m2m6=0，解之即可；（）Z对应的点位于复平面的第二象限，可得实部为负，虚部为正，由此关系即可解得【解答】解：（I）Z是实数，则有m2m6=0，解得m=3，或m=2；又当m=2时，m2+2m140，所以Z是实数时，m=3；（II）Z所对的点位于第二象限，则有0m2+2m141且m2m60解得5m119. 设的最小值为k.（1）求实数k的值；（2）设，求证：参考答案：（1）；（2）见详解.【分析】(1)将函数表示为分段函数，再求其最小值.(2)利用已知等式构造出可以利用

9、均值不等式的形式.【详解】（1）当时，取得最小值，即（2）证明：依题意，则.所以，当且仅当，即，时，等号成立.所以.【点睛】本题考查求含绝对值函数的最值，由均值不等式求最值.含绝对值的函数或不等式问题，一般可以利用零点分类讨论法求解.已知或(是正常数，)的值，求另一个的最值，这是一种常见的题型，解题方法是把两式相乘展开再利用基本不等式求最值.20. 从1到9的九个数字中取三个偶数四个奇数，试问：能组成多少个没有重复数字的七位数？上述七位数中三个偶数排在一起的有几个？在中的七位数中，偶数排在一起、奇数也排在一起的有几个？在中任意两偶数都不相邻的七位数有几个？参考答案：【考点】D8：排列、组合的实

10、际应用【分析】分步完成：第一步计算在4个偶数中取3个的情况数目，第二步计算在5个奇数中取4个的情况数目，第三步将取出的7个数进行全排列，计算可得答案；由的第一、二步，将3个偶数排在一起，有A33种情况，与4个奇数共5个元素全排列，计算可得答案；由的第一、二步，将3个偶数排在一起，有A33种情况，4个奇数也排在一起有A44种情况，将奇数与偶数进行全排列计算可得答案；由的第一、二步，可先把4个奇数取出并排好有C54A44种情况，再将3个偶数分别插入5个空档，有C43A53种情况，进而由乘法原理，计算可得答案【解答】解：分步完成：第一步在4个偶数中取3个，可有C43种情况；第二步在5个奇数中取4个，

11、可C54有种情况；第三步3个偶数，4个奇数进行排列，可有A77种情况，所以符合题意的七位数有C43C54A77=100800个；上述七位数中，将3个偶数排在一起，有A33种情况，故三个偶数排在一起的有C43C54A55A33=14400种情况；上述七位数中，3个偶数排在一起有A33种情况，4个奇数也排在一起有A44种情况，共有C43C54A33A44A22=5760个上述七位数中，偶数都不相邻，可先把4个奇数排好，再将3个偶数分别插入5个空档，共有C54A44C43A53=28800个21. 在直角梯形PBCD中，A为PD的中点，如下左图。将沿AB折到的位置，使，点E在SD上，且，如下右图。

12、（1）求证：平面ABCD； （2）求二面角EACD的余弦值； （3）在线段BC上是否存在点F，使SF/平面EAC？若存在，确定F的位置， 若不存在，请说明理由。参考答案：解法一：（1）证明：在图中，由题意可知，为正方形，所以在上右图中，四边形ABCD是边长为2的正方形，因为，ABBC，所以BC平面SAB， （2分）又平面SAB，所以BCSA，又SAAB，所以SA平面ABCD， （4分） （2） 在AD上取一点O，使，连接EO。因为，所以EO/SA所以EO平面ABCD，过O作OHAC交AC于H，连接EH，则AC平面EOH，所以ACEH。所以为二面角EACD的平面角，在中，,，即二面角EACD的余弦值为 （10分） （3）当F为BC中点时，SF/平面EAC，理由如下：取BC的中点F，连接DF交AC于M，连接EM，AD/FC，所以，又由题意SF/EM，又平面EAC，所以SF/平面EAC，即当F为BC的中点时，SF/平面EAC （14分）解法二：（1）同方法一 （4分） （2）如图，以A为原点建立直角坐标系，A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0）